运动电荷在有界磁场中的运动分析

高翔

[摘 要]磁场的强弱和运动速度的大小决定了荷质比一定的粒子的磁偏转半径，而磁场分布的位置（或者粒子进与出磁场的位置）和磁场在空间分布范围限定了磁偏转运动的径迹，从而决定了磁偏转所对应的圆心角和所夹的弦，进而决定了粒子在有界磁场中运动的时间和实际通过的路径。粒子从什么位置以什么样的速度进入和射出有界磁场，以及有界磁场的分布区域是分析粒子进出有界磁场问题的重要条件。

[关键词]有界磁场 分布范围 进出位置

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230039

荷质比q/m不同的电荷以不同速度进入指定的磁场区域，磁偏转的半径r=mv/qB，因荷质比的不同而存在差异，同时由于运动电荷进入有界磁场的方向不同，即与磁场边界的夹角存在差异，磁偏转的路径也就不同。由于受磁场边界的限制，使得磁偏转的路径受到相应的限定，这也就决定了磁偏转对应的圆心角和运动弧长所夹的弦长不同，从而使得磁偏转的时间和经历的路径存在差别。

求解此类问题常用的方式是：通过确定进入和射出有界磁场的位置求解磁回旋对应的弦，通过弦长的最值求解磁回旋路径的长短，或者通过寻找磁回旋的圆心角求解磁回旋经历的时间，其中求入射速度或qm是解决此类问题切入点。

一、粒子从确定的位置以确定的速率进、出指定区域内磁场的最值问题分析

图1

【例1】 如图1所示为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T，在x轴上距坐标原点L=0.5m处为离子的入射口，在y轴上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.5m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m、电量为q，不计其重力。则上述粒子的比荷qm（Ckg）是（ ）。

A.3.5×107 B.4.9×107

C.5.3×107D.7×107

【认知及思维过程分析】

1.粒子从确定的位置进、出有界磁场，虽然知道速度的大小，但射入和射出的方向未知，在指定分布区域的有界磁场中发生磁偏转。学生多会错误地认为是从P和M处垂直边界进、出有界磁场，误认为磁偏转的半径为r=L。这是审题不清，扩大条件导致错误建立物理过程模型的结果。

图2

2.逻辑推理磁偏转的最大半径是解决问题的关键。由牛顿运动定律可知Bqv=mv2r，解得r=mv/qB，即磁偏转r∝m/q。由此可知磁偏转半径随荷质比的变化而改变。欲求最大的q/m，只要寻求最小磁回旋半径即可，即进、出磁场位置的间距等于磁偏转的直径时方可满足，如图2所示，连接MP，以之为直径求出半径r=22L，从而求得qm=4.9×107Ckg。

二、粒子从确定的位置以确定的速度进入三角形分布区域有界磁场问题分析

粒子从确定的位置以确定的速度进入指定位置的三角形有界磁场区域，磁偏转的半径随磁场强度的变化而改变，但由于磁场是在三角形区域内分布的，使得磁偏转的径迹不能任意增大，边界限制就成为求解问题的切入点。

图3

【例2】 如图3所示的平面直角坐标系xOy中，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限内的正三角形abc区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的p（0，h）点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：

（1）电场强度E的大小；

（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；

（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。

【认知及思维障碍分析】

1.粒子经由“组合场”，故解题时应明确先后经历的物理过程，准确求解前后物理过程衔接的物理量“速度”和层递发生的“位置”是求解问题的关键。

运动电荷先在匀强磁场中做类平抛运动，从确定的位置a（2h，0）射出电场，再从该点进入正三角形的匀强磁场，并发生磁偏转。通过类平抛运动的始末位置求解电场强度和到达a点的速度是解决问题的前提。

2.难点是粒子经过磁偏转后与y轴负方向成45°角射出三角形磁场，我们知道了磁偏转的速度（大小和方向），但从什么位置射出三角形磁场，是未知的，尽管知道与-y相交，但交点在哪儿未知，因此从何位置射出有界磁场是一个未知的点，我们也就无法确定磁回旋的径迹。同时由于磁场分布在指定的三角形区域内，再加上三角形边界的限制，使得磁偏转的轨迹不能随意扩大，因此利用有界磁场边界的约束，根据r=mv/qB，利用r∝1/B，通过最大的磁回旋半径寻求B的最小值就成为解决问题的切入点。

3.利用圆的对称性是作图法求射出磁场位置的关键。由弦的中垂线与包络圆弧的对称性可知，运动电荷从确定的位置以恒定的速度进入正三角形磁场，经磁偏转后粒子必然从正三角形对称点b射出。

解析：（1）设粒子在电场中运动的时间为t，在x方向上做匀速直线运动，则x=2h=v0t。

粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则：

y=h=12at2=qEm（2hv0）2

，解得E=mv202qh。

（2）粒子到达a点时沿负y方向的分速度：vy=at=2ht2·t=2ht=v0

，所以v=2v0，与x轴成45°。

（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿运动定律可知：qvB=mv2/r，解得r=mv/qB。

图4

根据圆的对称性，当运动电荷从a射入，运动到b点射出时磁偏转的半径最大，磁场的磁感应强度有最小值，如图4所示，r=

22L=

2mv0qB

，解得B=2mv0qL。

三、粒子从确定的位置以确定的入射方向进入圆形有界磁场问题分析

粒子从确定的位置以确定的入射方向进入圆形有界磁场，磁偏转的半径随入射速度的变化而正比例变化，这也使得磁偏转的圆心角随磁回旋半径减小而增大，从而使得磁偏转花费的时间随之增加。磁偏转花费的时间随圆心角或者磁偏角的变化而同步改变成为解决问题的切入点。

图5

【例3】 如图5所示，在以O为圆心的圆形区域内，有一个方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T，圆半径R=103cm，竖直平行放置的金属板连接在如图5所示的电路中，电源电动势E=9V，内阻r=1Ω，定值电阻R1=20Ω，滑动变阻器R2的最大阻值为70Ω；两金属板上的小孔S1、S2跟O点在垂直于极板的同一直线上，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D之间的距离H=203cm，现有荷质比为q/m=

40×105C/kg

的正离子由小孔S1进入电场加速后，从小孔S2穿出，通过磁场后打在荧光屏D上，不计离子的重力和离子在小孔处的初速度，求：

（1）若离子能垂直打在荧光屏上，则电压表的示数多大？

（2）滑动变阻器滑片P的位置不同，离子在磁场中运动的时间也不同，求离子在磁场中运动的最长时间和此种情况下打在荧光屏上的位置到屏中心O′点的距离。

【认知及思维障碍分析】

1.识别电路结构，判断电容器两极板间的电压是求解问题的前提。滑动变阻器R2和定值电阻R1组成稳定的串联电路，闭合回路的电流恒定。设滑动变阻器左端连入线路的电阻为Rx，则电容器两极板间获得的电压Ux=R1+Rxr+R1+R2E。

2.直线加速器两极板间的电压决定了粒子加速后获得的速度，W=qU=12mv2-0

，解得v=2qUm，即v∝U。

3.加速后的粒子从确定的位置以确定的方向进入圆形有界磁场发生磁偏转，磁偏转的半径r∝v，圆心角随磁偏转半径的增加而减小，磁偏转的时间t=θ2πT

随圆心角的减小而减少。确定何时达到最大的圆心角是求解最长时间的关键，同时要避免另外一个二级推论的干扰，那就是在磁偏转半径一定的前提下，磁偏转的径迹为劣弧的前提下，磁偏转所夹的弦随着圆心角的增加而增大，粒子磁偏转通过的路程随之增加。

解析：（1）若离子由电场射出后进入圆形有界磁场，经磁偏转射出有界磁场垂直打在荧光屏上，则离子在磁场中速度方向偏转了90°，离子在磁场中做圆周运动的径迹如图6所示，由几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的圆半径r1=R=103cm。

设两金属板间的电压为U1离子经电场加速获得v1，由动能定理有：qU1=12mv21

；由牛顿运动定律可知qv1B=mv21r1

，得r1=mv1qB

，联立两式解得：U1=B2r21q2m

，代入数值解得U1=60V。

（2）两金属板间的电压越小经电场加速后获得的速度也越小，粒子在磁场中做圆周运动的半径就越小，射出电场时的偏转角越大，因此在磁场中运动的时间越长，所以滑片在变阻器R2的左端时，离子在磁场中运动的时间最长。

由闭合电路欧姆定律得：I=ER1+R2+r=1A。

两金属板间电压Umin=IR1=20V，由qUmin=12mv22可得此时的轨迹半径：r2=0.1m。

粒子进入磁场后的径迹如图7所示，O1为径迹圆的圆心。由tanα=Rr2=3

可得α=60°，故粒子在磁场中运动的最长时间为t=T3≈5.2×10-5s。

在△OO′A中，θ=30°，所以A、O′间距离x=Htanθ=20cm。

四、粒子从确定的位置以确定的入射速度进入矩形有界磁场问题分析

粒子从确定的位置以确定的速率进入矩形有界磁场，在磁感应强度不变的情况下，磁偏转的半径恒定，但由于进入有界磁场速度方向的变化，使得磁偏转的路径存在差异，体现为磁偏转的圆心角变化，所夹的弦长也发生变化，这就使得粒子在磁场中运动的时间随之变化。通过求解磁偏转的圆心角来求解粒子在磁场中运动的时间，或者通过求解所夹的弦长来求解磁偏转通过的路程是解决此类问题的切入点。

图8

【例4】 在如图8所示的直角坐标系xOy中，矩形区域oabc内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=5.0×10-2T；第一象限内有沿-y方向的匀强电场，电场强度大小为E=1.0×105N/C。已知矩形区域的Oa边长为0.6m，ab边长为0.20m。在cb边中点N处有一放射源，某时刻放射源沿纸面向磁场中各方向均匀辐射速率均为v=2.0×106m/s的某种带正电粒子，带电粒子质量m=1.6×10-27kg，电荷量q=3.2×10-19C，不计粒子重力（计算结果保留两位有效数字），求：

（1）粒子在磁场中运动的半径。

（2）从x轴上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为多少？

（3）放射源沿-x方向射出的粒子，从射出到从y轴离开所用的时间。

【认知及思维障碍分析】

1.从确定的位置以确定的速率向各方向发射相同的粒子，磁回旋半径r=mvqB均相等，因粒子射入磁场方向不同，因而形成不同的磁偏转径迹，磁偏转径迹的包络面如图8所示，弧面NP到Na之间是粒子磁回旋的包络面。在这一包络面中，穿出磁场进入上方匀强电场中的粒子中，磁偏转中最短的弦是有界磁场的间距oa和bc的距离，因此在磁偏转半径一定的前提下，最短的弦对应最短的磁偏转路程。

图8

2.追踪分析物理过程不仅是解决物理问题的能力，更是发展学科思维能力的关键。很多时候我们只局限在磁偏转这一物理过程的最值分析而忽视了后续跟进发生的物理过程。向-x方向射出的粒子经过磁偏转后，沿y轴正向进入匀强电场，经过匀变速直线运动后，再次以相同大小的速率沿y轴负向进入有界磁场，再次发生磁偏转，通过作图法定性描绘再次发生磁偏转的径迹，通过几何关系求解磁偏转对应的圆心角，从而求解第二次磁偏转经历的时间。

图9

解：（1）粒子运动的轨迹如图8，由牛顿第二定律可得：qvB=mv2R，解得：R=0.20m。

（2）由几何知识可知最短弦对应最短的弧长，如图9所示，α=60°，最短的弧长即为最短路程s=Rα=π15=0.21m。

（3）粒子磁偏转的周期T=2πRv=6.28×10-7s。

粒子在磁场中沿NP运动的时间t1=T4。

粒子在电场中的加速度a=Eqm，又因为v=at2，解得：t2=1.0×10-7s，粒子在电场中往返运动的时间相等，即t2=t3。

由图9可知cosθ=12，故θ=60°。

粒子在磁场中运动的第二部分时间t4=θ2πT=T6。

粒子运动的总时间t总=t1+t2+t3+t4=4.6×10-7s。

综合上述分析可知，粒子以确定的速度进入指定区有界磁场，发生磁偏转的径迹因磁场的强弱、分布范围和粒子自身的运动特征而受到限定，磁场的分布限定了磁偏转径迹，从而决定了磁偏转所夹弦的大小，通过求解弦的大小来求解磁偏转通过的路程就成为解决此类问题的关键。在磁场分布范围一定的前提下，磁偏转半径越小，磁偏转越大，磁偏转的圆心角也就越大，粒子在磁场中运动的时间也就越长。

（责任编辑 易志毅）