浅谈“数学思考”的实践路径

袁红

[摘 要]数学思考水平往往决定了数学学习的水平，而内隐的数学思考总会外化在实践行为中，因而，透过学生具体的学习表现来更好地关注和把握数学思考的实际状况，可以让数学思考的培养更为有效。从“看得见”、“说得清”、“理得顺”、“悟得懂”等几个方面简析培育学生数学思考能力的实践路径。

[关键词]数学思考 数学学习 实践路径

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-003

义务教育数学课程标准修订后，人们对数学思考的关注超乎以往。个人以为，数学学习重在数学思考，没有数学思考就没有实质上的数学学习；没有对数学思考的关注和培养，就没有真正意义上的数学教育。

关于“数学思考”，可谓仁者见仁、智者见智。有人认为，数学思考就是在数学学习活动过程中所进行的思维活动，以及通过这样的活动所积累的思维方式和思想方法（《数学教学，请与思考同行》顾志能著）。也有人认为，数学思考就是在面临各种问题情境时，能够从数学的角度去思考问题，发现其中存在的数学现象，并运用数学的知识与方法去解决问题（《数学思考，引领学生走进数学之门》张锋著）。尽管说法不一，但大同小异，都强调了数学思维活动及其蕴含的数学思想方法，着重在学习者采用一定的数学方法，按照一定的数学逻辑，进行某种数学活动并产生某种数学推断的学习过程。

从数学学习实际来看，因为儿童个体的差异性，使得他们即便在面对同一学习内容时，其数学思考也会呈现出多样性；因为成长具有阶段性（幼儿园、小学、初中、高中等），使得数学思考的培养具有一定的层次性；因为文化的多元性，使得数学思考的研究，又呈现出它的丰富性。当然，数学思考的研究不能“凭空而论”，得要联系具体的学习情境，找到实践路径，才会生动起来，鲜活起来。

一、数学思考要“看得见”

所谓“看得见”，就是要通过一定的方式让内隐的数学思考外化出来，能“触摸”到。只有看到了，触摸到了，它的差异性、丰富性、多样性、多元性、阶段性等特征才能一一呈现出来。外化的方式有多种，可以是文字记录，可以是图表绘制，也可以是操作演示，还可以是语言讲述，等等。

有位教师给学生布置了一道课前预习题：“你会算9+4吗？在下面的空白处表示出你的思考过程。”学生提供的学习材料，可谓异彩纷呈。下图展示的是四位学生的预习单。

仔细分析这几张预习单，可以发现，不同的学生思考这一问题的角度是不一样的，解决的方式也不尽相同，思维的水平也有高低：有的用算式来表达，有的画出图解，同样是图示，还有算珠图、分成图、圆圈图等；有的注重多样化，有的注重序列化；有的着重体现结果，有的还注重过程。这种既具多样性又具差异性的素材，正是数学学习的极好资源，通过学生对自己解法的详细解释，教师穿针引线的点拨，“凑十法”“满十进一”等计算要点定然会跃然纸上。总之，只有把学生内部的思考外化出来，我们才能更真实地把握到他们的数学思考状况，并据此引导教学的方向。

二、数学思考要“说得清”

所谓“说得清”，就是鼓励学生把自己的思考用语言（也包括图解、符号、文字、演示等）表达出来。表达的过程，是对自己的思考再一次审视、修正、完善的过程，也是互相接纳、彼此取长补短的过程。比如，解决“小军有8个小棒，小丽有12个小棒，怎么能让他们相等呢？”这一问题，第一个学生一边摆小棒一边说：“从12根小棒里面拿2根放到8里面，就一样多了。”第二个学生说：“小军和小丽的小棒相差4，4的一半就是2，小丽拿2根给小军。”很显然，第一个学生的表述几乎是纯生活的语言，而第二个学生明显比第一个学生更具“数学味”，直接从数量的角度（相差数的一半）来思考。不过，生活味也好，数学味也好，只要能清楚地表述自己的思维过程，就非常棒了，毕竟二年级的学生还很小。在此基础上，第三个学生站起来说：“也可以给小军加5根小棒，小丽加1根小棒，这样两个人都是13根。”这种思路，一下子打开了其他学生的思维：“小军加6，小丽加2”“小军加7，小丽加3”……原来这个问题竟然有无数种解决方法，学生都露出惊喜的神情。

所以，说得清，有一个从模糊到清晰、从随意到规范、从比较到辨析、从粗浅到深入的过程，在这个过程中，学生的数学思考能力得到训练，数学的学科价值也得到充分显现。

三、数学思考要“理得顺”

所谓“理得顺”，就是当学生多样性、差异性、多元性的数学思考出现后，要能够去粗取精、化繁为简，迅速地理顺各种思考之间的关联、异同、层次，从宏观和整体上建构起学习认识。比如上述小军、小丽移动小棒的问题，在总数不变的情况下，似乎很简单，答案很固定，拿相差数的一半就够了。但是在总数变化的情况下，解决的方法就是无数，不只是第三个学生“把相差数补全了无限地加”，还可以反过来做减法——把相差数去掉：“小丽减4，两人都为8”“小军减1，小丽减5，两人都为7”“小军减2，小丽减6，两人都为6”……直至全部去掉，两个人都变成0。这种思考，同样可以扩展到无数种方法：小军减9，小丽减13，两人都是-1；小军减10，小丽减14，两人都是-2……这样想来，“减”和“加”的思路看起来是反向的、对立的，实际上又是统一的。当然，教学最重要的就是把握“度”，如果学生的基础较为薄弱，就完全没有必要讲这么深；相反，如果学生已经到了“跳一跳摘到果子”的状况，教师就可以往上“带一带”了，数学学习本来就应该提倡开放、提倡灵活，这也很好地体现了数学思考“阶段性”要求。当然，学生是否“理得顺”在很大程度上取决于教师自己是否“理得顺”，要对课堂有很强的把握能力，进与退，取与舍，优与劣，都靠教师的把握。从这一角度来看，教师永远是课堂的“英雄”——幕后英雄！

四、数学思考要“悟得懂”

所谓“悟得懂”，就是让学生在感悟中慢慢懂得数学是怎么回事，数学学习是怎么回事。有人说，数学是“一是一，二是二”的，但是数学学习目标可以存在一定的模糊性，尤其是在数学思考、数学思维、数学思想、数学情感方面，不必过于僵化和绝对。

在一年级学习“9加几”时，让学生从情境图里得出“9+4”这一算式后，学生在操作、交流的过程中出现“盒子里可以放10个苹果，从外面拿1个放到盒子里，盒子里就有10个了，这时候盒子外面还有3个，所以9+4=13”“通过数的方法得到9+4=13”等多种方法。此时，交流算法的多样化很有必要，但不能止于此，还应该让学生思考“相同点是什么”“最简便的方法是什么”，学生就渐渐悟出“把9变成了10，把9加几变成了10加几”，并由此感受到数学学习就是要把复杂的知识变成简单的知识，把没学过的知识变成自己学过的知识。有了“9加几”的学习基础，学习“8、7加几”时，学生就会有意识地将其比照“9加几”这一已经学过的知识来学习。有了转化、迁移的经验，到了学习“6、5、4、3、2加几”，学生就会更加得心应手。此刻的得心应手，完全来自于前面感悟的点滴积累。

由于学习过程充满着很多的不确定性，具有无限的可能性、生成性，因而，数学课堂教学中所有呈现出来的东西，可以有一部分东西不是这堂课每个学生都要达到的要求，甚至根本就不是这堂课教师预先想要做的事，但是，这样的事情在特定的情景下一旦做了，学生就可能会从中悟出点“道”。比如说，上述小军、小丽移动小棒的题目，在研究学生解决问题的各种思考过程中，是否让学生感觉到“如果改变总数，一个无限开放的世界就在等着我？”如果感觉到了，那就足够了，今天感觉一点，明天感觉一点，今年感觉一点，明年感觉一点，小学感觉一点，中学感觉一点，久而久之，数学思维、数学思考的感觉就产生了。数学思维、数学思考的感觉有了，数学素养就慢慢生长出来了。俗话说“教育是慢的艺术”，学习抽象性很强的数学尤其要“春风化雨”“润物无声”！

总的说来，数学思考是数学的灵魂，也是数学学习的关键和核心，“看得见”“说得清”“理得顺”“悟得懂”是拾级而上的过程，又是相互交融彼此促进的过程，抓住了它们，“数学思考”的实践路径也就清晰了，顺畅了。

（责编 金 铃）