浅谈隐含条件在数学解题中的作用

谭翰举

【内容摘要】在数学解题中，常常会因为学生没有注意到题目中的隐含条件，而出现解题错误，影响了学生解题能力的提高。但是，任何事物都有其两面性，如果能够利用好隐含条件，就能很好地发挥其积极作用，从而提高解题教学的有效性。为此，本文试图针对初中数学中的一些概念及性质，举例说明隐含条性在解题中的作用，供今后在教学中参考。

【关 键 词】隐含条件 数学解题 作用

【中图分类号】G634.6

《初中数学新课程标准》对学生提出的要求是：“综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”由此可见，通过数学解题来提高学生的能力是初中数学教学的一项重要目标，数学解题教学在初中数学教学中占据十分重要的地位。然而，在数学解题中，数学中的隐含条件在题目中没有明确告诉初学者往往一时不易发现，较容易忽视题中隐含条件的发掘，结果犯了条件不足解答不全，答案不正确等错误，影响了学生解题能力的提高。但是，任何事物都有其两面性，如果能够利用好隐含条件，就能很好地发挥其积极作用，从而提高解题教学的有效性。因此，探讨隐含条件在数学解题中的作用，就有着重要的现实意义。下面，就结合教学实践来举例说明隐含条性在解题中的作用，供今后在教学中参考。

一、分式中的隐含条件

例1：当x=___时， 的值为零

此题容易填x= ，而忽视分式的分母不能为零，故应填x=-3。

例2：已知：x、y为实数，且y= ，求

分析：认真考虑，在y= 中隐含着条件 1- ，1+ 这一条件，若能注意到这一点，问题就不难解决了。

解： 偶次方根的被开方数为非负数，且分式的分母不为零。 1+

解得x=1时，y=0，故 =8

1-

二、根式中的隐含条件

例3：已知根式 与 是同次根式，求n。

错解：依提议，得 =3n+4，解得n=4或n=-1

此解忽视了根指数的取值必须保证根式有意义这一题目本身所要求的条件，故n=-1不合题意，应舍去，本题正确答案为n=4，

例4：化简

错解： = =

分析：此题显然忽视了b<0这一题目本身所要求的条件。

正确解法： =- =

例5：已知根式 是同类根式，则满足条件的a、b的值为（ ）

A.不存在 B.有一组 C.有二组 D.多于二组

错解：由已知得 2a+b=7 a=3

a-b=2 解得 b-1，故选B。

分析：显然 a=10

b=8也是满足题设条件的一组解，由同类根式定义可知，两根式是同类根式，要求每一根式都是最简根式，上述答案正是忽视了定义中的这一隐含条件，造成错解。

正确解法为： 根式 不一定是最简根式， 由已知条件可得 2a+b= 解得 a=

a-b=2 b= ，故选D。

三、方程中的隐含条件

例6：m为何值时方程（m+1） +（2m+3）x+m=0有两个不相等的实数根。

错解： 方程有两个不相等的实数根， △>0，即（2m+3）-4m（m+1）>0，解得，m>-

分析：产生上述错误的原因是忽视了一元二次方程二次项系数不为零的条件，在本例中m+1 0，即m -1，正确结论为m>- 且m -1。

例7：已知： 、 是方程 的两个实根，则 + 的最大值是（ ）

错解：由根与系数的关系容易得： + =（ + ） -2 =（k-2） -2（k -3k+5）=-（k+5） +19，故最大值为-19.

分析：因为当k=-5时，△=7 -4×15=-11<0无实根。这是忽略了有关根隐含着△ 0的条件，由△ 0得到-4 k - ，故最大值为18。

四、函数中的隐含条件

例8：函数y=（m+1） 是反比例函数，则m的值为_。

错解：因为函数y=（m+1） 是反比例函数，所以 ，即 ，解得m=2或m=-1。

分析：上述答案忽视了反比例函数的定义，在这里m+1 0这一隐含条件，所以正确答案为m=2。

例9：设x 0，y 0，且2x+y=1，求3x +2y的最小值。

错解：由题给的约束条件解出y=1-2x代人3x +2y中得，3x +2y =3x +2（1-2x）=3x -4x+3=3（x- ） + ，因此所求的最小值为 。

分析：产生上述错误的原因是忽视了约束条件x 0，y 0，且2x+y=1所隐含的对、y取值范围的作用，事实上要使3x +2y取得最小值 ，必须x= ，然而x= 并不满足约束条件x 0，y 0， 2x+y=1，可见答案是错误的。

正确解法：将约束条件x 0，y 0， 2x+y=1变形为y=1-2x，有0 1-2x 1，求得0 x ，而3x +2y =3（x- ） + 中，由于0 x ，当x= 时，3x +2y有最小值3（ - ） + = 。

五、几何中的隐含条件

例10：已知三角形的两边为3和5，第三边为 的根，求此三角形的周长。

错解：由 得 =4， =8，所以三角形的周长为12和16。

分析：上述解答忽视了三角形中的一个重要的隐含条件：“任意两边之和大于第三边”，所以正确答案为12。

例11：两圆相交，已知公共弦长为16，两圆半径分别为10、17，求两圆圆心距。

分析：对于这道题，要分析两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧，答案应该是21和9。

六、三角函数中的隐含条件

例12：若角A、B是△ABC的内角，且sinA=sinB，则有：

（A）A=B （B）A=180-B （c）A=B或A=180-B （D）A=90-B

此题容易错选（C），因为只注意sinA=sinB，而忽视了A、B是△ABC的内角，隐含着A+B 180，故应选（A）。

总之，隐含条件是数学解题中的一把“双韧剑”。虽然它会给我们的数学解题教学带来困扰和阻碍，但只要我们能够有效地加以利用和科学引导，就能够发挥其积极作用。在教学实践中，可以利用隐含条件，培养严谨的思维方式，提高学生的创新能力，纠正不良的解题习惯，从而使数学解题教学更加有效。