数学教学的要义在于培养学生的数学语言能力

姜卫东

同其他学科一样，数学学科也有其独特的一套语言系统，它包括概念、术语、符号、式子、图形等内容.数学语言包含文字语言、符号语言和图形语言三大类，其中：文字语言是用文字来表达数学内容的一种语言形式，符号语言通常是用数字、字母、运算符号和关系符号等来表达数学对象和数学关系等，图形语言是用直观图形来表示数量关系或空间形式.这三种数学语言本质上是一致的，它们相辅相成、各有优势，共同书写了整个数学知识，也为数学交流与思维提供了载体，是数学学科的基石和核心.

数学语言作为数学理论的基本构成成分，数学语言具有高度的抽象性、严密的逻辑性、表达的精确性和应用的广泛性等特点.数学语言的抽象性与数学学科的抽象性是一脉相承的，特别是符号语言，它是对现实世界中的各种对象及其关系与结构的抽象概括；数学以严密的逻辑结构作为学科骨架，违背了逻辑就违背了数学的真谛.数学中概念的外延和内涵、定理的条件与结论、分类讨论、归纳演绎等数学思想，无不与逻辑思维有关，这些逻辑思维的表达，只有通过具有严密逻辑性的数学语言才能实现和完成；数学语言是对自然语言的精确化加工和改造，它是非常精练和精确的，有严格的界定和明确的含义；数学语言既是数学知识的一部分，同时也是数学知识的载体，各种数学理论无不是通过数学语言来表述的.它是人们进行数学交流与思考的工具，数学语言在数学学习中无处不在、无时不在.

数学学习的过程，就是数学语言的掌握和使用的过程；数学教学从本质上来说，也就是培养学生数学语言能力的过程.因此，数学语言能力的培养在数学教学中具有重要的作用：

首先，数学语言是学习数学知识的基础.如前所述，数学语言本身是数学基础理论的一部分，是学生应掌握的内容.同时数学语言又是建构其他数学知识的工具，数学中概念、定义、法则、公理和定理等无一不是通过数学语言来表述的，学生只有掌握了必要的数学语言，才能真正理解这些数学知识.

其次，数学语言是优化思维品质的工具.有什么样的语言，就有什么样的思维；什么样的思维，就依赖于什么样的语言.图形语言有助于发展学生的形象思维能力和空间想象能力，数学语言的高度抽象性有助于发展思维的逻辑性和深刻性，数学语言的严密和精确有助于养成学生思维的逻辑性、周密性和批判性，数学语言的清晰与精练有助于培养学生思维的独立性和深刻性.

另外，数学语言是提升解题能力的关键.数学解题的过程就是数学语言的使用过程.从正确理解题意、画出符合题意的图形到解题思路的选择与形成，处处离不开数学语言，只有对各种数学语言熟练掌握，才能找到最优的解题路径.

尽管数学语言在数学学习中有如此重要的作用，但由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常常成为教学的难点.下面，笔者结合自身的教学实践，谈谈在课堂教学中如何培养学生的数学语言能力：

一、数学教学要加强对数学语言的理解

1.通过推敲关键词语，加强对文字语言的教学

数学知识大都是通过文字语言来表述的，其中每一个关键词语都有其严格而确切的含义，教师必须引导学生仔细领悟，明晰它们的内涵和外延以及相互之间的制约与依存关系.例如：“对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.”周期函数的形式化定义是一个高度抽象的概念，要准确理解它，必须紧紧抓住以下关键词语：“非零常数、定义域、任意x、f（x+T）=f（x）.”值得一提的是，数学中的文字语言与现实生活中的自然语言的含义有时不尽相同.例如A∪B=xx∈A或x∈B，这里“或”包含三种情况：x∈A，xB；xA，x∈B；x∈A，x∈B；而自然语言中的“或”只包含前两种情况.

2.通过揭示符号意义，加强对符号语言的教学

符号语言是文字语言的符号化，教师在教学中要善于揭示它的意义，让学生了解它的来龙去脉.对于符号语言的教学，一般要经历三个层次：一是从模型到符号.教师从具体模型入手，进行合理抽象，形成简洁的数学符号.二是从符号到符号.在抽象的基础上，对符号语言进行理性剖析，揭示符号的深刻意义.三是从符号再到模型.也就是符号语言的具体应用.例如：对函数符号f（x）的教学，在抽象出符号f（x）后，教师应揭示它的内涵：第一 ，f（x）是以x为自变量的一个函数，符号“f”可以看作是对x施加的某种法则（运算），它可以是解析式，也可以是图像或表格；第二，函数f（x）与函数f（t），若对应法则相同，定义域也相同，则f（x）与f（t）表示同一个函数；第三，f（x）与f（a）的差异与联系，f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值.

3.通过降维和数形结合，加强对图形语言的教学

图形语言相比于符号语言，较为直观.从图形中提供的形状、位置等信息建立数形之间的联系，这是解决图形问题的基本方法.当然，学生在接触空间图形时难于理解，不易掌握其中的位置关系，这时教师在课堂教学中应采用降维的教学方法，将三维的空间问题转化为二维的平面问题来解决，在具体操作时，可以分几个步骤来完成：一是由实物模型画出它的直观图，二是由直观图还原出它的实物模型，三是要符号语言表示直观图中的位置关系；四是由符号语言的表示来确定直观图中的位置关系.

二、数学教学要加强对数学语言的表述

数学语言的表述包括口头表述与书面表述两种形式.对于它们的培养可以从以下几个方面入手：第一，教师的数学语言表述要规范，要用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯、逻辑性强等，给学生以榜样；第二，教师在课堂教学中不能包办代替，要给学生表述与交流的平台，多给学生创造说与写的机会，教师要针对学生表述中的瑕疵及时进行点评与指正，特别是在书面表述中，要解决好学生“会而不对，对而不全”的问题；第三，指导学生阅读教材，以教材的样板式表达给学生以模仿与示范；第四，教师在平时的教学中，还需对学生进行基本的语言范式训练.

三、数学教学要加强对数学语言的应用

1.应用数学语言实现实际问题的“数学化”

现实中的问题本身都不是数学问题，必须经过观察、比较、分析、综合、抽象、联想、推理等手段，运用必要的数学语言，建立相应的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，这是一个数学化的过程.“哥尼斯堡七桥问题”就是这样的典型案例.在平时教学中，教师也要有意识地培养学生应用数学语言解决实际问题的能力.

2.应用普通语言实现数学语言的“通俗化”

由于数学语言是一套抽象的语言系统，为了便于交流与理解，经常还需将它还原为通俗的自然语言.教学实践也告诉我们，凡是学生能用普通语言复述概念和解释概念所揭示的本质属性，那么他对概念的理解就深刻.例如：如果学生能通俗地将反函数解释为“反过来也是函数”，那么说明他对反函数的理解就非常深刻.

3.应用数学语言的“互化”提升解题能力

数学解题的过程就是将不同数学语言进行互化的过程，各种数学思想本质上也就是数学语言互化的思想.例如：数形结合思想就是将图形语言与符号语言进行相互转化的思想.又如：

已知集合A=（x，y）y-3x-2=1，x∈R，y∈R，B={（x，y）|y=ax+2，x∈R，y∈R}，若A∩B=，则实数a的值为.这是一道易错题，解题的关键就在于将不同数学语言进行转换，首先将集合语言向几何语言转化，由于y-3x-2=1y=x+1（x≠2），故集合A表示直线y=x+1上去掉点（2，3）后的两条射线，集合B就表示直线y=ax+2上的点集； 集合运算“A∩B=”转化为几何语言则是“直线与两射线无公共点”.至此，原来的集合问题就转化为几何问题，即“直线与两射线无公共点”，只需它们平行或直线经过射线的端点（2，3），于是可求a=1或a=12.

培养学生的数学语言能力，有助于优化学生的数学思维，提高学生的数学素养.在数学课堂教学中，我们要加强过程教学，注重数学语言的培养和训练，使学生既能正确理解数学的文字语言、符号语言、图形语言并能相互转换，又能够条理清晰、准确流畅地表述解题过程.

【参考文献】

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[2]戴元涛.浅议如何培养学生的数学语言表达能力.新课程（中学版），2011（5）.

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