基于PCK的高中数学教学设计

李志成

1引言：PCK概念的内涵

这一概念最早由斯坦福大学教授Shulman（美国教育研究会主席）提出，他认为构成教学的知识基础有7类，其中的“学科教学知识”逐步成为教师知识的重心与核心.学科教学知识是“Pedagogical Content Knowledge”（简称为PCK）的翻译，也有些研究者将其翻译成“教学内容知识”或者“学科教育知识”.

2010年上海的中学生与全球47万名中学生共同参加国际学生评估项目（PISA）的调查，最终在阅读、数学和科学素养三方面的成绩均排名全球第一，震撼全球.相比于来自外国专家学者的赞许，以及本国专家学者的质疑和惊讶，国内的数学教育家们提出“反观我们自己的数学教学”.上海作为一个国际大都市，需要建成国际金融中心，学生的数学能力以及数学教师的教学能力将遇到更大的机会和挑战，基于数学教师的学科教学知识的教学设计研究意义重大.本文将在前人的理论指导下，结合PCK的相关理论，以《数列的极限》为例，探究高中教学设计的相关问题，期望对教学设计有更好的理解和改进.2实例：基于PCK的高中数学设计

在教学实践过程中，教龄越长，教师的数学知识越丰富，对数学知识点之间的关联更加清晰，对数学学科的理解和认识越深入.基于PCK的内涵和定义，本研究以《数列的极限》的教学内容为例，通过“内容分析”、“学情分析”、“教学方法及教学手段的选择”、“教学反思”等方面的研究，探究高中数学教学设计的内涵及改进策略.

2.1“数列的极限概念”内容分析

极限概念是学生认知的难点，同时也是教学的难点.对这一难点的产生原因，回顾国内外学者的讨论，结合理论分析我们认为：极限概念由直观到严谨的生成历史是漫长的，这说明概念本身具有高度抽象性；恰当的认知根源的寻找并不容易，这使学生在最初的概念学习时借助于各自的有限空间概念帮助建立了一些不正确的心理表征，而概念间错综复杂的关系更降低了数列极限概念的可认知性.

2.11数列极限概念定义的剖析

数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础.对于数列极限概念的理解，直接关系到学生今后学习高等数学的成败.极限概念难以理解掌握的原因在于：概念在教学的过程中涉及到“任意”、“给定”、“无限接近”、“存在”、“趋向”等较抽象的术语.概念的叙述繁长、符号很多，如：绝对值符号等，且它们之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握，对绝对值的几何意义和解绝对值不等式不熟悉.

（1）定义的文本解读

上海教育出版社教材定义如下：

请同学们观察下列几个数列的变化趋势

（a）1[]10，1[]102，1[]103，…，1[]10n，…

（b）-1，1[]2，-1[]3，…，（-1）n[]n，…

（c）12，23，34，…，nn+1，…

归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数n无限增大时，数列{an}的项无限的趋近于某一个常数A，则称数列{an}以A为极限，记作limn→∞an=A.

（2）人民教育出版社教材定义如下：

数列极限的精确定义（ε-N定义）：设给定数列{an}，A是一个常数，若对于任意给定的小正数ε，总存在某个正整数N，使得对大于N的一切n，都有an-A<ε，则称常数A为数列{an}当n趋于无穷大时的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作：limn→∞an=A.

2.12几个相关概念溯源

（1）数列的概念：按一定次序排列的一列数，其中每个数叫做数列的项.

说明：数列是特殊的函数；数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数an=f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值；数列与集合的区别是：有序和无序，可重复和不可重复.

（2）数列的通项公式：数列{an}的项与项数n之间的对应关系用一个公式表示：an=f（n）.说明：不是所有的数列都能写出通项，如3的不足近似值17，173，1732，…；一个数列的通项可能不唯一，如-1，1，-1，1，…可以写成an=（-1）n-1，也可以写成an=cos（n-1）π.

2.13定义的逻辑分析

无穷等比数列所有项的和：设无穷等比数列为a1，a1q，a1q2，…，a1qn-1，…，公比为q，当无穷等比数列的公比q满足|q|<1时，其前n项和的极限才存在.当0<|q|<1时，无穷等比数列前n项和的极限如下：

因为Sn=a1（1-qn）1-q=a11-q-a11-q·qn（|q|<1），

所以limn→∞Sn=limn→∞a1（1-qn）1-q=limn→∞a11-q·limn→∞（1-qn）=a11-q（limn→∞1-limn→∞qn）=a11-q.

（因为0<|q|<1，所以limn→∞qn=0）所以limn→∞Sn=a11-q.

2.14概念的表征分析

有极限的数列一定是无穷数列.如果我们画一条数轴，把一个极限为A的数列{an}中的数和A都在数轴上表示出来，那么，我们从图形上可以看出，“数列{an}的极限是A”相当于“随着n的增大，表示an（n=1，2，…）的点无限趋近于A的点”.什么叫做“无限趋近”，有多近，也就是说，“随着n越来越大，an点与点A的距离要多小，有多小”，但作为科学的数学，是不允许用“无限趋近”或“要多近，有多近”等含糊不清的语言来对概念下定义的.

2.15概念的发展简史

极限理论刻画的是有限到无限量变的动态过程.早在战国时期，我国著名哲学家庄周在所著《庄子·天下篇》中就有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的论述.公元前263年刘徽根据圆内接正多边形边数越多，它的面积就越接近于圆面积的想法成功地推算出π的近似值是31416，可见那时候人们就有了朴素的极限思想并开始运用极限的方法.

柯西在他的论著中，摆脱了与几何图形及几何量的任何牵连，但在他的叙述中，仍有一些语句需要作进一步解释.诸如“无限地趋近”，“要怎么小就怎么小”等，后来魏尔斯特批评柯西借助连续运动的直观定义极限.

2.2学情分析研究

高中学生已经掌握了必要的预备知识：如绝对值的概念、两点间的距离、解简单绝对值不等式的技能等.掌握了数列的项（按一定次序排列的一列数，其中每个数叫做数列的项.）、数列的通项公式（数列an的项与项数n之间的对应关系用一个公式表示：an=f（n））、单调有界数列、单调无界数列、摆动有界数列、摆动无界数列的图像变化趋势，以及有极限的数列的前若干项与常数A的差的绝对值计算表，有观察图像变化趋势的能力.

（1）学生在以前的数学学习中一直接触的都是常量，而且都是有限量.他们没有遇到过无限的数学模型，习惯用一种不变的观点来分析问题.而极限是一个无限过程，需用运动、变化的观点来考察问题.初学极限的学生.最难解决的是从静态到动态的转变.

（2）数列极限概念的形式定义颠倒了思维过程的自然顺序，这与先前学生熟悉的思维方式不太一致，然而我们不应该就此降低对学生的要求，即使最初不得不采用简单而直观的方式介绍它，但我们的目的是要学生最终掌握数列极限的严谨形式定义，让思维达到真正的形式运算的水平.

（3）概念中用到了不等式，这是学生熟悉的.然而，正是这一学生熟悉的概念却隐藏着“无限趋近”的无限过程，用不等式的可解可证，将未知化为了已知，用有限的可操作性完成无限的不可操作性的辩证思想，这是学生所不熟悉的.

（4）极限概念难以理解、掌握的原因在于：概念在教学的过程中涉及到“任意”、“给定”、“无限接近”、“存在”、“趋向”等较抽象的术语.概念的叙述繁长、符号很多，且它们之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握.

3课后：课堂实践后续思考

学科教学知识（PCK）的构成并不是与生俱来，也非某本专著中能包含全部，数学教师还可以积累每次教学过程中的感受，认真撰写教学反思和教学后记，通过跟同行的交流或请教其他经验更丰富的教师，达到对教学目标、重难点的重新认识，使自身专业水平和PCK内容更趋合理.

但是，教师若只注重积累而不重视思考，教师从中得到的收获也将必定有限.我们认为，教学反思和与同行交流讨论是教师迅速成长的良好途径.我们经常碰到的一个问题是：学生在理解某个数学知识出现了问题，教师在课后就要反思为什么学生不能理解，是因为学生的知识概念不清，还是因为自身表述或呈现内容的策略方式不当.如果原因在于自身，就要及时调整教学策略，促进学生的理解.这些累积和反思逐步会融合为教师PCK的一部分，从而使教师的PCK更加丰富，结构更加合理.另外，教师需要多进入经验教师的课堂，这种进入不是简单的听课，而是需要在听课过程中和过程后，多听多想，并在课后同授课教师一起探讨，对教学中关于知识点的教学策略等问题进行探讨，交换教学思想探讨教学方法，以收获教学信息和灵感.这种教师之间的交流是一种信息交流，由此教师们相互沟通，相互影响，相互促进.

另外，高中数学教师应该多学习与专业相关的理论，特别是多学习和思考与高中数学相关的专业知识，比如《高观点下的初等数学》等；也应该及时跟进与更新和教学相关的教学技术和教学手段，这样更能使我们的PCK结构跟上时代发展的节奏，取得更好的效果.

参考文献

[1]上海市教育委员会（2004）.上海市中小学数学课程标准（试行稿）.上海：上海教育出版社，2004.

[2]柳笛（2011）.高中数学教师学科教学知识的案例研究.未出版博士论文.上海：华东师范大学，2011.

[3]胡小雪（2012）.高中数学教师MPCK结构的研究.未出版硕士论文.湖北：华中师范大学，2012.

[4]上海青浦实验研究所（2007）.小学数学新手和专家教师PCK比较的个案研究一一青浦实验的新世纪行动之四.上海教育科研，10：47—50.