数形结合的典范

徐传胜

数与形是数学中两个最基本的研究对象，我们在研究问题时，往往喜欢把数与形结合起来.

借助图形思维将代数学与几何学完美结合者首推法国数学家笛卡儿（ 1596-1650）和费马（1601-1665）.

1.笛卡儿与解析儿何.

笛卡儿是一位杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是一流的物理学家，

笛卡儿试从三种不同途径研究数学：从哲学角度，把数学方法看作是在一切科学领域建立真理的基础：从自然科学角度，广泛研究了力学、静力学、光学和生物学等，其《几何学》就有一部分涉及光学；从数学应用角度，致力于寻找数学的应用价值，这迥别于古希腊学者，

笛卡卜儿对当时几何学和代数学的研究方法进行了较为详尽的分析和比较.虽然几何图形易于展示某些事物的性质，但他认为“古人几何学”只限于形象，尤其对欧儿里得几何的每个证明都要求某种奇巧想法而深感不安，

笛卡儿看到了代数学具有作为普遍科学方法的潜力，认识到其程序机械化和减少工作量之价值.他认为当时的代数学严重受到了公式和法则之束缚，完全不像一门改进思想的科学.鉴于此，笛卜儿对几何学、代数学进行了有机融合，从而创立了解析几何，

笛卡儿解析儿何思想有两个基本观点：一是坐标观点，用坐标表爪点的位置，从而把坐标通过点动成线具体运川到曲线（或直线）方程建立上：二是把有关联的两个变数的任意代数方程，看成平面上的一条曲线（或直线）.这样运动就进入了数学，从而为微积分产生奠定了理论基础.

2.费马与解析几何，

费马出身于商人家庭，有幸接受了良好教育并当上图卢兹大法官.为避免社会动荡时期政治风波之影响，费马将业余时间全都用于闭门读书，被称为“业余数学家之王”.他只对能够创造未被他人触及的定理所带来的那种愉悦而感到满足.解析几何、微积分、概率论和数论，不管是哪个数学分支的成就都可以让费马在数学殿堂占有一席之地.

费马的相关研究不仅使网锥曲线从圆锥附属地位解放出来，而且构建了曲线（或直线）和代数方程的对应关系，给l代数方程的一般表示方法和研究工具.

虽然笛卡儿和费马都研究了解析几何，但其基本思想、研究目的和研究方法却有着不同.费马主要是继承古希腊几何学思想，未能完全摆脱阿波罗尼奥斯静态研究几何曲线的影响，而笛卡儿则是从批评古希腊传统出发，为几何学注入了新活力.虽然用方程表示曲线（或直线）之思想在费马的研究中较为明显，但真正发现代数方法威力者应是笛卡儿，

后来，解析几何得以迅速发展.至19世纪80年代，古典解析几何已逐步向向量分析或向量代数方向发展.历史研究表明：笛卡儿方法论原理旨在寻求发现真理的一般方法，其《几何学》思路与传统方法大相径庭.他主张“汲取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短”.而解析几何像一座桥梁，使得两个彼此相隔的领域（即几何学与代数学）在笛卡儿、费马那里实现了和谐统一，使之互相吸取了新鲜的活力：既可使几何目的通过代数达到，又可给代数概念以几何解释.解析几何方法由于具有解决各类问题的普遍性，现已成为几何研究中的基本方法之一。