数学课堂教学“三模式”

曹洪辉

（绩溪县教研室，安徽绩溪245300）

乔伊斯和韦尔在其所著的《教学模式》中指出：“教学模式是构成课程和作业、选择教材、提示教师活动的一种范式或计划。”[1]一些教学论专家认为：教学模式是在一定教学思想或教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动结构框架和活动程序。作为结构框架，突出了教学模式从宏观上把握教学活动整体及各要素之间内部的关系和功能；作为活动程序则突出了教学模式的有序性和可操作性。由此可见，教学模式的本质意义是“结构框架”（理论）与“活动程序”（实践）在更高层次上的统一，是指导教师进行教学活动设计和组织实施的“范式”（简化结构）。研究与开发新的教学模式是丰富和发展教学理论的重要举措，也更利于将教学理论应用于教学实践，因此，认真总结和灵活运用成功的教学模式对于切实提高教育教学质量具有普遍的价值意义。

众所周知，数学课堂教学改革的深入更需要有高质量的教学模式的指导。新课程改革以来，笔者先后主持了《小学数学创新教育实践》《小学数学有效教学研究》《小学数学“变易”教学策略研究》等三个省级课题的研究（分别获省教科研成果一、二等奖），围绕小学数学教学改革的方向和策略，从理论认识到实际行动，又从经验提升到跟进反思，研究问题指向逐步往教学原则、教学模式等深层次领域迈进。在各阶段的实践中，我们始终坚持课程改革理念，站在儿童的立场上，立足于教学质量的切实提高，对数学课程标准下的教材编写意图、儿童学习数学的本质和课堂教学的本质等教学原则、教学策略问题做了努力探讨，同时也对数学各内容领域的教学模式着力进行了研究。为进一步使之系统化、结构化、程序化，更好地发挥教学模式在实践中的指导作用，我们依据数学课程理念、内容编排、知识系统和问题解决，尝试建构了符合学科特色、满足学生需要的以“重视情境，加强联系，突出本质，注重活动，体现思想，关注应用”为特征的小学数学教学模式，这些模式按照数学内容的性质特点和教学的课型类别可分为“根基课”模式、“生长课”模式、“培育课”模式（即基础环节、重点环节和关键环节三类课模式），现分别加以概述。

一、“根基课”模式

假如数学是一颗儿童健康成长所必需的知识“种子”，那么我们就有责任让这颗种子生长、开花、结果；假如数学是一棵知识丛林中的“大树”，那么数学的概念意义、公式法则、规律原理等知识内容就是成就这棵大树的“根基”。儿童的成长是一个知识不断发生、发展与应用的过程；儿童能否得以主动健康的发展取决于扎根在知识土壤中的“根系”和成长过程中的环境状况。我们不难懂得，数学这颗重要的知识“种子”所生发的知识“根系”集中盘错在“数与代数”和“几何与图形”两大内容领域。综合我们的探索研究和实践经验，小学数学课堂教学的“根系课”模式一般分为两种类型。

1.数的认识课教学模式

在小学，数的认识领域包括自然数、整数、小数、分数、百分数和负数。自然数的认识是小学生学习数学的开始，儿童入学前在幼儿园里都已经接触并认识了十以内的自然数，有的甚至记忆了百以内的自然数，但是否真正理解了，很难说。儿童的认识是从可感知的、具体的事物开始的，并借助其动作思维加深的。因此，儿童对数的认识必须以形象直观的图示或具体的事物作支撑，由此才能抽象出“数”的概念或意义。从儿童学习数学的本义出发，我们认为，这类课的教学模式可概括为“情境引入——丰富认识——抽象概括——应用反思”。由于自然数或整数及小数与现实生活密切相关且随处可见，教学很容易找到生活的原型；数位及位值等概念通过计数器或算盘也比较容易帮助学生理解。而“分数”的概念对于小学生来说比较抽象，如何帮助学生有效认识“分数”？现以人教版三年级上册“分数的初步认识”课例加以简述。

情境引入：创设游戏情境，由思考问题导入。（教师提问，学生用击掌次数作答）

师：把8块饼干平均分给2个小朋友，每个小朋友分得几块？

把4块饼干平均分给2个小朋友，每个小朋友分得几块？

把2块饼干平均分给2个小朋友，每个小朋友分得几块？

把1块饼干平均分给2个小朋友，每个小朋友分得几块？

当学生不能“拍”出最后一题的答案时，教师询问：掌声哪里去了？这个答案不能用整数来表示，能不能用一个新的数来表示它呢？

丰富认识：一块饼干的一半也就是说半块饼干用一个什么样的数表示？生活中有许多答案不能用整数来表示，比如，一个苹果的一半，一块蛋糕均分中的3份，一张白纸均分中的4份，等等，像这些不能用整数来表示的答案，我们的祖先就创造了一个新的数来表示它，这就是“分数”。想一想，一个物体的“一半”怎么表示？刚才你们击掌的得数怎么来的？（8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1 1÷2=？）一半就是2份中的1份也就是二分之一，这就是说1÷2=1/2。哪些现实问题还可以用1/2表示？（让学生充分说，教师注意纠正并引导学生反思）谁能用身边的实物创造一个1/2？（引导学生动手操作：折正方形或长方形的纸，也可拿其他物品折叠，如绳子）你们能不能画出“1/2”（其中的一半用颜色表示）？自己喜欢怎么画就怎么画。（反馈交流，重点指导“谁是谁的1/2”）根据刚才的活动，相信大家一定能够知道并创造出“1/3、1/4、1/5……”的分数，请大家在自己的小组里“做一做”并与同伴交流所做的结果。

抽象概括：引导学生通过刚才的观察、操作、思考、交流等经历的活动归纳概括出：像我们刚才认识的1/2、1/3、1/4、1/8……这样的数都叫作分数。把一个整体平均分成几份，其中的一份就是这个整体的几分之一。

应用反思：读、写、做、评。（略）

2.形的认识课教学模式

学习论认为，小学生对于几何图形的认识或空间观念的建立主要以“形成”方式为主，其概念获得是“搜寻和列举能够从不同种类的事物中区分出示例的特征”，“概念的获得则要求学生找出已经存在于另一个人思想中的类别的特征，而这是通过把包含有概念特征的示例和不包含这类特征的示例进行比较而形成的。为了创设这样的课程，我们脑海中必须先有清晰的类别。”[2]因此，学生对概念的认识或建立过程可概括为：识别若干个相关事物→抽象出若干个事物的共同属性→概括并形成概念→把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去进行修正与应用。这就意味着学生经历了直观认识→形象概括→本质抽象三个层次的水平发展，因此，教学可按照“情境引入——识别属性——归纳概括——练习反思”的教学模式组织实施。现以“平行四边形的认识”教学为例予以说明。

情境引入：出示一组图形？（参见图1）。

问：仔细观察一下，图中有哪几种图形？再思考一下，它们可以分成几类？（学生自由回答）如果要将这些图形分成两类，是哪两类？

识别属性：三角形我们已经学过，我们来看看这些四边形它们有什么相同？又有什么不相同的地方？各小组交流一下，准备汇报，比一比，看哪个小组回答得最棒！结合小组反馈教师板书：

图1

四边形

共同属性——四条边，四个角。

不同属性——对边长度有的不等有的相等，对边有的平行有的不平行，对角有的不相等有的相等。

哪几个图形是对边相等而且平行的？共有多少个？判断讨论得出四个（即号码为①③⑤⑥的）。我们再来研究一下，这些平行四边形还有什么属性。大家先猜猜看，是什么属性？（引导学生操作自制的平行四边形框架）体验得知：平行四边形容易变形。

归纳概括：平行四边形有什么本质属性？结合回答，教师板书：

平行四边形——

平行四边形对边平行且相等；容易变形。

如果用几个词来概述平行四边形的本质特点，用哪几个词？（平行、相等、变形）

练习反思：1.分析判断：（1）平行四边形可能有直角。（2）长方形、正方形都是平行四边形。（3）如何判断一个四边形是不是平行四边形。2.思考探究：如果画出一个平行四边形的两条对角线，那么这两条对角线互相平分。为什么？（加以必要的评价）

总之，概念课教学，入境入情是开篇，丰富认知是要领，抽象概括是关键，应用（练习）反思是根本。

二、“生长课”模式

“生长课”教学指的是那些数学知识开始“一节一节生长”的教学课，比如加减乘除运算从一步到两步再到多步混合运算（包含其中的问题解决）；数的认识从自然数到分数、小数、百分数，又从具体数到抽象数（代数）；“分”的意义从任意分到平均分再到按比例分；几何图形的认识按照“立体——平面——立体”的现实认知规律以“形状、位置、大小”的特征、由简单图形到多边图形或组合图形递进等，所有的每一个生长点都是“根基课”教学的继续和发展，也是知识的联系、发展和具体应用，更是学生形成知识结构、发展数学思维的重要过程，那么作为“生长课”教学的重要环节，教师的责任就是设法促进儿童学数学的健康成长。对此，我们将这类课的教学模式概括为“铺垫迁移——构建新知——联系应用——总结反思”，现以“用字母表示数”课例（人教版五年级上册）加以说明。

⋆铺垫迁移

1.说一说（）里的数是几？

（1）△＋△＋△=12，△＝（）

（2）○×5＝40，○＝（）

（3）2 4 6 m 10 12，m＝（）

（4）n÷4=15，n=()

2.想一想（）里的数是多少？

（1）1 2 3 4（）（）……（）

（2）1 3 5 7（）11（）……（）

启发：当一个数不能用具体的数来表示时，有没有新的办法来解决？

⋆建构新知

1.问题指引：上面的m和n我们称它们为什么？（字母）各代表多少？既然字母可以用来表示一个确定的数，那么，两个数列中的最后一个数能不能用字母或含有字母的式子来表示？如果可以，这个数怎样表示？假如用n来表示数列（1）中的最后一个数，谁知道它的前一个数是多少，怎么表示？数列（2）中的最后一个数怎么表示？它的前一个数又是多少，怎么表示？

交流讨论后得出：数列(1)最后一个数的前一个数为“n-1”；数列(2)的最后一个数是“2n-1”，它之前的一个数为“2n-3”。

“n-1”、“2n-1”和“2n-3”看上去是一个式子，对吗？但在这样的情境中它又表示某一个数，是不是？这个数确定吗？

2.思考创造：假如有一个自然数为n，那么它相邻的两个数分别是几？若小明有a张贺年卡，小亮有b张贺年卡，谁多谁少？多几张？少几张？还可能怎样？请用式子表示出来。

3.概括小结：从刚才的思考中，我们知道了什么？字母可以表示一个确定的数和不确定的数，还可以表示一个式子以及它们之间大小的关系。

4.推广应用：用字母表示运算定律或公式。（略）⋆联系应用

1.一个储蓄罐有ɑ元，小明拿走了8元，还剩（）元。

2.一个储蓄罐有ɑ元，平均分给4人，每人分得（）元。

3.一个储蓄罐有ɑ元，5个这样的储蓄罐共有（）元。

4.说说3x可能表示什么意思？结合生活实际说说3x还可以表示什么含义？

（屏幕中只出现一个3x，图略）

⋆总结反思（略）

“用字母表示数”是学生认识数领域里的一个生长点，更是学生数学认识上的一次飞跃，通过恰当的铺垫迁移，满足了学生“用字母表示数”的认识渴望；通过层次性的问题启发，让学生在观察、猜测、思考和交流等活动中懂得字母可以表示一个确定的或不确定的数，也可表示一个式子；在联系应用中，明确同一事件中，不同的字母可以表示不同的数，在用不同的字母表示不同的数时，他们存在大小、相等及倍比的关系。由此，学会在具体情境中用字母表示数或式子。

三、“培育课”模式

有经验的人都懂得，庄稼的长成长熟离不开主人对各时段的观察、思考与预测，并结合诊断采取除草、追肥、救治等相应的手段和策略进行培育。儿童的数学学习似乎也一样，他们在学数学和用数学的现实发展中，总会遭遇诸多的问题和问题解决，需要教师给予必要的指导和帮助，这是数学教学的一个显著的重要特征。这里所指的“培育课”教学就是指那些章节的、单元的或整册的整理与复习课教学（含练习课），也包括教材中所设置的“数学广角”及“综合与实践”的篇章。这部分内容是学生巩固知识、查漏补缺、构建结构、加强应用、解决问题的目标所在，同时，更是基于问题与问题解决能力发展的关键环节。布鲁纳认为：“人唯有凭借解决问题或发现问题的能力才能学到真正的发现的方法。这种实践愈积累，就愈能将自己学到的东西概括为解决问题和探究问题的方式，掌握这种概括的方式，对他解决各种各样的问题是有效的。”[3]就此，我们将这类课的教学模式分为两种。

1.整理与复习课教学模式

顾名思义，整理与复习就是理清知识脉络和要点，沟通和加强数学知识内部之间、数学与现实生活等外部之间的联系，通过开展针对性、巩固性练习，让知识“灵动”起来，让能力“活动”起来，让学生的数学“丰满”起来，它是数学教学的重要形式之一。个人认为，这类课型的教学模式可概括为“整理要点——沟通联系——分层练习——应用反思”。如六年级期末“平面图形的周长和面积公式”的整理与复习可采取以下步骤进行。

整理要点：我们学过了哪些平面图形？请简单画出这些图形。大家一定知道这些图形的周长和面积的计算，请你们一一在自己所画图形的下面写出相应的计算公式（用字母表示）。

沟通联系：你们还记得这些图形的面积计算公式是怎么推导出来的吗？请你们回忆一下，它们之间有着怎样的联系？用自己的办法写出来。若记住其中的某一个就可以记住所有已学平面图形的面积公式，你会选哪个？在学生发表意见后教师课件演绎：梯形图形的变化过程——拉长梯形的上底或缩小梯形的上底，依次将梯形变成了平行四边形、长方形或正方形、三角形。（如图2）

图2

分层练习：基础练习——综合练习——提高练习。（点拨指导与评价略）

应用反思：针对解决问题提出自己的思考。（自我反思与评价略）

2.综合与实践课教学模式

2011年版《课标》对于“综合与实践”内容的描述是：一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。其设置的目的“在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累活动经验，提高学生解决实际问题的能力。”[4]由此可见，“综合与实践”是一类以问题为载体、以指导学生自主参与为主的学习活动。在“综合与实践”活动课的课堂教学中，问题是核心，自主是关键，帮助学生建立解决问题的“模型”是根本。这类课的教学模式可概括为“提出问题——引导探究——建立模型——反思实践”。现以人教版六年级数学下册《有趣的平衡》为例对这类课教学作一概述及解读。

提出问题：引入情境图示，图中甲乙两学生在竹竿两边的塑料袋中分别放入数量不同的硬币，并在竹竿上移动位置以保持竹竿的平衡。

（按教材编写意图，这四个文本问题，其实是一个核心问题：怎样才能保证平衡？教学中，如以主题图提供的问题为载体，我们可以将“怎样才能保证平衡？”变易为“怎样才能恢复平衡？”）

……

（师出示课件。见图3）

图3

师：平衡与左右两边的刻度数、硬币数到底有着怎样的关系呢？我们就从这次不平衡开始深入研究。

板书：左刻度数3硬币数4；右刻度数4硬币数4；状态不平衡（与学生交流，确定不平衡用符号“”表示）。

师：有什么方法能让它恢复平衡呢？

把你的想法与小组同学说一说，看谁的方法最便捷！谁想到的方法最多！

引导探究：这个过程可概括为：引导猜测，组织实验，验证猜想，孕育发现。（师将板书整理，用课件出示表1）

建立模型：观察表格后，教师提问：你们有什么重大发现？能否将这个平衡的原理用一个数学的式子来概括？学生思考交流总结。

反思实践：出示一道现实生活中的问题（在菜市场中，若用杆秤称重，如何移动秤砣？向左或向右移，会产生称重怎样的偏差？），由学生尝试解决。

……

教学过程解读：显然这里的提出问题并不是简单、随意的课堂提问，而是基于课标把握、文本研读而精心设计的核心价值问题，它既是数学教学的出发点，也是课堂教学活动的中心，更是全课的主题或目标所向。教材中的“综合与实践”活动课，一般都明确提出了中心问题，具有普遍的指导性，在教学实践中，还可根据实际需要，创新文本问题，以挑战学生对中心问题的探究。上述的问题变易虽两字之差，效果却完全不同，对于课堂来说，更具开放性，对于学生来说，更具挑战性。引导探究重在围绕问题与问题解决，运用适当的探究方式（自主探究、合作探究等），帮助学生在探究活动中经历“猜想——验证——建模”的问题解决过程，获得数学化与再创造的一般方法。教育心理学家林格伦曾指出：“人有一种使自己成为有能力和有效力的持续的内驱力；能力和效力主要是学习的结果；能力发展有赖于学习，而这种学习是被环境中所察觉到的变化激起的。”[5]这就告诉我们，在适当的学习环境变化里，学生是有能力有信心探究的。在提出“怎样才能恢复平衡？”的问题后，学生思维被激活，凭经验、直觉提出了恢复平衡的方法，这就是猜想。猜想需要验证，验证的过程，应是学生在教师启发下的自主探究或合作探究的过程；验证的过程就是学生操作体验、讨论交流的过程，也是学生反思与改进的过程。建立模型既是重要的数学特征，又是重要的思想方法。“猜想——验证——再猜想——再验证”的探究过程，是模型建立的必由之路，在学生经历了上述探究过程、获得了活动经验之后，学生思考交流后建立了“左边刻度数×硬币数=右边刻度数×硬币数”的数学模型。反思实践存在于问题的解决过程，是数学思维活动的重要表现。为帮助学生对解决问题的过程进行反思总结，一条重要的途径就是让学生在新的情境中解决实际问题。这样让学生在总结出杠杆平衡规律后，围绕现实的生活场景，运用建立的“模型”解决具体的问题，由此感受到杠杆的平衡原理在实际生活中的应用价值，并在认识生活智慧中增强学习数学的创新意识和实践能力。

以上三类课的数学课堂教学模式是我们的研究总结，不能涵盖数学课堂教学的所有模式，需要广大数学教育工作者认真研究并充实完善。教育学博士肖川说：“教学艺术是教师教学主体性和创造性的最好确证，没有对教学模式的创造性运用，教师的上课就容易成为‘教教材’‘教教案’，而不是‘教学生’，教学就难以避免封闭性、机械性、刻板与程式化，就难以避免教师唱独角戏和以教师为中心，就不可能顾及学生独特的生命表现和学生提出的非常个性化的问题；学生在课堂上丰富的精神生活、自主交往和个性展示就受到很大的局限。”[6]

表1

现代教学模式论认为，教学就是环境的创造，一种教学模式就是一种教学环境；教学模式包含了“理论依据、教学目标、操作程序、实现条件和教学评价”五个因素，这五个因素所构成的环境有其不变与可变的可能。因此，“教学模式对于一般教师来说，具有‘行为指南’的作用，但任何事物往往都具有两面性，优点和缺点总是对立存在的，教学模式也不例外。我们知道，教学所依存的条件是课堂的生成和变化，尽管任何教学模式都具有明确的应用目的或中心领域，而且有具体的应用条件和范围，有一定的针对性，但‘模式’只能是‘模式’，它需要多种教学策略的辅助，需要靠教师的教学策略和艺术来克服其局限。”[7]▲

[1][2]乔伊斯等.教学模式[M].荆建华，等，译.北京：中国轻工业出版社，2002：15，173-174.

[3][5][6]肖川.教育的理想与信念[M].湖南：岳麓书院出版社，2002：131，132，145.

[4]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012：4-5.

[7]曹洪辉，汪东兴.新课程下的小学数学创新教育实践[M].北京：中央民族大学出版社，2005：128.