正交异性复合材料板Ⅰ型三裂纹尖端场分析

王丽娟，张雪霞，韩桂花

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

正交异性复合材料板Ⅰ型三裂纹尖端场分析

王丽娟，张雪霞，韩桂花

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024）

研究了正交异性复合材料板三裂纹的平面问题。通过复合材料断裂中的力学模型，将此问题归结为一类偏微分方程的边值问题，构造保角映射，将均匀分布三裂纹映射为复平面上的平行周期裂纹，通过引入适当的westergaard应力函数，采用复变函数方法和待定系数法对复合材料Ⅰ型平行周期裂纹尖端的应力场进行了力学分析。最后再利用该保角映射的逆变换，将平行周期裂纹尖端的应力场变换到原均匀分布三裂纹的应力场，得到了远场受均匀分布载荷作用下的应力场和位移场的解析解。研究结果为结构和材料的强度设计提供了有意义的参考。

正交异性板;均匀分布三裂纹;保角映射;westergaard应力函数;复变函数

近年来，学者对多裂纹尖端场问题作了大量研究。20世纪80年代，Chen Y Z研究了无限板上多裂纹的奇异积分方程，计算得到了Gk(-k)值和Gk(k)值［1］。Huang J Y和So H确定了多裂纹的动态应力强度因子［2］。到了20世纪90年代，Han X L和Wang Tzuchiang提出了对于张开型和闭合型多裂纹的一种普遍解法［3］。Wang L H和Atluri S N用Schwartz-Neumann交替的方法研究了在同一直线上混合边界条件的多个裂缝问题［4］。进入21世纪，Hejazi A A采用错位技术研究了冲击载荷下半平面的多裂纹问题，得到了应力强度因子［5］。Dong Q B研究了半平面下的多裂纹问题，提出了一种优化解决方案，得到了裂纹之间相互影响的关系［6］。目前，仅得到了理想模型和简单的边界条件上的应力强度因子的解析解，因此，寻求更好地反应实际裂纹分布的多裂纹尖端场的解析解显得尤为重要。本文研究了三裂纹在远场均匀分布载荷作用下的应力场问题，得到了Ⅰ型三裂纹尖端附近的应力强度因子和应力场的解析表达式。所得结果对于复合材料断裂理论研究具有重要意义。

图2 周期平行裂纹Fig.2 Cycle parallel cracks

1 力学模型

Ⅰ型三裂纹问题的力学模型:

设无限大线弹性正交异性纤维增强复合材料板，2个坐标轴平行于正交异性体的材料弹性主方向，复合材料板上的裂纹长是l，裂纹尖点距离坐标原点分别是h和l+h的均匀分布三裂纹，在远场受均匀分布拉应力σ作用，如图1所示。

裂纹尖端的应力场问题归结为下列偏微分方程的边值问题:

图1 三裂纹Fig.1 Three cracks

其中U为应力函数，σ为应力，b11，b12，b22，b66为弹性主方向的柔度系数。

2 Westgaard应力函数

由文献可知，构造一个保角映射函数，将数学平面上的简单边界保角映射到物理平面上包含三裂纹的无限大平面，是复变函数法求三裂纹问题时的关键。为此，我们构造如下保角映射函数:

此映射将w(=ξ+iη)平面(物理平面)上带均匀分布三裂纹的无限大平面(如图1)保角映射到z(= x+iy)平面(数学平面)上的周期平行裂纹(如图2所示)。

在z平面上选取Westergaard应力函数:

情形1:判别式△＞0时，将式(4)代入式(1)的边界条件，得:

情形2:判别式△＜0时，将式(4)代入式(1)的边界条件，得:

将式(5)，式(6)分别代入到式(1)中得到满足控制方程和边界条件的实值解析解U，从而偏微分方程边值问题(1)有解。

3 应力强度因子

考虑到裂纹是周期裂纹，在每个裂纹的尖端附近，我们定义应力强度因子:

4 应力场和位移场

由式(8)，在裂纹尖端附近有:

其中极径r为任意点到距离它最近的裂纹尖点的距离。

对于△＞0时的正交各向异性复合材料，将式(5)、式(9)代入式(1)，以及应力-应变、应变-位移关系可以得到裂纹面均匀分布压应力作用下的三裂纹尖端附近的应力场和位移场的解析表达式:

对于△＜0时的正交各向异性复合材料，将式(6)、式(9)代入式(1)，以及应力-应变、应变-位移关系可以得到裂纹面均匀分布压应力作用下的三裂纹尖端附近的应力场和位移场的解析表达式:

利用特征根关系式(5)和式(6)及式(11)和式(12)，上述△＞0和△＜0时的应力场、位移场公式可以统一利用极坐标表示为:

5 结束语

主要研究正交异性复合材料板在远场受均匀分布拉应力作用的Ⅰ型三裂纹尖端场问题。利用保角映射，引入Westergaard应力函数，利用复变函数方法和待定系数法，把力学问题转化为偏微分方程边值问题。借助于不同的边界条件，解含有未知参数的方程组，并确定应力函数。定义了三裂纹尖端处的应力强度因子，推导出了正交各向异性复合材料板Ⅰ型三裂纹尖端附近由应力强度因子表示的应力场和位移场的解析表达式。

［1］CHEN Y Z.A Procedure for regularizatton of singular integral equation of the multiple crack problem in an infinite plate［J］.International Journal of Fracture，1987，34:53-56.

［2］HUANG J Y，SO H.Determination of dynamic stress intensity factors of multiple cracks［J］.International Journal of Fracture，1988，36:187-198.

［3］HAN X L，WANG TZUCHIANG.A general method for solving the problem of both open and closed multiple cracks［J］.International Journal of Solids and Structures，2013，50:3166-3183.

［4］WANG L H，ATLURI S N.An implementation of the Schwartz-Neumann alternating method for collinear multiple cracks with mixed type of boundary conditions［J］.Computational Mechanics，1995，16:266-271.

［5］HEJAZI A A，AYATOLLAHI M，BAGHERI R，et al.Dislocation technique to obtain the dynamic stress intensity factors for multiple cracks in a half-plane under impact load［J］.Arch Appl Mech，2014，84:95-107.

［6］DONG Q B，ZHOU K.Elastohydrodynamic lubrication modeling for materials with mutiple cracks［J］.Acta Mech，2014，225: 3395-3408.

［7］杨维阳，李俊林，张雪霞.复合材料断裂复变方法［M］.北京:科学出版社，2005.

Abstract:This paper studies the plane problems about three cracks of orthotropic composite materials.Plane fracture problems of composite materials can be converted into a class of boundary value problems of partial differential equation by fracture mechanics model of composite materials.It can be mapped to cracks parallel to the cycle on the complex plane by introducing the appropriate conformal mapping.The right westergaard stress function，together with the complex function method and the method of undetermined coefficients，is properly chosen to deduce the crack-tip stress on cycle of parallel cracks of orthotropic composite materials for modeⅠ.The parallel cycle uniform distribution of crack-tip stress field can be transformed into the original three of stress field of crack by using the inverse transformation of conformal mapping，far field of analytical solutions of stress field and displacement field was obtained under the uniformly distributed load.The results provides a meaningful reference to the strength design of structure and material.

Crack-Tip Stress Analysis on Three Cracks of Orthotropic Composite Materials for ModeⅠ

WANG Li-juan，ZHANG Xue-xia，HAN Gui-hua
(School of Applied Sciences，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

orthotropic plate，evenly-distributed three crack，conformal mapping，westergaard stress function，complex function method.

O346.1;TB330.1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.015

1673-2057(2015)03-0233-05

2014-12-19

太原科技大学博士启动资金(20122005);太原科技大学研究生科技创新项目(20125027)

王丽娟(1989-)，女，硕士研究生，主要研究方向为常微分方程及其复合材料断裂复变方法。