投资组合优化策略问题研究

王璐 吴婧

[摘 要]在借鉴Markowitz投资组合均值方差模型的基础上，为风险偏好不同的投资者设计了投资组合的复合模型：首先根据风险与收益的短期预测选择股票种类，其次依据风险偏好确定投资组合收益与风险的优化比率，最后利用该优化比率配置有限资金以使效用最大化。

[关键词]盈利与风险；投资组合；目标规划；Markowitz的均值—方差模型

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.34.041

1 前 言

在证券投资中，收益和风险形影相随，收益以风险为代价，风险用收益来补偿。收益与风险的基本关系是：收益与风险相对应。风险较大的证券，其要求的收益率相对较高；反之，收益率较低的投资对象，风险相对较小。那么如何在一定的收益率下对市场上的股票进行组合投资，来保证风险最小、如何在投资者的承受范围之内使得所投项目获利最大、风险与收益率如何达到一个均衡状态从而使得投资者获利最大，经济学家作了孜孜不倦的努力。

获得诺贝尔经济学奖的Markowitz于1952年提出的投资组合均值方差模型，是过去50年来金融理论发展的基石，其核心是把过去证券的平均收益作为未来投资的期望收益，把过去平均收益的方差作为未来投资的风险。“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”体现了投资组合理论的基本思想，也就是将多项风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率。

2 基于指数平滑法的单只股票收益率与风险率评价模型

在建立评价单只股票收益率与风险率评价模型之前，我们在综合考虑各方面原因后首先做出如下假设：

第一，投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一段时间内股票收益的概率分布；第二，投资者的决定仅仅是依据股票的收益和风险，与其他外界因素无关；第三，整个市场没有摩擦，即不存在交易成本和税收；所有资产完全可分割，可交易；没有限制性规定；信息成本为0；第四，短时期内所评估出的平均收益率，风险损失率在一定时间段内不会出现较大的改变且所购买的资产不进行买卖交易。

在股票投资过程中，往往更关心股票未来一定时间内的走势。在选股进行投资组合时，除了根据现有的数据来对一只股票进行评价外，股票未来短时间内的走势也对股票投资有着关键的影响，因此本模型中首先借助指数平滑法对股票未来一段时间内的收益率进行预测，然后结合预测值与现有数据对单只股票的收益率与风险率进行定量地评价。

2.1 指数平滑法[1]

指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展的预测。所有的预测方法中，指数平滑法是用得最多的一种。它是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法。一般有一次指数平滑法，二次指数平滑法和三次指数平滑法。

2.1.1 指数平滑公式

一次指数平滑：

2.1.2 初始值的确定

2.1.3 平滑系数的选择

如对初始值有疑问，准确性差，α宜取较大值，以体现近期数据作用，降低初值影响；如外部环境变化较快，则数据可能变化较大，α值宜取大一些，以跟踪过程变化（如取0.3～0.5）；如原始资料较缺乏，或历史资料的参考价值小，α值宜取大一些；如时序虽然具有不规则变动，但长期趋势较稳定（如接近某一稳定常数）或变化甚小，α值应较小（0.05～0.2）。

2.1.4 平滑次数的选择

通常选用二次以上的指数平滑法。一般可根据原数列散点图呈现的趋势来确定，如呈现直线趋势，选用二次指数平滑法；如呈现抛物线趋势，选用三次指数平滑法；若经过二次平滑处理后曲线仍有曲率，则采用三次指数平滑法。

2.2 单只股票收益率与风险率评价模型

一般来说，公司投资股票的收益是一个随机变量，在一段时间内，收益这个随机变量可以用期望来衡量，除了考虑其期望值外，还不能忽略其风险，风险的衡量在这里我们采用了Markowitz的建议，即用收益的方差来衡量，方差越大，则说明实际收益与理论收益的偏离越大，风险也就越大，方差越小，说明实际收益基本在理论收益周围波动，风险也就越小。为此，我们建立了评估N种股票收益率与风险损失率的模型如下：

单只股票的收益率：

Ri=[SX（]1[]n[SX）]（nj=1 rj），i=1，2，3，…N（9）

在上式中，Ri为单只股票一定时间内的收益率，即各个时间段收益率（包括利用指数平滑预测的时间段）的期望；rj表示某只股票第j个季度的净资产收益率；n为单只股票选取的时间段的个数。

单只股票的风险损失率：

在上式中，Qi表示单只股票的风险损失率，即各个季度收益率的方差；rk表示某只股票第k个季度的净资产收益率。

3 股票数目确定的投资组合模型

由上个模型我们可以得出五只股票近期n个时间段的收益率期望Ri与方差Qi，我们分别用期望与方差来作为评估收益率与风险损失率的标准，即假设前提下的短期内，各只股票的收益率用Ri衡量，风险损失率用Qi来衡量。

在以上前提下，我们对5种股票进行投资组合时，采用了Markowitz在1952年提出的均值—方差模型来进行股票组合。

第一步：求出五只股票的协方差，由于我们在假设中并未说明这五只股票是不相关的，因此在衡量总收益与风险之前应当求出其协方差寻求各只股票的相关程度，0表示不具备相关性，正数表示这两只股票是正相关，即要盈利都可能盈利，要损失都可能损失，负数表示一个盈利则另一个可能损失；

第二步：建立投资组合的总收益模型与总风险模型，在此之前应当为各只股票分配不同的权重，设股票Si的权重为Xi（i=1，2，3，4，…，N），且X1+X2+…+XN=1，则：

总收益期望：

总风险：

第三步：建立目标优化模型，由于投资组合的目的是使总收益最大，总风险最小，这两者往往是对立的，很明显，所建立的目标优化模型的目标函数有两个，即双目标优化，为容易使模型求解，我们将双目标优化模型简化为三个模型分别为模型I（固定风险水平，优化收益），模型II（固定收益水平，优化风险），模型III（风险和收益按照一定比例进行优化）。

3.1 固定风险水平，优化收益[2]

该模型需公司确定所能接受的最大风险率a，在a确定的前提下对收益进行最大化，目标规划函数如下：

3.2 固定收益水平，优化风险

该模型需公司确定所能接受的最小收益率b，在b确定的前提下对风险进行最小化，目标规划函数如下：

3.3 风险和收益按照一定比例进行优化

该模型需要公司根据自身的投资特点，根据公司对收益和风险的重视程度划分不同的权重，即收益和风险按照一定的比例进行规划，这样就可以把多目标规划转化为简单的单目标规划建立模型，这里设收益的比例为P，风险的比例为1-P，确定目标函数时，由于要求风险最低，收益最高，结合在一起可将目标函数设为风险减去收益的差值最小即可达到优化目的。目标规划函数如下：

4 考虑系统风险的投资组合模型[3][4]

Markowitz投资组合模型的基本思想是如何选择资产使在期望收益一定的情况下最大限度地减少风险或在所能承受的风险水平下最大限度地增加收益。而投资的风险和收益分别用方差和期望来度量。解决该问题要用到经济学概念：系统风险。系统风险又称市场风险，是影响所有资产的、不能通过资产组合而消除的风险，这部分风险是由那些影响整个市场的风险因素所引起的。这些因素包括宏观经济形势的变动、国家经济政策的变动、税制改革等。它是指由于某种因素的影响和变化，导致股市上所有股票价格的下跌，从而给股票持有人带来损失的可能性。系统风险的诱因发生在企业外部，上市公司本身无法控制它，其带来的影响面一般都比较大。

那么既然风险可以降低到一个比较具体的值，在投资过程中尽可能使所选股票数量少而且股票的风险降到系统风险的情况下，使得投资的证券组合的收益率最大。

该模型需公司确定系统风险A，在A确定的前提下对收益进行最大化，目标规划函数如下：

5 仿真分析

仿真背景：某公司拟将8000万元人民币投资于股票市场，现在准备根据股市数据选出具有投资前景的5只股票，现在需要确定如何将资金分配给5只股票使得收益最大，风险最小。

5.1 收益率与风险率的评定

首先，我们查询了2014年8月1日当天股票指数行情，为了使投资获得良好的收益，我们定性地从中抽取了5只具有良好走势且其母公司具备较好发展前景的股票作为投资对象，分别是平安银行（000001）、上海机场（600009）、中国神华（601088）、中兴通讯（000063）、三一重工（600031），为了评估其收益率与风险损失率，我们忽略其他因素的影响，查阅了5只股近期5个季度的财务报告，得到了表1数据。

由表3可对这5只股票作出如下四点评估结果：第一，这5只股票中，股票S1即平安银行近期以来一个季度平均收益率最高达到3.47%，股票S3即中国神华收益率低迷，一个季度平均收益率仅有0.559%；第二，这5只股票中，股票S5即三一重工近期以来风险率最高，达到了4.83%，股票S3即中国神华风险率最低，为0.0027%；第三，虽然S5三一重工在这几只股票中的收益率处于较高水平，但是其风险却大，股票收益呈现十分不稳定的状态，S3中国神华的收益最低但其风险也最小；第四，为了使投资公司得到较高的股票收益且风险损失率保持较低水平，单单投资一只股票很难达到目的，为此，可使用投资组合的方式，即将这5只股票按照一定的比例进行投资，达到高收益、低风险的投资目标。

5.2 五种投资组合模型的求解及结果分析

模型I：固定风险水平，优化收益[5]

我们用Matlab求解该目标规划，得出取不同的a值时收益的变化函数见图1。

图1 优化收益情况下风险——收益曲线

由图1可以看出，当a大于0.00016时，收益随着风险的增大缓慢变化，因此，若要在风险一定的情况下取得较大的收益，此时a应取转折点处的值，即a=0.016%，此时的收益约为3.5%，而对应股票的各个权值见表4。

图3、图4和图5中已经给出不同的P值的股票组合与收益情况，注意：P<0.8时，也即投资者对于风险不是特别重视的时候，风险与收益都保持不变，一旦投资者忽视风险时，风险与收益会发生较大的波动，巨大的潜在风险将会大大侵蚀收益率，收益率将会呈现阶梯状的减小。

6 结 论

为了更好地在实际中应用基于均值—方差的投资组合模型，在计算单只股票的收益率与风险率时，首先利用指数平滑法预测了短期内股票的走势，根据现有数据与预测数据评估了单只股票的收益与风险，使评估结果具有可靠性与中短期时间内的有效性。在求解投资组合优化模型时，将所确立的双目标规划模型分解为3个单目标模型进行求解，计算方法比较全面地考虑了投资者的投资心理。仿真实例表明，本文所建立的模型可根据投资者追求收益或规避风险等不同的投资理念得到适合投资者个人投资理念的投资组合。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]刘建军.具有不确定收益的新的投资组合优化模型的研究[J].计算机科学，2011，38（5）.

[3]荆新，王化成，刘俊彦.财务管理学[M].北京：中国人民大学出版社，2012.

[4]王芳.基于模糊概率的Markowitz投资组合分散风险的理论及实证研究[J].统计与信息论坛：2008，23（5）.

[5]刘卫国.Matlab程序设计教程[M].2版.北京：中国水利水电出版社，2010.

[6]王淑艳，田昀艳.股票投资组合的建立与风险管理[J].中国市场，2014（17）.

[7]钱骏洲，倪菁菁.马克维茨投资组合模型的Matlab计算[J].中国市场，2013（17）.

[8]倪文仙.传统投资组合理论局限下偏度投资组合效用分析[J].中国市场，2013（5）.