基于数学分析中的反例及其应用研究

王伦

摘要：数学分析是一门较为重要的基础课程，它的教学内容较为抽象和形式化，学生很难理解教学内容中的概念本质，更不用说正确的运用其中的相关定理去解决实际问题。而在数学分析教学中使用反例教学有助于帮助学生理解教学内容，提高解决实际问题的能力。

关键词：数学分析；反例；应用研究

【分类号】O17-4

1.前言

数学分析是数学专业中的一门重要学科，很多学生在这门学科上栽跟头。数学分析中有较多抽象的概念，枯燥的理论增加了学生对知识理解的难度，大部分学生在学过之后还是感觉一头雾水，更不用说正确的运用有关的定理解决问题了。因此，为了降低学生的学习难度，就把反例引进到数学分析教学过程中从而帮助学生分析解决问题。

2.数学分析的概念和基本方法

数学分析就是常说的高级微积分，是专门研究实数和复数及其函数的一个数学分支，其主要内容一般是微积分学和无穷级数。像非数学专业的学生一般会学比较简单的微积分，如微积分的连续性和一些简单的可微可导。而数学专业的则需要熟练地掌握难度较大的微积分原理。数学分析的基本方法是极限法。极限法就是无穷小法，将函数扩展到无穷小在进行分析，在此基础之上再对函数进行连续性、导数、连续函数的积分和级数收敛的研究。数学分析中的拉格朗日定理、洛必达法则和柯西不等式都是实用性较强的定理。数学分析能够帮助数学家和天文家解决大量的实际问题，其影响十分广泛。

3.反例在数学分析中所起到的作用

在数学分析中经常会用到反例教学法，使用反例主要有以下作用：帮助学生更好地理解一些数学概念的性质。书上的概念有些是从正面分析的，但学生对这些概念仅仅有一些模糊的认识。他们的思维已经僵化了，有时候换个方法更利于理解。反例表示由某些事物A满足条件B，但没有性质C。这样能避免使用全称推断造成错误的结果；帮助学生正确地理解相关定理的性质。在数学分析中，大部分定理只有在一定的范围内才能成立，但书上没有给出定理成立的范围，只是用一些晦涩难懂的抽象语言进行概括，学生很难理解。比如在微分中值定理的讲解中，学生大都误认为此定理对一切可微函数都有效。这时可以用反例来加深学生对这个定理的理解，用在区间内不存在的值去反证，经过推理发现定理在该值时不适用，学生就能明白微分中值定理成立的条件以及适用范围；帮助学生把各个知识点联系起来，并能认识到知识点之间的区别。学生在学习多元函数时，很容易与一元函数混淆，将一元函数的性质照搬到多元函数上。这时用反例来证明多元函数的连续性和偏导数的存在性，证明二者之间性质的不同，进而使学生认识到一元函数和多元函数的区别以及性质的不同；帮助学生形成自己的知识体系框架，熟练地运用定理去处理实际问题。

4.反例在数学分析中的应用

在数学分析中经常会用到反例，具体体现在以下几个方面：讲解无穷大量和无穷小量等一些抽象概念。用一个较为简单的例子来说明，如对于limf（x）=A，其中x趋向于m，它的定义是对于任意的?>0，当0<│x-m│0， 任意M>0，当0<│x-m│