借助波利亚解题思想，指导中学数学解题教学

文/王杰 高明

波利亚在《怎样解题》中指出解题有四个环节: “弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾反思”，并强调拟定计划是解题的核心环节，而拟定计划的关键在于联想。本文以一道竞赛题出发，着重通过“变、换、构、拆”四个方向，不同视觉、不同层次来拟定计划和完成解题，以此体现拟定计划的重要性。

题目:已知a、b、c∈R+.求证

弄清问题:本题是不等式证明问题，题目所给条件和结论有一定的结构特征，且可预测当且仅当a=b=c时，取最小值

角度1(拟定计划——变)将原命题变形为有较强或明显的结构式，利用结构特征和性质解题。

当且仅当a=b=c时，等号成立。故原不等式得证

角度2(拟定计划——换)采用代换的方法，将复杂的结构简单化，转换问题。

当且仅当x=y=z，即a=b=c时，等号成立。

角度3(拟定计划——构)通过观察讨论条件或结论的结构特征，构造解题模型，是解题最常用的手段。合理构造模型，寻找衔接点，可转化问题，使问题巧妙解决。

显然f＇＇(x)＞0恒成立，即函数f(x)为凸函数。

角度4(拟定计划——拆)将原式整体分解，分解结论。解题的主要困难来自于结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，可将结论分解为几个简单的部分，以便各个击破，达到最快解决原问题的目的。

而a、b、c∈R+，故上式结论恒成立，原不等式得证。

本题考查的知识较为基础，对于不等式的证明，方法也有很多。在这里，我们通过以上五种解法，从多角度，多层次来分析讨论问题，有机地将不等式、函数等相关知识联系起来，使解答具技巧性，又不失普遍性。

拟定计划是解题的关键，它使整个解题过程具有方向性。同时，拟定计划需要丰富的联想，它是解题的纽带，只有做到创造性的拟定计划，才能做到解题的创造性。在教学中，教师应该有意识地让学生自己去拟定计划，做到有的放矢。既能培养学生多角度，多方位地考查问题，又能增强其创新能力，达到扩大视野和锻炼思维的作用。