无中生有——谈函数问题中的构造法

☉江苏省如皋市第二中学 苏小强

无中生有
——谈函数问题中的构造法

☉江苏省如皋市第二中学 苏小强

不等式证明、不等式恒成立等问题是高考常考题型之一，且常以压轴题的形式出现.有些问题的求解，直接入手较为困难，若能根据待证不等式的结构特征，构造出恰当的辅助函数，从而利用该函数的性质，即可使问题顺利求解.下面就其中所涉及的构造法，举例说明.

一、移项合并，直接构造

点评：利用导数证明不等式是高考中导数考查的一个热点，通常要把不等式恒成立问题通过构造差函数，转化为利用导数求函数最值或值域的问题.本题问题（2）需要构造的具体函数比较明显，只要将需要证明的不等式两边的函数相减——作差比较法，建构新的函数，再根据函数的单调性和最值情况，即可证明.

二、分离参数，间接构造

（1）若（fx）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=（fx）在点（1，（f1））处的切线方程；

（2）若（fx）在［3，+∞）上为减函数，求a的取值范围.

点评：通过变形把参变量单独分离后再构造，或者通过变更主元实施参变互换后构造新函数.通过构造新函数进而利用函数的图像和性质去分析、解决问题.构造函数求最值的常用途径是：借助二次函数（判别式）；分离变量转化，即利用极端原理，转化为f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min或f（x）＜a恒成立⇔a＞f（x）max解决.

三、抓住条件形式，一般构造特殊

例3已知函数f（x）的导数f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，下面不等式在R上恒成立的是（）.

A.f（x）＞0B.f（x）＜0

C.f（x）＞xD.f（x）＜x

解析：观察式子2f（x）+xf′（x）的结构，易联想到乘积的求导法则，试想（xf（x））′=f（x）+xf′（x），而已知条件中第一项为2f（x），由系数2又可以想到x2的导数为2x，构造函数g（x）=x2f（x），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），与已知的条件2f（x）+xf′（x）＞x2中不等式左边的形式可以建立联系，从而问题得解.

当x＞0时，已知条件两边同乘以x，可得2xf（x）+ x2f′（x）＞x3，令g（x）=x2f（x），原条件即为g′（x）＞x3＞0，则g（x）=x2f（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（x）＞g（0）＞0，即x2f（x）＞0，所以可得f（x）＞0.

同理，当x＜0时，可得2xf（x）+x2f′（x）＜x3，原条件即为g′（x）＜x3＜0，则g（x）=x2f（x）在（-∞，0）上为减函数，则g（x）＞g（0）＞0，即x2f（x）＞0，得f（x）＞0.

所以选项A正确.

点评：在导数公式中，我们有（f（x）·g（x））′=f′（x）这两个公式的特点，可轻松解决某些抽象函数问题.本原成两个函数相除进行求导.这个方法其实就是要我们学会对题目提供的信息进行认真审视与具体分析.

四、多元问题，消元构造

例4函数f（x）是奇函数，且在［-1，1］上递增，f（-1）=1.若f（x）≤t2-2at+1，对所有的x∈［-1，1］，及a∈［-1，1］都成立，则t的取值范围是____________.

解析：本题含有三个变量，抽象性强，感到无从入手.由题意依序减元化归，逐步消元，可以达到目的.

易知f（x）max=1，所以f（x）≤t2-2at+1对所有的x∈［-1，1］，及a∈［-1，1］都成立，等价于1≤t2-2at+1，即t2-2at≥0对所有的a∈［-1，1］恒成立.令g（a）=t2-2at=-2ta+ t2，所以g（a）=t2-2at=-2ta+t2≥0对所有的a∈［-1，1］恒成

点评：当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个作为自变量，其余的作为参数来处理，逐步减少参数，使问题得以转化解决.

五、把握式子特征，变形构造

点评：对于某些问题，直接构造函数可能不便于解决问题，需要对所证的式子进行变形，构造合适的函数，将问题解决.

总之，构造函数是求解导数应用问题的重要方法，而如何构造函数又是构造函数解题的关键.本文给出以上几种构造函数的方法，但是构造函数非常灵活，所以不要墨守成规，要灵活运用多方面的知识，来寻找合适的函数.F