浅析平面向量在高中数学解题中的应用

李怀琴

摘要：平面向量是中学数学中的重要组成部分，在中学数学课程中具有举足轻重的作用。数学作为一门工具性学科，平面向量发挥着巨大的作用。它是连接代数和几何的纽带，在数学解题中有着广泛的应用，本文主要阐述了平面向量在数学解题中的应用。

关键词：高中数学 平面向量 应用技巧

【分类号】G633.6

数学是一门理论性和逻辑性很强的学科，数学的学习对大多数学生来说有着一定的难度。中学数学知识的构成包括代数和几何两大部分，它们之间并不是孤立存在的，知识之间有着紧密的联系，包括代数和几何两大部分知识之间，也不是孤立存在的，平面向量这部分知识，既包括代数也反映着几何关系，因此，平面向量是联系代数和几何的纽带。平面向量在数学解题中发挥着重要作用，它可以简化解题，因此，在数学教学中，教师要重视对学生平面向量知识的考察，引导学生牢固掌握向量知识，培养学生运用向量解决问题的能力和习惯，提高学生解题能力。但是学生容易受传统教育的束缚和思维定式的影响，忽略利用向量解题的技巧。

一、 平面向量在平面几何问题解决中的应用

平面几何是高中数学的一部分，对于几何的学习，要求学生要有熟练的解题技巧，巧妙的做出辅助线，甚至有些平面几何证明过程繁琐，学生普遍认为难学。为了解决学生遇到的困难，降低学生解题难度，在实际教学过程中，教师要找准平面几何与平面向量之间的关系，帮助学生，将平面几何问题转化为利用向量知识来解决。平面几何是图形的集合，图形可以看做是点的集合。然而，在向量知识的学习中，我们知道，向量可以用来表示平面中的点。因此，我们可以将几何图形看做是向量的集合，以向量为工具解决几何问题，这样有助于学生清晰的找到解题的思路，简化繁琐的证明过程，降低问题的难度。

1、 在矩形ABCD中，AB= AD，E为CD的中点，F在对角线BD上，且BF=2FD，试证：A、E、F三点共线。

证明：设 ， ，则 0，且 ， = + = （ + ）= ，又因为 ，则A、F、E三点共线。

总之，在解决部分平面几何问题时，利用几何知识需要学生具有一定的解题技巧，学会做辅助线或将图形进行切割等，要求学生具备较高的解题能力。但是，向量知识在平面几何中的运用，让学生的思维更加模式化、规范化，找到了解决问题的捷径，将几何知识向量化，在解题中具有明显的优势，教师要引导学生多加运用，在解题中形成一种思维定势。教学中我们在运用向量解决问题时，应该注意学生对问题进行分析，让学生找到平面几何与向量之间的关系，挖掘出其中的内在连接点。

二、 平面向量在函数、不等式问题解决中的应用

函数与不等式是中学数学的主干知识，平面向量这章看似独立的知识，在与主干知识的汇合上有着紧密联系。新课标下，教师要尝试让学生以向量为工具，来解决函数、不等式等知识，加强知识的融合，通过巧妙的转化，让学生将向量知识与函数、不等式知识巧妙的融合为一个有机整体。

2、求函数y= + 的值域。

利用向量知识解决问题，我们需要将函数变形为y=1. + . ，设 （1， ）， （ ， ），则y= cos< ， >，所以y=2cos< ， >， 在单位圆x +y =1（x>0，y>0）上运动， 与x轴正向夹角为 ，由图象知，0 < ， > ，即所求函数的值域为 。

例3：利用向量知识解决不等式中的问题。

设a、b、c、d是实数，证明（a +b ）（c +d ） （ac+bd） 。

这是对柯西定理的证明，设 =（a，b）， =（c，d），则 =ac+bd， ，所以ac+bd ，所以，（a +b ）（c +d ） （ac+bd）

三、 平面向量在数列和三角函数问题解决中的应用

在平面向量中，它与数列知识没有太多的交汇应用。但是，有的時候会把等差数列和等比数列的性质与向量共线的条件知识结合到一起，这样能够很好的解决数列问题；而在三角函数问题的解决中，平面向量的数量积和它的坐标运算，还有向量的共线与垂直条件，常常与三角函数的内容相互渗透，使得数学问题新颖别致，自然流畅。平面向量知识在三角函数中的应用，主要是应用平面向量的数量积及其坐标运算，这些运算和向量的共线与垂直条件与三角函数等内容很好的衔接，达到了平面向量知识与三角函数知识的交汇，体现了向量的交汇性、工具性、传递性和转换思想。

四、 用空间向量运算可以解答的立体几何问题

我们不能通过空间向量运算去解决所有的立体几何问题。我们要在解决问题前仔细斟酌，如果为了用空间向量运算解题，而给学生学习带来了不必要的麻烦，会造成挫伤学生学习数学积极性的后果，就不要机械运用向量空间运算去解决问题。

《普通高中数学课程标准》对空间向量与立体几何的结合、灵活运用空间向量解决立体几何问题有了明确的规定。可见，利用空间向量解决立体几何问题为我们提供了全新的方法和技巧，解题过程通常也是运用向量公式的变形就能解决一些需要通过繁琐分析才能解决的问题，这大大提高了我们的解题效率。

但是，高中立体几何中也只是有的内容能够通过空间向量来解决，比如证明、计算等度量方面的问题，还有位置关系方面的证明问题。但是，那些需要用坐标系来解决的集合问题就不能用空间向量来解决了。

中学数学是高考中一门重要课程，在考试中具有非常重要的地位。学校从上到下都重视数学教学。一定程度上，数学成绩的好坏，直接影响着学生的整体水平。数学学习是有一定技巧的。解题是我们中学数学主要面对的问题，教师要帮助学生构建数学知识结构，培养学生的数学知识与能力，锻炼学生的数学思维，方程思想、函数思想、转化思想等都是数学解题中的重要思想，学生需要牢牢掌握。尽管数学如此重要，但是数学学习中，代数和几何并不是孤立存在的，向量既是几何研究的对象，也是代数研究的对象，是沟通代数和几何的桥梁，是重要的数学模型。数学学习中，向量在中学数学中所占比例不大，主要涉及了向量的基本知识和基本运算，学生需要识记向量部分的基本公式，掌握基本算法。学生只有熟练掌握了向量的基本知识，才有可能将知识转化为能力，在熟练掌握知识的前提下，教师引导学生将向量知识运用到其他章节的知识中，引导学生运用向量的知识去解题，让这种解题称为一种思维定式。向量在解决问题方方面有着独特的优势，本文主要从理论与实践两方面说明了向量方法在中学数学解题中的应用，主要应用的是初等数学方面的知识，说明了向量方法与几何知识、不等式、函数、立体几何等方面结合起来的应用。利用向量这一工具可以巧妙而简捷的处理多种题型，而且比传统的方法更简单、方便，中学数学中，向量方法的运用，极大的激发了学生的学习兴趣，拓宽了学生的思维，培养学生的创新意识和能力。

参考文献： 王建明，数学课程改革中的向量背景和前景分析 .数学报，2002（5）