数学迷思：教学相长的磨砺石

朱小平

（梅岭小学，江苏扬州225002）

在每个孩子的心头，都筑有一个属于自己的数学世界。就不同的孩子而言，因数学迷思的存在与阻挡，各自的数学世界有空间大小之分，更有混沌与澄明之分。笔者作为数学教师，有责任协助孩子走出迷思，产生定见，构建一个更大的自在的数学世界。

一、聚焦：数学迷思的内涵诠释与价值澄清

（一）关于数学迷思的诠释

迷思起源于希腊语，原指可能是一个真实或不真实的故事。通俗地说，就是看似靠谱，实际上又不靠谱的事。现如今常指对于事物不明白的地方、对于事物的误区。

所有的文化都有迷思，数学也不例外。小学数学作为基础性学科，虽然学科知识浅显、简单，但许多孩子学习这门课程时仍感到充满困惑和迷思。

数学迷思，意指在数学知识发生、发展、运用过程中，学生发现与自己的经验和观念有相矛盾、不协调的地方，或者存在不明白、有疑惑的地方。它贯穿于数学知识的发生、发展、运用的整个过程。

数学迷思主要分为暂时的与长期的，外显的与内隐的，个性的与共性的数学迷思等几种类型，并集中爆发于知识发生是否高度认同、知识发展能否有机整合和精确区分、运用知识是否理解问题性质等三个区域。

（二）数学迷思的教育价值

“磨砺石”是数学迷思的一种隐喻；同样，“绊脚石”则是它的另一种隐喻。解开数学迷思，抑或困于数学迷思，产生的教育影响大不一样。数学迷思久拖不决、积重难返，则会让学生迷失于数学的丛林，成为知识异化的工具。

教育的目的，不是培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未来局势中，自主做出有意义的选择。关注和研究数学迷思，符合教育是以人为最高目的的解放旨趣。

“数学在以下方面具有独一无二的功能：它教人辨别对错，辨别证明的和待证明的，辨别可能的和不可能的。它同时也教会我们辨别那些看起来是可能的而事实也是可能的事物和那些看起来显然是可能的而事实上却大错特错的谎言。”[1]学习数学始终会伴有数学迷思的产生、发展和消解。

此外，数学迷思可能会带来教学的迷思。在迷思中学会思考，释放被压抑的心智和灵性，最终走向知性成熟的不仅仅是学生，还有以学习者身份参与其中的数学教师。换言之，数学迷思具有砥砺教学相长的意蕴。

二、剖析：数学迷思的成因透视

数学，是成人世界创造的礼物；数学学习，是接受成人必要指导的活动。儿童的数学迷思，与自身相关，与成人相关，受客观因素和主观因素作用的影响。

（一）客观性因素

首先，认知方式的差异。儿童凭借自然能力用尝试错误与整体了解去摸索世界图景，而成人则凭借知识能力用描述、分析加组合的方式认识和解释世界。如学习“图形的平移与旋转”，学生惯于图形整体把握思考如何按照平移和旋转的要求进行运动并确定图形所在位置，而教师则是先确定图形的“关键点”或“关键边”，然后由局部到整体把图形画完整。

其次，认知背景的差异。由于生活经历、心理特征和情感因素等的影响，成人与儿童的认知矛盾不可避免地出现在课程学习之中。如“认识长方体”“观察物体”的内容编排，课本介绍从不同角度（某一面的正面）观察长方体，观察到的图形是长方形或正方形。同时以三维视图介绍最多只能观看到三个面。但学生头脑中驻留着迷思，即“观察长方体不从正面看到的那个面应该是平行四边形”。于是，在美术课上，有些孩子根据数学课程知识“上面、侧面是长方形”画出由长方形拼成的长方体盒子，作品毫无立体感。

第三，认知节奏的差异。儿童的学习节奏慢、细、窄，这不同于成人的快、粗、广。学生经常会跟不上教师的语言速度、思维节奏和想象范围。例如，学生仅认识了“”之后，计算时出现答案，教师百思不得其解，认为是其粗心所致。其实不然，该学生由仅有的学习指导“”，错误联想出“”，就有了

（二）主观性因素

一方面，由于受传统看法“数学学得好不好与孩子头脑的聪明程度有关”的影响，不少教师碰到学生的数学迷思，往往不愿做更多深入的观察、思考和改善。误解或漠视学生的数学迷思，未能做出积极响应的同时，影响着学生对数学迷思的态度。

另一方面，随着年龄的增长，孩子们的主体意识逐渐增强，不希望因自己的无知而丢脸。于是，他们开始害怕犯错误，不愿开口表达真实的想法，也影响了自身的学习效能感。当思想效能破裂、不愿意探究真相，较草率地做出价值判断时，就更容易出现数学迷思。

三、突破：数学迷思——砥砺教学相长

（一）面向知识的教学策略

1.得其“大”而兼其“小”

“大”“小”兼得，就是既要关注知识习得，也要注重意义生成，做到呈现知识来龙去脉，展现学习“镜头”是如何自然切换的，使得学生对知识的发生有“全景”认识，抱有高度认同的态度。苏格拉底曾说：“唯有发自内心的知识，才能够变成人的智慧。”现代数学教学理念也要求“与学生带入课堂的数学理解、直觉以及丰富的资源建立起联系，把问题解决与意义建构结合起来”[2]。

例如，在三年级下学期期末调研中，少数学生暴露出数学迷思——会计算平均数，却无法根据平均数意义给出正确判断。题目是“姚强、王超两名学生进行投篮训练，每次投20个球，姚强投了5次，王超投了3次。两人投中成绩如下：姚强9个、14个、7个、9个、6个；王超11个、14个、8个。从两人中选一人参加投篮比赛，你选谁更合适？（通过计算说明理由）”，少数学生算出他们各自的平均进球数后，却认为应该选姚强，因为姚强共投进45个，而王超共投进33个。这有些令人费解。问题出在哪儿呢？回溯到课本，例题直接认识“由于男、女生人数不同，比较男、女生套中的总个数是不合理的，要求出男、女生平均每人套中的个数进行比较”。很明显，学生从心里是抵制这种想法的。有经验的教师会在此前再加两个情境：“两队人数相同，每人套中的个数不完全相同”和“两队人数不同，但每队中每人套中的个数相同”，但这样做仍然不能解决学生对平均数意义持有高度认同的问题。其实，平均数存在的意义首先在于描述的需要，而非比较与选择的需要。

2.得其“显”而兼其“隐”

“显”“隐”兼得，就是在关注静态数学知识的同时，还注重知识背后的数学观念、基本思想、特殊经验、破题技巧等的揭示，将学习扎根于学生对需要解决的数学问题性质的理解，建立在学生自己推理能力和问题解决策略发展的基础之上，避免成功地解决问题仅是依靠回忆记忆中的解法和规则。

最大公因数和最小公倍数的应用是数学迷思之一，如“用若干个长9厘米、宽6厘米的长方形拼成一个正方形，拼成的正方形的边长最小是多少厘米？至少要多少个这样的长方形？”学生解决该题时常会出现错误列式（参见图1），而不是正确解法（参见图2）。这里有两层迷思要捅破，一是解决方法的判断与确定，是求最大公因数，还是求最小公倍数？二是错误解法与正确解法的答案怎么会一样？破题时，首先要弄清正方形的边长是长方形长的倍数，也是宽的倍数（可以借助画图判断），也就是长和宽的公倍数，正方形边长要最小，也就是长和宽的公倍数要最小。由此，可以断定是求9和6的最小公倍数。至于第二个迷思，可利用第二种解法“[9,6]=18（18×18）÷（9×6）=324÷54=6（个）”来回避或佐证原先错误解法仅是答案相同而已，虽然与第一种正确解法的样子很像，但与第二种正确解法却不一样。

图1

图2

3.得其“新”而兼其“旧”

“新”即通过同化和顺应新纳入认知框架的新知识，“旧”即学生认知结构中已存在的前概念和旧有的知识。知识的整体，事实上无法全盘传授。“新”“旧”兼得，就是倡导以学生自己原先对数学的理解，来整合后来接受的知识，把它们组织成更为深一层的数学理解。

学数学特别讲究“序”，利用学生的前概念展开教学，能有效杜绝数学迷思的产生。同时，要关注旧经验的新动向，防止其变异。如“139+98=137+100=237”形成的运算经验就会异化于乘法简算中，出现错误“25×99=24×100=2400”。这样的情况时有发生，只是不易被觉察。

任何“碎片化的知识”只有被理性梳理并建构起系统化的秩序，才能显示出知识的力量。建立知识的整体性，可以把所有的数学观点和知识整合成一个逻辑自洽的知识操作体系，拥有全面认识、深刻理解和灵活运用的能力。如素数和合数的区别，可多元表征为因数个数二对多、正方形拼成长方形的单一和多样、乘法算式的唯一和不唯一；如平面图形长方形、正方形和平行四边形面积的计算可统摄在“横边乘竖边”之下，立体图形长方体、正方体、圆柱体积的计算可统整为“底面积乘高”。

（二）面向儿童的指导策略

1.从“正确”到正确

“正确”，这里特指在未进行印证和达成共识之前，学生坚持认为自己的想法是正确的这种学习现象。学生的“正确”在其自己看来，往往是合乎情理、逻辑“自洽”的。

从“正确”到正确，意味着承认这样一个事实——没有人愿意成为思想的懒汉，每一个儿童都身处思考境遇之中；意味着必须认可和允许儿童犯错，激励儿童直面错误，把注意力从思考结果转移到思考过程上来；更意味着教学活动依顺、跟随学生自认为“正确”的想法，基于“正确”生长正确，生长智慧。

如题目：“3000千克重的大象能卷起1000千克重的大树，63千克级的运动员能举起126千克重的杠铃，11克重的螳螂能举起44克重的食物。你认为谁是冠军？说说你的理由。”从“正确”到正确，三年级学生就先后经历了“大象→运动员→螳螂”修正判断的过程，判断依据从“1000千克＞126千克＞44克”，到“1000千克＜体重3000千克，126千克＞体重63千克”，再到“44–11=33，33＞11，126–63=63,63=63”，也是愈加科学合理。教师的视角“126÷63=2,44÷11=4,”，则让学生惊奇和兴奋。

此外，从“正确”到正确的通道一定要多样，过程一定要充分。多样既是为了满足不同能力水平、不同学习风格孩子的学习需求，也是为了让孩子了解自己之外的正确世界，以便形成多元视角。

2.从打开经验到拓宽经验

儿童依靠自发的体验去汲取知识，或者以相互印证代替直接体验获取知识。人的经验网络以直接体验为核心，不断向外拓展，并伸向远方。其中，体验程度的充分是成功打开经验的关键所在，而体验与外来的知识建立联结则是成功拓宽经验的关键。

如学习“找规律——图形的覆盖”，学生须有多轮圈一圈或框一框的操作活动，经由直接体验，自行打开经验“框两个数，最后会有一个数没有对应的和；框三个数，最后会有两个数没有对应的和；框四个数，最后会有三个数没有对应的和。所以，从m个数中去框紧连的n个数，就是最后n-1个数没有对应的和，最终不同的框法是m-（n-1）”。接着，学生利用观察记录的若干数据进行相互印证，回溯意义和体验，可拓宽经验为“m-n+1，即数的总数-框中数的个数+1=不同的框法”，只是此时要基于一一对应的思想，找到字母n和1的意义。当然，两种外在形式可以统一为m-n+1，因为m-（n-1）=m-n+1，但这需要不同学习材料的多次印证。

3.从私人对话到公共对话

通过课堂巡视、作业面批以及课后对话，笔者发现，当教师与学生“一对一”进行私人对话时，学生由于没有太多的顾虑因素，相对于上课“一对多”展开公共对话，更易坦诚说出自己的数学迷思。数学学习需要私人对话弥补公共对话的不足，甚至有赖于私人对话反哺公共对话。但利用私人对话的资源反哺公共对话，解开个体迷思丰富群体经验的时候，一定要隐藏和保护迷思主人的隐私，尽量不涉及当事人的姓名进行探讨。

诚如一位儿童所说，如果你想要弄懂什么东西，你最好尽可能让更多的人替你一起想办法。当儿童能够与同伴共同对问题给出自己的理解并形成自己的假设和解决办法时，他们学得最好。上课时的公共对话，需要以诘问的形式探究和理解一些基础概念，以抵御学生可能对数学的实质产生的某些错误观点。“数学是创造的过程，而不是强加的一堆知识”，坚持数学是创造性过程的数学诘问除了对内容的思考，比如涉及的概念、问题和图形，还有对学习过程的思考——比如采用不同的办法对特定的对象进行数学思考，采用不同的办法通过言语、数据（图示、图表等）对一个问题进行解释，以及解决问题的一系列可行性办法。

（三）面向迷思的应对策略

1.向学生学习数学

一个好教师能够向自己的学生学习以充实自己。如苏教版四年级数学（下册）教材第67页的习题，要求学生把小旗图绕B点逆时针旋转90°（参见图1），令学生感到困难的是旋转后的三角旗到底应该画成什么样子。经教师或画图成功的学生明示正确画法之后，原先犯错的学生也只是凭正确的图进行想象验证而已，但是下次碰到梯形绕固定点按要求旋转时仍然会画错。

在一次课堂巡视时，吴同学引起了笔者的注意，她画图正确且速度快，没有采用大家的方法“先画关键边，再以分析、组合的方式画小旗”，而是先把课本在学桌上原地顺时针旋转90°，记住小旗图此时的样子（也就是旋转后小旗图的样子），接着再把课本转回去，用直尺画出了正确的小旗图。那一刻，笔者瞠目结舌！这再次说明，当学生觉得某个知识点困难、难以理解的时候，需要同时运用其整体辨认特征的自然能力，来发展其想象能力和创造能力。

图1

图2

2.向同事学习数学

事实上，不仅年轻教师从同事那里能学到数学，有经验的教师也会因此获益。三年之前，班上的部分学生学习用画图策略解决如下问题，“下图是李镇小学的一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米吗？（先画一画，再解答）”出现迷思“图形右下角，什么时候要关门，什么时候缺一块？”（参见图2）当时，笔者曾为此心烦意乱，因为在后来的类似练习中这些孩子重复出现了画图的错误。去年的一次小组教研，笔者向同事讨教时发现，可以让孩子在审题时把两种情况分开画图，熟悉图形特征。

3.向内心求索寻解

笔者坚持认为，数学教师只要能创造好的环境、设计好的活动、给出好的讲授，学生的数学迷思就可以得到一一化解。要想达成上述“三好”要求，需要教师不断向内求索，进行积极持久的反思。如学习利用乘法分配律进行简便计算时，有一种错误“15×（20+3）=15×20+3=300+3=303”大家一定不陌生。之前，原以为学生犯这类错误是源于其对乘法分配律的结构没掌握，后来多次反思才想到，这种错误受以前片面认识的影响，即“根据自己简便计算的需要，可以添上或去掉括号，不影响最终的计算结果”。为此，学习专题“什么时候可以添加和去掉括号”，使之进入我们的课堂，通过比较和思辨，再次熟悉和强化规则，修正错误认识，就可遏制类似错误的再次发生。

行文至此，可以说，关注数学迷思，商讨解决办法，笔者向学生和同事学习了许多自己未曾想到的知识，也逐渐拥有了对数学课程设计与实施的深刻见解。数学迷思，令笔者对数学课堂教学更加着迷、痴迷……▲

[1]玛莎·葛森.完美的证明——一位天才和世纪数学的突破[M].胡秀国，程姚英，译.北京:北京理工大学出版社,2012:3.

[2]M.苏珊娜·多诺万,约翰·D.布兰思福特.学生是如何学习的——课堂中的数学[M].史亚娟，译.桂林:广西师范大学出版社,2011:1.

[3]黄武雄.学校在窗外[M].北京:首都师范大学出版社,2009:55-63.

[4]罗伯特·费舍尔.教儿童学会思考[M].蒋立珠，译.北京:北京师范大学出版社,2007:176-180.