球幂定理

谢兆帅

球幂的定义：一点P对半径为R的球O的幂为：OP2-R2 ，即：（點P与球O的球心点0的距离的平方）与（球的半径平方）的差.

证明：

点A，B，C，D，E，F共球（1）设点P为球O内一点 ，过点P作直线分别交球于A，B，C，D，E，F…….则面ABCD，面ABEF，面CDEF，……分别与球O相交，且相交线为一个圆.

因为面ABCD交球O得一个圆.

根据相交弦定理得：PA

PD因为面ABEF交球O得一个圆.

根据相交弦定理得：PA

PB=PE

PF.

因为面CDEF交球O得一个圆.

根据相交弦定理得：

PC

PD=PE

PF.

自点P引直线过球心点0，交球于点G，H，令PH>PG，

则：PH=OP+R，PG=R-OP.

因为面ABGH交球O得一个圆，根据相交弦定理得，

PA

PB=PH

PG=（R+OP）（R-OP）=R2-OP2.

因为点P在球内所以R>OP，即R2-OP2>0.

即PA

PB=PC

PD=PE

PF=PG

PF=…=R2-OP2.

也就是说在球内的一点引一条直线与球相交于两点.这点与球两个交点线段的长度的乘积为一定值.大小为（球半径的平方）与（该点与球心距离的平方）的差.

（2）设点P在球上.则OP=R，

OP2-R2=0，根据球幂定义，恒为零.

（3）设点P在球外.自点P引切线交球O于T，

自点P引割线交球O于A1B1，C1D1，E1F1…….

因为直线PT与球O相切

（点T，A1，B1，C1，D1，E1，F1共球）所以：

直线PT与（球O与面PTA1B1相交的圆）相切.

直线PT与（球O与面PTC1D1相交的圆）相切.

直线PT与（球O与面PTE1F1相交的圆）相切.

根据切割线定理，得：

PT2=PA1·PB1，PT2=PC1·PD1，PT2=PE1·PF1，

自点P引直线过球心点0，交球于点G1，H1，设PH>PG，则PH1=R+OP，PG1=OP-R.

根据切割线定理，则PT2=PH·PG=OP2-R2，

因为点P在球外，则OP>R

即OP2-R2>0.

（4）点P在球O的外部，自点引割线交球O于点A2B2，C2D2，E2F2…….

因为任意平面与球相交的曲线都是圆.

所以面A2B2C2D2 交球O的曲线是圆.

面A2B2E2F2 交球O的曲线是圆.

面C2D2E2F2 交球O的曲线是圆.

（点A2B2C2D2E2F2共球）

根据割线定理，则

PA2·PB2=PC2·PD2 PA2·PB2=PE2·P2F PC2·PD2=PE2·PF…….

自点P引直线过球心，交球于点G2，H2.设PH2>PG2，

则PH2=OP+R，PG2=OP-R.

因为面A2B2G2H2交球O的曲线是圆，则根据割线定理

PA2·PB2=PG2·PH2=OP2-R2.

因为点P在球外，则OP>R，即OP2-R2>0.

根据（1）（2）（3）（4）得，在三维空间中，空间中的一点，与球的球心的距离，（设为d）（设球的半径为R），自该点任意引直线交球于两点.

则该点与两交点的距离乘积恒为定值.大小为（d2-R2）.

圆幂定理是球幂定理，在一个平面中的特例.

若该点在球内，则该点的球幂为负.

在球上，恒为零.

在球外，球幂为正.

球幂定理将圆幂定理中的相交弦定理，切割线定理，割线定理都推广到三维空间，在本质上，揭示了点与球（点与球相交线段）的关系，把平面几何与立体几何完美的统一在一起.