数学问题解决研究综述数学问题解决研究综述

2015-05-30贠婷

数学学习与研究 2015年5期

贠婷

【摘要】问题解决是数学教育的核心，有关数学问题解决的研究引起了国内外数学教育家的重视.本文在查阅有关文献资料的基础上，主要从数学问题解决的发展、数学问题解决的理解、数学问题解决的几种模式、影响数学问题解决的因素几个方面进行阐述，并提出可进一步研究的问题.

【关键词】数学问题解决；模式；影响因素

一、数学问题解决的发展

虽然有关问题解决的教学与研究早就有了，但把问题解决作为数学教育中的口号还是近几十年的事.90世纪50年代兴起的席卷大半个世界的“新数”运动，过分强调数学的抽象结构，却忽视了数学为现实生活服务，到70年代已呈急剧衰退之势，在重评“新数”运动的过程中，又出现了“回到基础”的口号，强调掌握最低限度的基本技能，有关问题解决的研究呈现上升之势.

20世纪七八十年代，我国主要从翻译介绍波利亚的几本数学教育名著开始，引进国外有关数学问题解决的成果.我国杂志《数学通报》（1981年第2期曹才翰文、1988年第3期任子朝文）、《数学教学》（1981年曹锡华文、1988年第2期贝克文）等对“问题解决”予以介绍.心理学家也开展了有关数学问题解决的实证研究.有学者以初中生为研究对象，采用口语报告的方式研究了学生解决几何问题的思维过程；还有研究者以初中生为研究对象，采用口语报告的方法研究了学生解代数应用题的认知模式.90年代以来，有关数学问题解决的研究立足我国教学实际，开始探讨问题解决对数学教育的影响及功能，教学实验的数量进一步增多，研究深度有所提高.

21世纪开始，随着研究进入深化阶段，有关数学问题解决的论文逐渐增多.近年来，随着课程改革的不断深入，问题解决成为数学教育中的一个热点问题.根据CNKI的检索结果，早期的有关数学问题解决的文章有1993年傅敏、丁拓的《数学问题解决学习的心理过程及相关因素分析》，1993年黄晓学《数学元认知在数学问题解决中的作用》，1994年刘卓雄在宁德师专学报发表的《问题表征与数学问题解决》以及于克芳、马静如1994年发表的《数学问题解决的含义及问题解决能力的构成成分》，早期的文章主要是以理论介绍为主.2000年广西师范大学的廖运章以《数学应用问题解决认知心理的实证研究》作为学位论文，对不同年级学生的认知表征、解题策略、元认知各监控的差异进行了实证研究.

二、数学问题解决的含义

1.基于心理活动的理解

行为主义心理学家把问题解决解释为是由刺激引起的个体的反应.美国教育学家杜威视问题解决为有意识的、深思熟虑的心智过程，此过程会伴随一连串的心理活动.

安德森把问题解决定义为任何受目标指引的认知性操作序列，其中包括三方面的因素：目标的指引性、操作序列及认知性的操作.

我国学者曹才翰在《数学教育学概论》中指出：问题解决是指“人们在面临新情境、新课题，而这些新情境与新课题用已有的知识经验不能直接解决，并且自己又没有现成对策、答案或解决方法时，所引起的寻求处理问题的一种紧张的心理活动”.

2.基于过程的理解

美国全国数学管理者大会把“问题解决”定义为：“将先前已获得的知识应用于新的、不熟悉的情境的过程.”该观点认为不仅要关注问题的结果，更要关注求得某一结果的过程.

李胜平从系统论的观点给出数学问题解决的概念，他认为“数学问题解决是利用解题者原数学信息库中的信息，将数学问题输入条件信息进行处理、编码、加工，采取一定的思维对策，运用运算来改变系统状态的这样一个思维过程”.

3.基于数学能力的理解

英国学校数学教育调查委员会报告《数学算术》认为：把数学应用于各种情形的能力就是问题解决.于子孝从数学知识应用的角度认为，“数学问题解决”是一种把数学应用于各类实际数学问题的综合性的能力，是学生数学素质的一种具体体现和展示，反映了学生数学素养和技能的程度.

综合以上观点，虽然不同的学者对问题解决定义的方式不尽相同，但一般认为，问题解决不等同于“解题”，而是在解题基础上的延伸，不是简单、机械地模仿，具有发现与创新的成分.

三、数学问题解决的模式

1.波利亚的解题模式

波利亚是数学问题解决研究中的代表人物，他的“怎样解题表”对于数学问题解决具有重要的指导意义.他把数学解题过程归结为四个阶段：“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”“回顾”.

2.匈菲尔德的数学解题模式

匈菲尔德强调数学问题解决的研究方向需要考虑四个因素，即：知识基础、解题策略、自我控制、信念系统，他根据元认知的观点，将解题过程分为：读题、探索、分析、计划、执行.

3.杜威的问题解决过程模型

美国的教育学家杜威视问题解决为有意识的、深思熟虑的心智过程，此过程会自然地伴随着一连串的心理活动，其中包括：呈现问题、定义问题、形成假设、测验假设、选择最佳的假设五个过程.

4.国内学者的解释

喻平认为解决数学问题分为理解问题、选择算子、应用算子、结果评价四个阶段，其认知过程为问题表征、模式识别、知识迁移、思维监控.在数学问题的理解阶段，解题者要将外部信息转化为内部信息，区分问题中的有关信息和无关信息，并初步识别问题的类型.在选择算子阶段，解题者在解题监控作用下，拟定解题方案，进行对外部模式的识别和外部与内部模式的匹配.在应用算子阶段，解题者需要调动与外部信息相匹配的模式.在第四阶段，解题者要对解题结果进行评判和检验，同时反思解题过程.

何小亚认为解决数学问题的心理过程包括四个阶段：①意识到问题的存在，这是解决问题的先决条件；②表征问题，这是问题解决的一个中心环节，表征方式有内部表征（心理表征）和外部表征两种方式；③确定解决问题的策略并尝试解决，它决定着问题解决的方向与成败；④评价与反思，它可以使我们更好地理解某一方法的实用性，思考为什么一种方法在某种情境中不适用，有助于在其他情境中更好地运用.

四、影响数学问题解决的因素

美国数学教育家舍恩菲尔德从数学、教育学、心理学方面做了深入研究，提出了问题解决能力的四个构成要素：①认知的资源.这是指解决者所具有的与问题有关的数学知识.②发现式解题策略.这是指解决非常规式、非标准的问题时所用的策略和技巧，是以发现和发明为目的的技能.③控制.这是指对资源和策略的选择和执行作出相关的重大决定，即对解题过程的控制.它包括设立解题计划、选择有效的过渡问题、对解决过程的监督和对结果的评价、计划的放弃和改正.④信念系统.这是指解题者怎样看待自己、怎样看待数学、怎样看待问题、怎样看待周围环境.这与前三个要素不同，它不是认知方面的，而是情感方面的，对解题者的行为有重要的影响.

莱斯特认为影响数学问题解决有多重因素，其中有四种主要因素：问题自身——任务变量，即问题本身的结构、难度以及所涉及的数学知识直接影响着问题的解决；解题者的特征——主体变量，即解题者的知识结构、能力及认知风格对解题的影响；解题行为——过程变量，解题者在解题过程中的外显及内隐行为对解题的影响；环境特征——指示变量，外部环境对解题的影响.

郑君文认为影响问题解决的因素：总的来说，有以下三方面：一是问题情境因素，二是学习者个人的特征，三是认知策略.问题情境因素包括问题的不同类型及难度、问题的陈述方式及知觉图示的难易程度.学习者个人的特征主要指知识经验基础、个性品质、学习能力.认知策略有两方面，一是一些促进问题解决的策略，如突破常规，产生不同寻常的新看法或新想法，改变思考问题时的方向，摸清问题的要点，联想与问题有密切关系的事实和条件；二是认知故障.

何小亚认为有三种因素影响着问题解决者意识到问题的存在：一是动机因素，尤其是内在动机；二是学习方式；三是问题解决者缺乏与问题相关的专业知识.洪秀满认为影响解决问题的基本因素，知识经验基础、对数学材料形式化的抽象概括水平、解题过程中的自我意识与监控水平.

综合以上观点可以看出，影响数学问题解决的因素可以分为内在因素和外在因素.内在因素如兴趣、认知基础等，外在因素如问题的表征方式、问题的难度等.

五、有待进一步研究的问题

1.关于研究背景

新课改强调学生知识的获取过程，数学问题解决同样不仅关注问题的结果，更要关注某个结果取得的过程，在新课改的背景下，在现行的教材体系和教学要求之下，研究学生的数学问题解决能力是关于数学问题解决教学的定位问题时首先需要解决的.只有解决好这个问题，才能卓有成效地研究相关问题.

2. 关于研究对象

以往有关数学问题解决的研究主要在中小学生中进行，有关大学生数学问题解决能力的研究不是很多.唐剑岚和周莹对师范大学生数学问题解决中的元认知进行了研究，发现大学生在数学问题解决中的元认知保持一定程度的差异，女生的总体水平优于男生.受此启发，可以研究大学生数学问题解决能力与数学基础的相关性如何？大学生数学问题解决能力是否与大学生的学习任务、职业方向有关？数学问题解决能力能否迁移到其他学科中？

3.与跨文化研究相结合

跨文化的相关研究表明，少数民族与汉族儿童在数学认知发展心理、平面几何学习、数学记忆等方面存在一定的差异性.在跨文化的观点下，研究不同民族、不同地区、不同文化背景下学生数学问题解决能力的差异性，将数学教育的跨文化研究与数学问题解决研究结合起来，对提高民族地区的教学质量具有积极的意义.

【参考文献】

[1]戴再平.数学习题理论[M].上海教育出版社，1996.

[2]喻平，连四清，武锡环.中国数学教育心理研究30年[M].科学出版社，2011.

[3]傅敏，丁拓.数学问题解决学习的心理过程及相关因素分析[J].西北师范大学学报，1993.

[4]黄晓学.数学元认知在数学问题解决中的作用[J].数学教育学报，1993.

[5]廖运章.数学应用问题解决认知心理的实证研究[D].广西师范大学，2000.

[6]李胜平.论数学问题解决的系统思维方法策略[J].云南师范大学学报，2007.

[7]于子孝.浅议“数学问题解决”[J].高校理科研究.

[8]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[9]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海教育出版社，2009.