一类拟线性椭圆方程边界爆破解的边界层估计

2015-05-26郝瑞亚陈玉娟

扬州大学学报（自然科学版） 2015年3期

关键词：边值问题边界层定理

郝瑞亚，陈玉娟

(南通大学理学院，江苏南通 226007)

一类拟线性椭圆方程边界爆破解的边界层估计

郝瑞亚，陈玉娟*

(南通大学理学院，江苏南通 226007)

研究p-Laplace方程Δpu=λf(u)的边界爆破问题，其中Δpu=div(| u|p－2u)且p＞1，实数λ为正参数，得到了边界爆破解的边界层估计.

p-Laplace方程;边界爆破解;边界层估计

本文考虑以下p-Laplace椭圆方程的边界爆破问题:

(F1)f(0)=0，且 ∀s∈ (0，∞)，有 f(s)＞ 0;

(F3)对任意小的 δ＞ 0，∃σ0＞ 0，当 s∈ (δ－1，∞)时，有 f'(s)＞ 0，f(s)≥ σ0sp－1;

为得到问题(1)解的边界层估计，首先研究其对应的有限边值问题

解的边界层估计.只要得到的估计与β无关，再令β→∞即可得到问题(1)解的边界层估计.

1 有限边值问题（2）解的边界层估计

的唯一解.现用常微分方程（3）来估计问题（2）解的边界层，得到如下定理.

定理1 令f满足假设条件（F1），（F2），（F3）.∀λ＞0，β＞0，问题（2）存在最大和最小非负解；∀ε＞0，存在与β无关的ΛΛ（ε）＞0，当λ＞Λ时，问题（2）的任意非负解uβλ满足：若条件（F4）成立，则有

若条件（F′4）成立，则有

证明由上下解方法［1］1499可得问题（2）存在最大与最小非负解，下面分三步证明（4）和（5）式成立.

步骤一：先考虑Ω为一维的情形.设Ω＝（0，T），则问题（2）转化为

用φ（t）＝（t）表示问题（6）的任一非负解，则φ关于t＝T／2对称，令＝φ（T／2）.当条件（F4）成立时，由强最大值原理［10］可知＞0.对问题（6）中第一个式子积分，并由φ的单调性，可得∀ε＞0，∃Λ0＞0，当λ＞Λ0时，∀t∈［0，T／2］，有

当条件（F′4）成立时，由强最大值原理知∃Λ1＞0，当λ＞Λ1时，有mβλ＝0.对问题（6）中第一个式子积分，得∀t∈［0，T／2］，有

结合（7）和（8）式，可知（4）和（5）式在Ω上成立.

步骤二：再考虑Ω为环Α＝｛x∈Rn：0＜R1＜｜x｜＜R2｝（n≥2）时问题（2）解的边界层估计.用（t）表示问题（2）的任一非负解，（t）表示问题（2）的最小非负解.通过变换

将问题（2）中Ω为环的情形转化为一维的情形，从而可以证明，若条件（F4）成立，则∀ε＞0，∃Λ2＞0，当λ＞Λ2时，∀t∈［0，R3／2－R1］，有

且∃Λ3＞0，当λ＞Λ3时，∀t∈［0，R2－R3／2］，有

下面在（9）式的基础上，进一步证明（4）式左边不等式成立.根据文献［11］中命题1，须先得到问题

的下解.∀ε＞0，取ξ∈［1，（R2／R1）（n－1）／（p－1）］，当r∈［R1，R3／2］时，令wξ（r）＝（r）＝max｛zβ（（1＋ε）ξλ1／p（r－R1））－τε，0｝，其中取τε∈ （0，ε）满足 ∀t∈ ［δ，δ－1］，有｜f（t＋τε）－f（t）｜≤ε·mint∈［δ，δ－1］f（t），δ为假设条件（F3）中给定的正数.现证wξ（r）即为问题（11）的下解.根据下解的定义，只须证∃Λ4＞0，当λ＞Λ4时，有

其中M＝（n－1）·2p－1（R2／R1）（n－1）／（p－1）q1／q.由条件（F3）得，当t∈ （0，1／δ］时，有F（t）≤F（1／δ）；当t∈（1／δ，＋∞）时，有

现取Λ4＞0，当λ＞Λ4时，有εpλ1／p·mint∈［τ，1／δ］f（t）≥M［F（1／δ）］1／q，且有

由f（t）≥σ0tp－1（t≥1／δ），易得当λ＞Λ4且t≥τε时，有εpλ1／p f（t）－M［F（t）］1／q≥0，故（12）式成立，wξ（r）是问题（11）的下解.

若条件（F′4）成立，则（13）式仍成立，且∃Λ6＞0，当λ＞Λ6时，∀t∈［0，R2－R3／2］，有

由（10），（13）和（14）式，易得当Ω为环时（4）和（5）式成立.

步骤三：证明在一般光滑区域Ω内（4）和（5）式成立.

由∂Ω是光滑的知一致的内外球体条件成立.仿照文献［9］750的方法，知∃Λ＞0，ηε＞0，当λ＞Λ且d（x）≤ηε时，问题（2）的任意非负解uβλ满足：当条件（F4）成立时，有

当条件（F′4）成立时，有

另一方面，由文献［1］1383中推论（1.7）和（1.8），知存在与β无关的Λ＊＝Λ＊（ε），使得当λ＞Λ＊且d（x）≥ηε时，有0≤uβλ（x）≤ε；当条件（F′4）成立时，有uβλ≡0；因此，（4）和（5）式成立.定理1得证.

2 边界爆破解的边界层估计

现由前述有限边值问题（2）解的边界层估计，可得λ足够大时问题（1）解的边界层估计.

定理2 令f满足假设条件（F1），（F2），（F3），且令z∞是β＝∞时问题（3）的唯一解.∀ε＞0，∃Λ＊＝Λ＊（ε）＞0，当λ＞Λ＊时，问题（1）的任意非负解Uλ满足：若条件（F4）成立，则有

若条件（F′4）成立，则有

证明由文献［1］1399中定理3.7，易得问题（1）的任意非负解Uλ的存在性.下证（17），（18）式成立.∀σ＞0，定义Ωσ＝｛x∈Ω：d（x）＞σ｝.显然，Ωσ⊆Ω.定义β＋（σ）＝maxx∈∂ΩσUλ，β－（σ）＝minx∈∂ΩσUλ.当σ→0时，有β＋（σ）→∞，β－（σ）→∞.在定理1中用Ωσ代替Ω，可得∀ε＞0，σ＞0，∃Λ＊＞0，当λ＞Λ＊时，若条件（F4）成立，则有

若条件（F′4）成立，则有

由（19）和（20）式知，∀x∈Ωσ，当λ＞Λ＊时，若条件（F4）成立，则有

若条件（F′4）成立，则有

令σ→0，可得（17）和（18）式.定理2得证.

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Layer estimates of boundary blow－up solutions for a class of quasilinear elliptic equations

HAO Ruiya，CHEN Yujuan＊

（Sch of Sci，Nantong Univ，Nantong 226007，China）