求函数最值的七种构造方法

陈静

一、构造方程

例1已知 a，b∈R，且a3+b3=2，求a+b的最大值.

解设a+b=t，则a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=t（t2-3ab）=2，即ab=t3-23t，所以a，b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.

故Δ=t2-4×t3-23t≥0，解得0

二、构造不等式

例2已知1≤x2+y2≤2，求x2-xy+y2的最值.

解∵ x2+y2≥2xy，

∴-x2+y22≤xy≤x2+y22，-x2+y22≤xy≤x2+y22，

则x2-xy+y2≤x2+y2+x2+y22=32（x2+y2） ≤3，x2-xy+y2≥x2+y2-x2+y22=x2+y22≥12.

故（x2-xy+y2）max=3，（x2-xy+y2）min=12.

三、构造函数

例3已知a，b，c，d，e∈R，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值.

解构造二次函数f（t）=4t2-2（a+b+c+d）t+（a2+b2+c2+d2）=（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2+（t-d）2≥0，从而Δ=4（a+b+c+d） 2-16（a2+b2+c2+d2） ≤0.又a+b+c+d =8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2，于是4×（8-e）2-16×（16-e）2≤0，解得0≤e≤165.故emax=165.

四、构造解机几何模型

例4实数x，y，z满足x+y+z=a和x2+y2+z2=a22（a>0），求实数x，y，z的取值范围.

解∵点（x，y）在直线x+y+（z-a）=0与圆x2+y2=a22-z2上，

∴利用直线与圆有公共点可得0+0+z-a2≤a22-z2，即3z2≤2az.又a>0，故0≤z≤2a3.

同理可求出0≤x≤2a3，0≤y≤2a3.

五、构造平面几何模型

例5若x，y满足|x|+|y|≤1，求w= x2-xy+y2的最值.

解（1）若xy≥0，则w=|x|2+|y|2-2|x|·|y|·cos60°.构造以|x|，|y|为两边且夹角为60°的三角形，那么第三边w≥0（当且仅当x=y=0时取等号）.由三边关系有w≤|x|+|y|≤1（x，y中有一个为0时，w=1），故0≤w≤1

（2）若xy<0，则w=|x|2+|y|2-2|x|·|y|·cos120°.构造以|x|，|y|为两边长且夹角为120°为三角形，同理可得0≤w≤1.

故wmax=1，wmin=0.

六、构造复数模型

例6求函数f（x）=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值.

解f（x）= （x2-2）2+（x-3）2-（x2-1）2+x2.令z1=（x2-2）+（x-3）i，z2=（x2-1）+xi，则f（x）=z1-z2≤z1-z2=-1-3i=10.故f（x）max=10.

七、构造线性关系式

例7求函数y=-12x+341+4x2的最小值.

解由于x∈R，1+4x2±2x>0，且（1+4x2+2x）×（1+4x2-2x）=1，可设f1=1+4x2+2x，f2=34×1+4x2-12x，f3=1+4x2-2x，且f2=af1+bf3，可解得a=3-18，b=3+18.故y= f2=34×1+4x2-12x=3-18×（1+4x2+2x）+3+18×（1+4x2-2x）≥23-18×（1+4x2+2x）×3+18×（1+4x2-2x）=24（当且仅当x=±24时取等号）.故ymin=24.