基于奇异值分解的非带限信号采样算法

许月兴

【摘要】 本文借助奇异值分解技术，研究了对狄拉克流这类特殊非带限信号的采样与重建算法。先对信号的采样点进行离散傅里叶变换，并用生成的系数形成Hankel矩阵，然后对Hankel矩阵进行奇异值分解，求取狄拉克流的位置信息，再解范德蒙方程组求得狄拉克流的权信息，重建出原信号。该算法具有计算量小、信号恢复精确率高和抗噪声能力强的特点。

【关键词】 奇异值分解 非带限信号 狄拉克流 采樣 重建

狄拉克流信号是数字通信中经常会用到的一种非带限信号[1]，本文以该信号为例，从空间变换的角度研究了一种基于奇异值分解的非带限信号采样算法，该算法在处理狄拉克流及其相关的一类非带限信号时是非常有效的，并具有计算量小、信号恢复精确率高和抗噪声能力强等特点。

一、 奇异值分解

奇异值分解是线性代数中非常重要的一种矩阵分解。该理论的诞生已经有百余年的历史，随着信息工程的需求和计算机技术发展，它被广泛地应用到统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制等领域中[2]。

二、基于奇异值分解的非带限信号采样算法

下面通过对一种非带限信号——周期狄拉克流的分析来推导基于奇异值分解的非带限信号采样算法。

设x（t）是周期为τ的狄拉克流信号，其表达式为：

（1）

式中Ck为狄拉克流的权值，tk为狄拉克流的位置，则x（t）的傅里叶变换为

=， （2）

式中。

对该狄拉克流信号x（t），取作为采样核，经过采样核后得到采样值yn，n=0，1，...，N-1，则采样值yn是原信号x（t）的一个充分的描述。

利用yn重建原信号x（t）的过程如下。

（1）通过yn确定x（t）的傅里叶变换X[m]，|m|≤M；

（3）

式中HB是hB（t）的傅里叶变换。

（2）利用X[m]构建Hankel矩阵X，然后对其进行奇异值分解，求得狄拉克流的K个位置信息；

利用X[m]构建一个P×Q（P，Q ≥ K）维的Hankel矩阵X，矩阵X的秩为rank（X）=K，因此通过对Hankel矩阵X的秩的判别，可以确定出每周期内狄拉克流信号的个数K。

根据奇异值分解的理论，X可以被分解成如下形式

（4）

其中US、SS和VS是矩阵X的K个最大奇异值分解三对组阵，它们包含了有用信号的主要信息；Un、Sn和Vn是矩阵X的小奇异值分解三对组阵，对于含有噪声的信号，其加性噪声主要集中在这些小奇异值项上。

假设φ=diag（Zk）k×k，φh=φH，显然矩阵US和VS都满足平移不变空间特性，即

， （5）

其中和分别为矩阵删掉第一行和最后一行剩余的矩阵，由和（或和）可确定的K个特征值Zk，从而得到狄拉克流信号的K个位置信息。

（3）求取狄拉克流的K个权值。

求得后，将其代入（2）式可得一范德蒙方程，解该方程，即可求得狄拉克流信号的K个权值。将和代入（1）式，原狄拉克流信号x（t）就可以被准确重建。

三、结论

本文以周期狄拉克流信号为例，研究了一种基于奇异值分解的非带限信号采样与重建算法。它突破了Shannon采样定理中Nyquist率的限制，是传统采样定理的一个非常有益的补充，在宽带通信领域尤其是超宽带通信中有着广阔的应用前景。