怎一个“新”字了得

刘族刚

随着新课程标准地不断深入，高考对考生的实践能力和创新意识的要求也逐年提高. 近年的高考试题都会推出一些构思精巧、情境别致、背景新颖且具有一定深度和导向清晰的创新试题，使得试卷富有时代气息而精彩纷呈与亮点频出. 本文采撷近三年高考全国卷与2015高考湖北卷数学情景题并予以分类赏析，旨在探索命题规律，揭示解题方法，达到科学备考、高效备考的目的.

创新题型之鲜明的立意

1. 考查基础知识的灵活应用

2015年新课标Ⅰ卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点. 选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理（理科）、线性规划等知识点，大部分属于常规题型和中等难度，是在高三平时训练中常见的类型.有些试题考查了基础知识的灵活应用.

如2015年新课标Ⅰ卷第16题：在平面四边形[ABCD]中，[∠A=∠B=∠C][=75°，][BC=2]，则[AB]的取值范围是 .

答案 [（6-2，6+2）]

赏析 命题者试图引导我们将解三角形的原理推广运用到四边形中.

再如2013年新课标Ⅱ卷第7题：一个四面体的顶点在空间直角坐标系[O-xyz]中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以[zox]平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）

[A B C D]

答案 A

赏析 本题考查空间点的坐标与三视图，让我们在数形结合中领悟空间想象.所有这些，要求我们打破常规思路，独立思考，积极探究，才能达到目的.

2. 立意于能力，数学方法与思想贯穿考卷

数学思想是数学的灵魂，在考查知识的同时考查思想与方法是高考的必然. 2015年新课标Ⅰ卷第1题，利用复数相等，将复数问题转化为实数问题；第8题由三角函数图象写解析式，是数形结合形数转化的数学思想；第13题函数[f（x）=xln（x+a+x2）]为偶函数，可考虑特殊化思想，由[f（-1）=f（1）]求解；第18题将立体几何的垂直关系、夹角转化为向量的数量积问题；第21题第二问，是一个含参问题的分类讨论思想等. 对思想方法的考查，在以后的高考试题中必将继续受到重视.

3. 立意于应用考查，注重逻辑推理能力

考基础、考能力是高考永恒不变的主题，而逻辑思维能力首当其冲.

如2015年新课标Ⅰ卷第9题算法循环到哪一步为止，进行的是什么运算；第10题[（x2+x+y）5]的展开式中，[x5y2]的系数问题等，无不蕴含数学逻辑推理.

再如2014年新课标Ⅰ卷第14题：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过[A，B，C]三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过[B]城市；

乙说：我没去过[C]城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.

由此可判断乙去过的城市为 .

答案 A城市

赏析 本题是集合的交集、补集运算在实际生活中的应用，或借助于逻辑联结词的“且、或、非”的含义求解.

逻辑思维能力是数学能力的核心，高考对逻辑思维的考查提出了三个方面的要求：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰有条理地进行表述.同一个问题一般有多个解决方法与路径，使用哪一个，往往体现我们的思维水平的高低.

创新题型之新颖的情境

问题情境是实现立意的材料介质，问题是情境的焦点，情境因问题而存在，新颖的情境是创新高考试题的共同特点. 解答这类问题，靠解题套路、猜题押题、题海战术等是难以达到好的效果的.

1. “新定义”型题

此类型是通过定义某新概念、新运算、新规则或新性质，从而达到完成某种推理证明或指定要求的问题. 这类问题可以考查同学们在新情景下解决问题的迁移能力，近几年的高考命题中比较常见.

如2015年湖北卷：定义“阳马”——底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；“鳖臑”——四个面都为直角三角形的四面体. 2015年新课标Ⅰ卷第21题：[minm，n]表示[m，n]中的最小值等. 解决问题的基本思路是理解定义、紧扣定义、恰当类比和合理迁移.

2. 数学实践情境

新课程标准要求同学们获取知识不仅限于被动接受、机械记忆与练习模仿，更应该自主探究与动手实践. 这一点在高考试题中得到了体现.

2015年湖北卷：一种作图工具如图所示. [O]是滑槽[AB]的中点，短杆[ON]可绕[O]转动，长杆[MN]通过[N]处铰链与[ON]连接，[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑动，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 当栓子[D]在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕[O]转动一周（[D]不动时，[N]也不动），[M]处的笔尖画出的曲线记为[C]. 以[O]为原点，[AB]所在的直线为[x]轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线[l]与两定直线[l1：x-2y=0]和[l2：x+2y=0]分别交于[P， Q]两点. 若直线[l]总与曲线[C]有且只有一个公共点，试探究：[△OPQ]的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

答案 （1）曲线[C]的方程为[x216+y24=1.]

（2）[SΔOPQ]的最小值为8.

赏析 本题给出椭圆的方法带有“数学实践”与“实习作业”特点，第一问的切入看似“高大上”，如若去除背景，实际上就是下面这个问题：[N]是单位圆[O：x2+y2=1]上的动点，[D]在[x]轴上且[|DN|=|ON|=1]，若[DM=2ND]，求[M]的轨迹方程（下略），很容易想到采用坐标转移法或参数方程法求解.

创新题型之深刻的背景

1. 数学文化背景

无论是今年全国卷还是近几年湖北卷，一个明显的亮点就是在基础试题中渗透中国数学文化.我国数学文化历史悠久，在高考试卷中选取了体现中国古代优秀数学文化，并与中学数学内容结合紧密的素材编拟试题，是自然而然的事.

如2015年全国课标Ⅱ卷第8题，其设计思路来源于《九章算术》中的“更相减损术”等.

再如2015高考湖北卷第2题，我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A. 134石 B. 169石

C. 338石 D. 1365石

答案 B

赏析 这些试题都不是渗透中国古代数学文化的良好载体，在以后的高考命题中应该会一直持续下去.

2. 生活实践背景

数学源于生活与实践，数学知识是解决实际问题的有力工具，数学也是培养理性思维的重要学科，对创新应用意识的形成和发展具有重要作用.试卷中有很多涉及应用背景的试题，贴近生活实际，让考生深深感受到“生活就是数学”、“数学就在身边”.

例如2015年新课标Ⅰ卷：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费[x]对年销售量[y]和年利润[z]的影响问题，本题要求考生根据试题所给的散点图，自主选择回归方程类型，对企业投入产品的宣传费用进行预测.

又如2015年新课标Ⅱ卷：我国二氧化硫年排放量柱形图问题、第18题用户对其产品的满意度随机调查问题（略）.

再如2014年全国卷：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

答案 D

赏析 这些试题都重视现实生活中的热点问题，紧密结合社会实际和现实生活，考查我们运用数学工具和思想方法分析、解决问题的能力，也体现了数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强实践性、应用性的要求.

3. 高等数学背景

高等数学的一些基本思想、基本概念为设计高考试题提供了广阔而又深刻的背景，其基本思想和方法是考查同学们进一步学习潜能的良好素材，加之命题小组成员中有一部分来自高校教师，因而有高等数学背景的试题走进考卷是一件再正常不过的事了.

如2015年高考湖北卷理科第6题的“符号函数”、理科第10题的“高斯函数”等，就是高等数学知识向初等数学的下移.

4. 数学教材背景

教材是教师教学内容与我们学习内容的根本. 为充分发挥了教材的示范作用，高考试题“源于教材、高于教材”是有目共睹的事实（有人统计2014年湖北文、理卷达到90分之多，新课标卷也有不少）.

如2014年新课标卷：设函数[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲线[y=f（x）]在点[（1，f（1））]处的切线为[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）证明：[f（x）>1].

答案 （1）[a=1，b=2] （2）略

赏析 作为压轴题第一问考查基础的切线问题；第二问则是典型的不含参数的不等式恒成立问题的证明，利用左边的最小值大于等于右边的最大值，不失为一个有效的方法（注意不等价性）. 本题经过变形将左边变为[xlnx]，再直接利用导数求极值方法即可得到证明.实际上本题脱胎自课本上[xlnx]的求导.这种立足于教材编拟高考试题的理念和方法，充分保障了试题背景的公平性，对中学数学教学重视教材、回归教材、减轻学业负担、促进课程改革的深化具有良好的导向作用.

随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革使“知识立意”转向“能力立意”（2015年湖北卷就是例证）. 高考试题更加重视考查同学们的学习潜能，因而命题专家必然在试题创新方面下了很大功夫，各种新题型层出不穷，如开放题型的设计（含条件开放，结论开放、方法开放等），2015年新课标Ⅰ卷第20题（2）就是结论开放探究的例证.

面对创新试题，我们要坚信两个原则：其一是“新题不难”，一般创新试题只是对以前的问题“换件外套”、“化了个妆”，貌似超凡脱俗“新面孔”，但只要我们努力揭开题目的神秘“面纱”，便可识别其“真面目”；其二是“千变万变、方法不变”，无论试题怎么新，方法总离不开课标要求.

备考时，建议可以从以下几个方面尝试：一是重视基础，强化概念建构，突出数学问题本质；二是优化知识结构，形成体系，既见树木又见森林；其三是优化学习过程，提高学习质量，知其然还要知其所以然；其四是研究新颖试题，强化对点训练，提高应试能力，我想没有过不去的坎！