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一道积分不等式的多种证明方法

2015-05-30赵琳

东方教育 2015年2期
关键词:不等式单调

赵琳

【摘要】从单调连续函数的性质出发,利用积分中值定理、积分不等式性质、构造函数等方法给出一道积分不等式的五种证明方法。

【关键词】不等式;中值定理;单调;连续

数学分析中有这样一道题目:设函数 在 上单调递增且连续,证明

證法一:因为函数 在 上单调递增且连续,根据积分第一中值定理【1】,存在 ,使

所以 .

证法二:因为函数 在 上单调递增且连续,根据积分第二中值定理【1】,存在

,使

所以 .

证法三:因为函数 在 上单调递增且连续,所以

于是

所以 .

证法四:因为函数 在 上单调递增且连续,所以

于是

从而

所以 .

证法五:因为函数 在 上单调递增且连续,令函数

则 ,在 上可导,且

所以函数 在 上单调递增且连续,于是

取 ,则 .

令 ,得

参考文献:

【1】华东师范大学数学系.数学分析(上册)【M】.3版,北京:高等教育出版社,2010,217-224.

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