走进高考看概率与统计的交融

杨文金

概率与统计图表结合

概率与与统计图表相结合是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现. 我们应掌握频率分布直方图、茎叶图、频率分布密度曲线的几何意义.

[50 100 150 200 250][0.006

0.005

0.004

0.003

0.002][日销售量/个][频率

组距][O]例1  （2014年高考辽宁卷）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;

（2）用[X]表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量[X]的分布列，期望[E（X）]及方差[D（X）].

解析  （1）设[A1]表示事件“日销售量不低于100个”，[A2]表示事件“日销售量低于50个”，[B]表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”. 因此

[P（A1）]=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

[P（A2）]=0.003×50=0.15，

[P（B）]=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）[X]可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

[P（X=0）]=C[03]·（1-0.6）3=0.064，

[P（X=1）]=C[13]·0.6（1-0.6）2=0.288，

[P（X=2）]=C[23]·0.62（1-0.6）=0.432，

[P（X=3）]=C[33]·0.63=0.216.

[X]的分布列为

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.064＼&0.288＼&0.432＼&0.216＼&]

因为[X～B]（3，0.6），所以期望[E（X）]=3×0.6=1.8，方差[D（X）]=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

点拨  本题主要考查频率分布直方图与二项分布，要求我们读懂频率分布直方图，会利用二项分布求概率.

概率与统计的数字特征相结合

本内容主要要求我们掌握统计的常见的数字特征的算法，比如中位数、平均数、众数、方差和标准差.

例2  （2014年高考湖北卷）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量[X]（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率.

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量[X]限制，并有如下关系：

[年入流量X＼&40120＼&发电机最多可运行台数＼&1＼&2＼&3＼&]

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

解析  （1）依题意，[p1=P（40120）=550]=0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3p3=]0.94+4×0.93×0.1=0.9477.

（2）记水电站年总利润为[Y]（单位：万元）.

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润[Y]=5000，[E（Y）]=5000×1=5000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当40<[X]<80时，一台发电机运行，此时[Y]=5000-800=4200，因此P（Y=4200）=P（40

[[Y]＼&4200＼&10000＼&[P]＼&0.2＼&0.8＼&]

所以，[E（Y）]=4200×0.2+10000×0.8=8840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此P（Y=15000）=P（X>120）=p3=0.1. 由此得Y的分布列如下：

[Y＼&3400＼&9200＼&15000＼&P＼&0.2＼&0.7＼&0.1＼&]

所以，[E（Y）]=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

点拨  在计算二项分布的概率分布列时，要注意以下几点：（1）分清楚在独立重复试验中，总共进行了多少次重复试验，即先确定[n]的值，然后确定在一次试验中某事件[A]发生的概率是多少，即确定[p]的值，最后再确定某事件[A]发生了多少次，即确定[k]的值;（2）准确算出每一种情况下，某事件[A]发生的概率;（3）算出的结果要验证是否符合离散型概率分布列的两个基本性质.

古典概率与独立性检验、回归方程相结合

本内容主要是考查独立性检验、回归方程的求法和步骤. 应特别注意回归方程求解过程中公式的灵活应用和独立性检验求解过程中的解题步骤.

例3  （2014年高考全国Ⅱ卷）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入[y]（单位：千元）的数据如下表：

[年份＼&2007＼&2008＼&2009＼&2010＼&2011＼&2012＼&2013＼&年份代号t＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&人均纯收入y＼&2.9＼&3.3＼&3.6＼&4.4＼&4.8＼&5.2＼&5.9＼&]

（1）求y关于t的线性回归方程;

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：[b=i=1n（ti-t）（yi-y）i=1n（ti-t）2]，[a=y-bt.]

解析  （1）由题意知[t=17]（1+2+3+4+5+6+7）=4，[y=17]（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，所以[b=4.2+2+0.7+0+0.5+1.8+4.89+4+1+0+1+4+9=0.5]

所以[a=y-bt=4.3-0.5×4=2.3]，

故线性回归万程为[y=0.5t+2.3].

（2）由（1）中的线性回归万程可知，[b>0]，所以在2007 至2013年该地区衣村居民家庭人均纯收人在逐年增加，平均每年增加0.5千元.

令[t=9]得[y=0.5×9+2.3=6.8]，故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元 .

点拨  本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解诀问题的能力.

古典概率与抽样方法结合

本内容主要是考查统计中的几种抽样方法.特别注意辨别系统抽样、简单随机抽样和分层抽样的适用范围和操作步骤.

例4  （2014年高考湖南卷）对一个容量为[N]的总体抽取容量为[n]的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为[p1，p2，p3]，则（   ）

A. [p1=p2

C. [p1=p3解析  简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即[p1=p2=p3].

答案  D