基础数学在经济学中的实际应用

摘要：用数学方法和运算来分析求解经济领域的实际问题已成为当今社会研究的主流，数学的引入，给经济学的发展带来了无穷无尽的灵感。越来越多的研究表明数学在经济学研究中具有不可替代的地位，对促进经济学的发展起到了重要的作用。本文简要阐述了基础数学在经济学中的实际意义和作用，举例分析了基础数学在经济学中的几个实际应用，同时也发现了基础数学在经济学应用中具有一定的局限性，希望引起广大经济学研究者重视，以期在以后的经济学研究中能更好更灵活地发挥数学的作用。

关键词：基础数学 经济学 应用

1 基础数学在经济学中的意义与作用

基础数学知识在经济中的应用是源于市场经济的发展，随着我国市场经济的不断发展，用数学知识来定量分析经济领域中的种种问题，已成为经济学理论中一个重要的组成部分。根据分析人士的计算，从1969年到1998年近30年间，就有19位诺贝尔经济学奖的获得者是以数学作为研究的主要的方法，而这些人占了诺贝尔经济学奖获奖总人数的63.3%。其原因主要是“数学”在经济理论的分析中有着尤为重要的作用，其主要作用有以下几点：

①运用精炼的数学语言陈述经济学研究中的假设前提条件，使人一目了然。

②运用数学思维推理论证经济学研究的主要观点，使条理更加清晰，逻辑性更强。

③运用大量的统计数据让论证得出的结论更具有说服力。

2 常见的基础数学在经济学中的具体运用举例

2.1 经济学中的常用函数

“函数”是现代数学最为基本的概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的完美映衬，也是经济数学的主要研究对象。现实世界中一切事物都在一定的空间运动着，对种种不同量的假设与推测，是许多科学理论的中心问题。在经济分析中，对成本、价格、收益等经济量的关系研究，就要用到基础数学方法，来构建该问题的数学模型，找出该问题的函数关系。常用的经济函数有：单利与复利、多次付息、贴现、需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数等等。

2.2 经济学中的导数

“导数”是函数的改变量与自变量的改变量之比，在自变量改变量趋于零时的极限。它是纯粹从数量方面来刻画变化率的本质的，反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。在经济问题中，经常会用到变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，就像我们经常用到的年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等等。而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限，在经济学中被称为边际函数。经济学中常见的边际函数有：边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等等。

在我们的边际分析中，讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的讨论。在经济问题中，仅仅用绝对数的概念是不足以深入问题并分析透彻的。例如：A商品每个单位价格为10元，涨价1元；B商品每个单位价格为100元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与原价格相比就能获得答案。此时我们就有必要讨论函数的相对改变量与相对变化率，也就是经济学中的“弹性概念”。而常见的弹性函数有：需求弹性、供给弹性、收益弹性等等。

对于商家来说，进行边际分析和弹性分析是非常必要的，商家如果离开边际分析而盲目生产，就会造成资源的极大浪费；商家如果离开需求与价格的弹性分析，就不可能达到利润的最大化。这时候就要用到导数，因为导数是边际分析和弹性分析的最有力的工具，可以给决策者提供客观的、精确的数据，进而做出比较合理的决策。

2.3 经济学中的最值

在经济问题中，我们经常会遇到这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等。这样的问题在数学中有时会归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。例如：在分析收入最大化与利润最大化的过程中，假定价格不变的情况下，产量最大就会形成收入最大的局面，但是，收入最大时的产量不一定产生最大的利润。而产量为多少时才能取得最大利润，就需要运用导数的知识来解决问题。利用导数解决最值问题的步骤是：求一阶导数，找出可能取得最值的点（包括驻点、一阶导数不可导的点和区间端点），再计算各点的函数值，对其进行比较，哪个最大就是最大值哪个最小就是最小值。经济学中常见的最值问题有：最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题和最大税收问题等等。

2.4 经济学中的积分

“积分学”是微分学的逆运算，积分学的主要经济应用是对已知的边际函数求积分，得出总经济量函数。定积分是求原函数在某个范围内的改变量，是积分学中的重要概念之一，它在自然科学和经济领域中有着广泛的应用。在经济学中经常用改变上限的定积分来讨论总经济量函数问题。如某商品的价格p是销售量x的函数，此时我们要想计算当销售量从a变动到b时的收益，就需要用到定积分的计算方法。

2.5 经济学中的微分方程

为了研究经济变量之间的联系及其内在的规律，常常需要建立某一经济函数和经济变量的导数所满足的关系式，由此而确定所研究的函数关系，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。以上一套套路，从数学上说，就是建立微分方程并求解微分方程。具体步骤如下：在相关的背景知识下，用数学知识来描述经济问题中的变量和参数之间的关系，从而建立微分方程；根据具体问题适当的调整假设使建立的微分方程，尽可能地使其接近实际，这样可以相对的减小误差；运用已知的条件和测量的数据，对所建的微分方程中的参数给出相应的估计值；继而分析比较方程中的结果与实际观测之间的差异，若结果与实际情况基本一致，说明建立的微分方程符合实际问题，接下来就可以将它应用于对实际问题的进一步分析或者预测中；如果微分方程结果与实际观测不一致，就需要重新检查方程在哪出现了问题，以便对方程进行调整修正，再重复前面的过程直到建立出一个经检验符合实际问题的微分方程为止。微分方程在经济学中的实际应用主要有：分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测商品的销售量、进行成本分析、净资产分析、国民收入与储蓄、投资的关系分析等等。

3 基础数学在经济学应用中的局限性

基础数学是分析问题解决问题的一种方法，也是一个计算工具，它可以把实际问题抽象化。而经济学重要的是经济思想。基础数学只有在经济理论的合理框架下去研究分析问题才能发挥它的实用性。因此，基础数学在经济学中的应用要时刻注意以下几点：

3.1 经济学不仅仅是数学概念和数学方法的简单叠加，不能把经济学中的数字随意的数学化，在分析问题、解决问题的时候要充分考虑到经济学作为社会科学的一个分支，会受到多方面的影响（如制度、法律、道德、历史、社会、文化等等）。

3.2 经济理论的发展要有自己独立的研究角度，只有从经济学的本质出发，分析、研究现实生活中的经济规律，才能得到较为准确的结论。在此基础上，在一定条件的假设基础上，辅之以适合的数学方法和数学运算，才能解决实际生活中出现的一些经济问题。

3.3 运用数学知识分析研究经济学中出现的问题不是唯一的道路，数学知识也不是万能的，它只是研究经济问题的工具之一。要根据具体的问题，灵活地与其他学科（如物理学、医学、生物学等领域）相结合，不要过分地依赖数学，否则会导致经济问题研究的单一化，从而不利于经济学的发展。

总的来说，用数学方法和数学运算来分析求解经济领域的实际问题，已经成为当今社会研究的主流。而个人日常生活中遇到一些问题，例如购物、贷款、股票、住房、日常锻炼等问题，为了获得最佳的解决方案，也可以求助于数学模型，用其做出较理想的决策。可以说数学的引入，给经济学的发展带来了无穷无尽的灵感。不敢预测也不敢断言，在未来经济学理论的研究中数学是否会占统治地位，但越来越多的研究表明：数学在经济学研究中占有不可替代的地位，对促进经济学的发展起到了极为重要的作用。

参考文献：

[1]吴传生.经济数学-微积分[M].北京：高教出版社，2003，6.

[2]程祖瑞.经济学数学化导论[M].中国：社会科学出版社，2003.

[3]毛俊超，等.一些重要数学工具在经济学中的应用[M].商场现代化，2009（18）.

作者简介：

李立红（1967-），女，河北保定人，副教授，理学学士，经济学硕士，研究方向：基础数学。