浅谈如何求解数学（职高）应用题

王有曹

【摘要】提高职高数学教学质量，不仅仅是为了提高职高学生的数学成绩，更重要的是能使学生学到有用的数学，并利用数学知识来解决实际问题.为此我认为在职高数学教学中，如何让学生懂得：怎样解决数学应用问题是一个非常重要的课题，本文结合自己的教学体会，从理论上及实践上阐述：如何来求解数学应用题？我认为职高数学应用题教学的关键在于现实问题“数学化”的过程，而教学的核心则在于现实问题“模型化”的过程，其一般策略包括审题、建模、求解、验证和回答五个基本环节.在高中数学应用题的教学过程中，教师必须克服学生的畏难情绪，树立学生顽强的探索精神和求知欲望.

【关键词】审题；建模；求解；验证；回答

1.审题：即在读题的过程中，教师引导学生提炼出已知、未知，并尽可能寻找出已知与未知的内在关系，将题目给定的信息经过分析、综合后，让学生尝试自己复述，学生在不经意中能把现实问题“数学化”.我们知道大多数职高学生理解能力、运算能力、思维能力等方面问题参差不齐，缺乏学习主动性和科学的学习方法，不善于发现问题，概括、转化、分析、归纳等能力比较欠缺.学生对数学学习存在一定的畏惧心理，尤其对应用题.针对这种情况，在教学中必须要求每一名学生都树立起学习的信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，不能随意放弃，每次测试都尽可能地考查一道与复习内容紧密相关的应用题，以便帮助学生消除心理障碍.通过“审题”可以大致地知道用哪些已学过的数学知识解决问题，解题有了一个比较明确的方向，这一过程也是培养学生“数学”地思考问题的最关键环节，也是数学生活化的直接体现.2010年11月我有幸参加了宁波市教研室组织的职高青年教师数学问题解决与例题讲解比赛，比赛的第二轮就是例题讲解.这例题是：我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平.为了加强公民的节水意识，某城市制定了每户每月用水收费（含用水水费和污水处理费）标准：

① 试写出每户每月用水量x（ m）与应交水费y（元）之间的函数解析式；

② 如果一个用户一个月用了20 m3水，则应交水费为多少？

对于这例题我首先让学生读懂应交水费与水量的关系，关键是让学生知道水的价格是以用水量的不同而不同.加强学生了学生的节水意识，使学生感到数学的实用性.

2.建模：将已“数学化”了的实际问题，通过教师启发诱导，使学生运用已学过的数学知识，将文字叙述的现实问题转化成用数学符号表示的式子，同时必须要求学生联系实际，确定变量的取值范围，为后面的回答问题奠定基础，这一过程称为“建模”.审题是为了理解题意，建模就是将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言.一道题目可能有较多的建模思路，应让学生选择自己最熟悉或运算过程少、技巧性不太强的数学模型来解答题目，一般来说，可采用下列策略帮助学生建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型，计数问题可建立排列组合模型，机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……水费这例题可以得到函数的表达式如下图：

这个就是水费水量的函数关系.

3.求解：求解就是对已经“模型化”了的纯数学问题得到结果的过程，也就是纯数学问题“结果化”的过程.这一过程学生较为熟悉，但重要的是要提高学生运用运算技巧和应数学思想方法的能力，培养学生顽强的求知精神.在平时的教学过程中，教师应努力让学生做到以下几点：

（1）思想上重视计算.许多学生只注重列式不注重运算，对复杂的算式缺乏信心，对简单的算式粗心马虎.原因在于思想不重视，平时没有养成良好的运算习惯.为此，我平时要加强这方面的教育，让学生知道运算失误所造成的对学习成绩的消极影响.

（2）算法要精心研究.运算过程中使用的概念、公式和法则要准确无误，这是保证运算准确的基本条件.因此，平时的作业、练习、测验等都必须要求学生认真检查、总结、订正，提高运算的正确率.另外还需要学生运算要熟练且合乎算理，运算过程中的每一步都要有理有据，或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯.如上述水费问题2：就要求学生理解分段函数的实在意义，要求学生理解当水量在某一个范围值时，应该使用哪一个表达式，如问题2：一个用户一个月用了20 m3水，则应交水费为多少？那就可以利用分段函数求解，当x=20时，Y=1.6×10+2.8（20-10）=44（元）.

4.验证：纯数学下的结果并不一定符合客观现实，如现实中往往要取整、取最值等等，这是纯数学与应用数学最不一致的地方，也是数学“生活化”的直接体现.如在首项为-16，公差为12的等差数列{an}中，当n是多少时，前n项和sn最少？最小值是多少？根据等差数列的通项公式，我们可以算出当n≤6812时，前n项和最小，但这不符合实际，因为项数不可能是小数，所以答案应该是当n=5时，前5项和最小，最小为-160.

5.回答：高中数学应用题一般不同于小学的应用题有明确的最后一个问句，因而高中数学应用题的回答要学生根据题意用简练、明确的语言概括出来，给出一个清楚的结论.如关于上述水费的问题2就可以这样回答：当用水量是20 m3，其应交的水费是44元.

要切实让学生掌握如何解决应用题，我想要做好以下几点：1.排除学生解应用问题的心理障碍.2.做好知识归纳与拓展.3.加强阅读理解能力和分析建模能力的培养.4.加强解应用题方向和目标意识的培养.要真正培养学生的创新和应用能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力和应用能力，使学生真正学到有用的数学.我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.

【参考文献】

[1]黄立俊，方水清.增强应用意识，增强建模能力.中学数学杂志，1998（5）.

[2]薛治刚.高中数学应用问题.吉林科学技术出版社，北京朗曼教学与研究中心，1998.