高中数学解题讨论时如何确定分类标准

包学成

用分类讨论的思想解题，广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一.在数学学习过程中，哪些可能需要进行分类讨论呢？这主要包括因概念而分类，如绝对值的概念、直线斜率的定义；因定理、公式而分类，如等比数列的求和公式、指（对）数函数的单调性、一元二次方程的根等；因参数的不同取值范围讨论，如含参函数在给定区间上最值的求解等.要在解题时需要分类的时候想到分类，那么在平时的学习过程中应该加强对各种分类因素的深化理解，形成一种内在的解决问题的素质.

因此，数学解题中如何进行分类，分类标准的制定是关键：总体而言，进行分类要遵循的基本原则是因需而分、对象确定、标准统一、不重不漏.忌生搬硬套，机械模仿.因此一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

一、根据数学概念来确定分类标准

例1 已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x=2的距离为n，且m+n=4

（1）求点M的轨迹方程.

（2）过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P，Q两点，求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α.

解 （1）设点M的坐标为（x，y），依题意可得：x2+y2+x-2=4

根据绝对值的概念，轨迹方程取决于x>2还是x≤2，所以以2为标准进行分类讨论可

得轨迹方程为：

y2=4（x+1）（-1≤x<2）-12（x-3）（2≤x<3）

解 （2）如图，由于P，Q的位置变化，弦长|PQ|的表达式不同，故必须分

点P，Q都在曲线y2=4（x+1）上以及一点

在曲线y2=4（x+1）上，而另一点在曲线y2=-12（x-3）上.

可求得： PQ=4sin2απ3≤α≤2π381+cosα0≤α<π381-cosα2π3<α<π

从而知当α=π3或α=2π3時，PQmax=163.

二、根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准

数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件.

例2 已知：数列{an}，an=an 且a∈R，求数列{an}的前n项和Sn.

分析 当a≠0 时，{an}是等比数列（公比为a）可利用等比数列公式求和，此时要分a=1 和a≠1 两种情况，若a=0 可直接求和，故此题需分3种情况分别求和.

解（1）当a=0 时，an=0，Sn=0，

（2）当a=1 时，an=1，Sn=n.

（3）当a≠1 时，Sn=a（1-an）1-a.（*）

由于，当a=0 时，（*）中的Sn=0，于是（1）和（3）可合并.综上所述：sn=n（a=1），a（1-an）1-a （a≠1）.

三、根据运算时参数的范围，按需要确定分类标准

例3 解关于x的不等式组loga2x<2logax（a-1）x20且a≠1）.

解 由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a>1还是a<1，所以以参数的范围为标准进行分类，

（Ⅰ）当0