从高考真题到课本原型

杨歆

对2014年的向量高考真题进行简要分析，我们就会发现其中以考查平面向量的线性运算、模、夹角、垂直与平行、基底、数量积这些基础知识的居多，大约有十多个省市把对向量内容的考查作为高考试卷上的低中档题.而从知识交汇点考查思维能力和创新意识的试题有天津卷、陕西卷、湖南卷和安徽卷，这些试题对考生的要求比较高.

对于高考备考，我们一向强调夯实基础，回归课本.能力的提高不可能是空中楼阁，也必须从扎实的基本功中提炼升华而来.细看向量高考题，不难在课本中找到它们的“影子”.

考查平面向量的线性运算、垂直或平行

例1  （全国新课标卷）设[D，E，F]分别为[△ABC]的三边[BC，CA，AB]的中点，则[EB+FC=]（   ）

A. [BC] B. [12AD]

C. [AD] D. [12BC]

解析  [EB+FC=（EC+CB）+（FB+BC）]

[=12AC+CB+12AB+BC=12（AC+AB）=AD.]

原型  这道题直接考查平面向量的线性运算，解题思路中涉及相反向量及平行四边形加法法则，平行四边形两条对角线互相平分等内容.

与此题最接近的是必修4课本第89面的例7：[?ABCD]的两条对角线相交于点[M]，且[AB=a→，AD=b→]，你能用[a→，b→]表示[MA，MB，MC]和[MD]吗？

关于平面向量的线性运算，必修4课本第92面习题2.2A组第11、12题，第118面复习参考题A组第4题都进行了相关训练.

例2  （北京卷）已知向量[a]，[b]满足[a=1]，[b=2，1]，且[λa+b=0λ∈R]，则[λ=]        .

解析  此题的设问是[λ=]？，而题目条件支持我们轻松求出向量[a 和 b]的模，因此应该先将条件中的等式变形得到[b=-λaλ∈R]，再运用数乘运算的概念来解决问题：[λ=|b||a|=51=5.]

原型  关于数乘的概念，必修4课本第118面复习参考题A组第2题的第（4）小题以选择题的形式专门进行了考查.

在2014年高考试题中还多次出现对向量垂直的考查，涉及的试卷有湖北卷、重庆卷和全国大纲卷.

例3  （湖北卷）设向量[a=（3，3）]，[b=（1，-1）]，若[（a+λb）⊥（a-λb）]，则实数[λ]      .

解析

[∵a→+λb→=（3+λ，3-λ），  a→-λb→=（3-λ，3+λ），]

由[（a+λb）⊥（a-λb）]知，

[（3+λ）（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，]

[∴λ=±3.]

原型  课本原型是必修4课本第118面复习参考题A组第12题.通过向量垂直的已知条件，得到向量的数量积为零的等式，再依据向量数量积的坐标运算或是由向量的模与数量积的关系[a→?a→=a→2=|a→|2]求解出答案.

考查向量的模和数量积

山东卷比较单纯地考查了数量积的概念以及其坐标表示.

例4  （山东卷）已知向量[a→=（1，3），b→=（3，m）]. [若向量a→，b→]的夹角为[π6]，则实数[m=]（   ）

A. [23] B. [3]     C. 0 D. [-3]

解析  [由a→?b→=a→?b→cosπ6得，cosπ6=32=a→?b→a→?b→]

[=3+3m2?9+m2，解得m=3.]

原型  难度与必修4课本107面的例6相当.属于基本难度的考题.

江西卷的文科第12题则重点考查了向量的模与数量积的关系[（a→+b→）2=a→2+2a→?b→+b→2=a→+b→2].

例5  （江西卷）已知单位向量[e1 ，e2 的夹角为α，][且cosα=13，若向量a=3e1-2e2，则|a|=]       .

解析  [a2=a2=3e1-2e22=3e12+2e22-12e1?e2][=9+4-12cosα=9]，解得[a=3.]

原型   它的原型来自必修4课本108面习题2.4的A组第1题.

对向量数量积进行考查的还有江苏卷的第12题.

例6  如图，在平行四边形[ABCD]中，已知[AB=8]，[AD=5]，[CP=3PD]，[AP?BP=2]，则[AB?AD]的值是     .

解析  这道题属于中档题，已知条件是数量积，求解的也是数量积. 因此要分析条件和求解向量之间的关系.于是我们产生这样的想法，[以AB 和AD]为基底，表示[AP 和BP]，再由已知[AP?BP=2]得到关于[AB?AD]的等式，从而求出结果.

原型  向量的数量积是把向量的长度和三角函数联系了起来，为解决相关的几何问题提供了方便，是一种重要的思想方法. 因此同学们在复习中应该熟练掌握.比如在必修5正余弦定理的证明中就用到了向量数量积的方法，使得证明过程简洁明了.

考查平面向量的夹角

例7  （四川卷）平面向量[a=（1，2）]，[b=（4，2）]，[c=ma+b]（[m∈R]），且[c]与[a]的夹角等于[c]与[b]的夹角，则[m=]（   ）

A.[-2]     B.[-1]      C.[1]     D.[2]

解法1  [∵c=（m+4，2m+2）]，

[又cosc，a=c?a|c|?|a|]，[cosc，b=c?b|c|?|b|]，

[∴c?a|c|?|a|=c?b|c|?|b|].

又[|b|=2|a|]，[∴2c?a=c?b].

即[2[（m+4）+2（2m+2）]=4（m+4）+2（2m+2），]

[∴m=2.]

解法2  [由a→=5，b→=25，a→?b→=8可得，]

[c→?a→=（ma→+b→）?a→=ma→2+b→?a→=5m+8.]

[c→?b→=（ma→+b→）?b→=ma→?b→+b→2=8m+20.]

[∴5m+85=8m+2025，∴m=2.]

解法3  对于某些向量问题，如果能够发现其几何意义，并依据几何意义解题会使求解过程非常轻松.以这道题目为例.

因为[c=ma+b]，且[c]与[a]的夹角等于[c]与[b]的夹角，由平行四边形法则可知，以[ma→和b→]为邻边，[c]为对角线的平行四边形是菱形，所以[ma→=b→]，又因为[a→=5，b→=25，] 所以[m=2].

原型  用数形结合思想可以回避不少运算，体现了“多想少算”的解题策略.在课本上也设计了几道与向量相关的几何意义的训练题，它们分别是必修4课本第108面B组第4题，第118面复习参考题A组第11题、B组第2和第3题.向量复习时可以重点练习、体会.

考查平面向量的基本定理

平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐标表示的基础，但有些同学在平时的学习中不够重视，因此在复习中强化对定理的充分认识和理解是很有必要的.

例8  （福建卷）在下列向量组中，可以把向量[a]=（3，2）表示出来的是（   ）

A.  [e1]=（0，0），[e2]=（1，2）

B.  [e1]=（-1，2），[e2]=（5，-2）

C.  [e1]=（3，5），[e2]=（6，10）

D.  [e1]=（2，-3），[e2]=（-2，3）

原型  这道题目单纯考查平面向量的基本定理中“基底”的概念，它的原型是必修4课本第118面复习参考题A组第2题的第（6）小题，只是把课本原题的选项中向量的坐标稍作修改.

考查平面向量与其他知识的交汇

数学的系统性决定了数学知识之间必然会存在联系.向量与高中数学一些主干知识，如三角、立体几何、解析几何、不等式等都存在着深刻的联系.它们之间容易形成知识的综合或交汇.因此，向量与其它知识交汇自然受到高考命题者的青睐，应该引起重视.

1.平面向量与二次函数交汇

例9  （浙江卷）设[θ]为两个非零向量[a]，[b]的夹角，已知对任意实数[t]，[|b+ta|]的最小值为1，（   ）

A.若[θ]确定，惟[|a|]惟一确定

B.若[θ]确定，惟[|b|]惟一确定

C.若[|a|]确定，惟[θ]惟一确定

D.若[|b|]确定，惟[θ]惟一确定

解析  令二次函数[f（t）=|b+ta|2=|a|2t2+2a?bt+|b|2，]

[∵|a|≠0，  |b|≠0， ]

则当[t=-a?b|a|2=-|b|cosθ|a|]时，[f（t）]有最小值为[|b|2sin2θ，∴|b|2sin2θ=1.]

因此，当[θ]确定时，[|b|]惟一确定.

2.平面向量与三角函数或解析几何交汇

例10  （湖南卷）在平面直角坐标系中，[O]为原点，[A（-1，0），B（0，3），C（3，0），]动点[D]满足[|CD|=1，]则[|OA|+OB+OD]的最大值是         .

解法1  由[CD=1]知，点[D]在圆心为[C（3，0）]，半径为1的圆上，

可设[D（3+cosθ，sinθ），  θ∈R.      ]

[∵OA+OB+OD=（2+cosθ，3+sinθ），]

[∴OA+OB+OD=8+23sinθ+4cosθ]

[=8+27sin（θ+φ），]

利用三角函数知识可知，当且仅当[sin（θ+φ）=1]时，[OA+OB+OD]有最大值[7+1.]

解法2  由解析几何知识知，因为动点[D]的轨迹是以[C]为圆心的单位圆，所以[D]点的轨迹方程为：[（x-3）2+y2=1.]

又[∵OA+OB+OD=（x-1，y+3），]

[∴OA+OB+OD=（x-1）2+（y+3）2]，

于是问题转化为求圆[C：（x-3）2+y2=1]上的点到点[M][（1，-3）]距离的最大值，最大值为[CM+1=7+1.]

3.平面向量与线性规划交汇

例11  （陕西卷）在直角坐标系[xOy]中，已知点[A（1，1），B（2，3），C（3，2）]，点[P（x，y）]在[ΔABC]三边围成的区域（含边界）上. 设[OP=mAB+nAC][（m，n∈R）]，用[x，y]表示[m-n]，并求[m-n]的最大值.

解析  [∵OP=mAB+nAC，]

[∴（x，y）=（m+2n，2m+n），  ][即x=m+2n， y=2m+n.]

两式相减得：[y-x=m-n.]

于是将问题转化为求[y-x]在[△ABC]内部及边界求最大值的问题.令[y-x=t，]由线性规划知识可知，当直线[y=x+t]过点[B（2，3）]时，[t]取得最大值1，所以[m-n]的最大值为1.

原型  与其它数学知识交汇的平面向量试题在课本的很多地方都可以见到，复习的时候要注意. 如人教版必修4课本第108面习题2.4B组第2题就是利用平面向量数量积的知识推导了两角差的余弦公式;113面习题2.5B组第3题就是向量和曲线的方程知识的交汇;而121面复习参考题B组的第9题便是用平面向量知识推导解析几何中的斜率公式.我们在复习中要多注意总结解题的数学思想方法，培养自己思维的多样性.

总的来说，向量问题的解决途径一般有两个：一是基于几何直观的几何法，二是基于坐标运算的代数法.向量兼具几何与代数的双重特征，向量解题的工具性作用在于数形结合沟通形与数之间的关系.