高中数学习题课教学的几点思考

☉江苏省栟茶高级中学 刘晓燕

高中数学习题课教学的几点思考

☉江苏省栟茶高级中学 刘晓燕

习题是数学教学的重要内容，是思维训练的重要载体，习题课是课堂教学的一种重要课型，它是以讲解、讨论、总结和练习为主的一种课堂教学形式，是巩固基础、强化技能、纠正偏差、预防错误、补救纰漏的有效途径.上好数学习题课，对开发学生智力、激活学生思维、完善知识结构等具有重要的意义.笔者依托自己的教学实践，对高中数学习题课教学进行了积极的探索，为抛砖引玉，特作总结，以供商榷.

一、数学习题课教学中存在的误区

1.忽视基础

忽视对基础知识和思想方法的复习，只选讲课本外的题目，不注重基础知识，脱离课本，对课本中的题目认为过于简单，随意舍弃.

2.教师包讲

采用“一言堂”或“填鸭式”的课堂教学，忽略了“习题课的主体仍然是学生”这个基本常识.

3.就题论题

教师只讲正确的解题方法或答案，或者只分析答案的正确性，不能教给学生获得正确答案的思维过程.缺乏对题目的变式拓展，思维方法的归纳延伸，达不到举一反三的效果.

4.纠错失策

教师只讲学生解题过程中出现的错误，不从师生双方面挖掘产生错误的原因，即只“纠错”而不“究错”.

5.选题失当

缺乏代表性，而在时下，对“简单”题目的教学意义认识不足，看好并喜欢讲难题、多讲题的教师却不在少数，课中充斥着难题、大题，似乎题目越难、越有嚼头、越综合就越能培养学生的思维能力.殊不知这种好“大”喜“难”式的习题教学，往往脱离学生实际，不仅学生学习吃力，难有作为，教师也只好“一言堂”，苦不堪言，课堂效率低下.

二、上好数学习题课的几点做法

1.改编题目，归纳方法规律

一节好的习题课应该做到帮助学生归纳解题规律，引导学生寻找解题方法.

本题属于“全称量词”和“存在量词”方面一道优秀的高考试题.稍加改变，可以得到一系列的“形同质异”的题目.

分析与解答：当x1∈［0，1］时，函的每个函数值都能在函数g（x0）=x30-3a2x0-2a（x0∈［0，1］）的值域中找到.即f（x1）的值域A是g（x0）在［0，1］上的值域B的子集，易求A=［－4，-3］，B=［1-2a-3a2，-2a］，故

改编1：若对于任意的x1∈［0，1］，任意的x0∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x0）成立，求a的取值范围.

分析思路：这是一道恒成立问题，可以转化为y=g（x）在x∈［0，1］上的最小值≥y=f（x）在［0，1］上的最大值.

改编2：若对于任意的x1∈［0，1］，总存在唯一的x0∈［0，1］，使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围.

改编3：若对于任意的x1∈［0，1］，总存在x0∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x0）成立，求a的取值范围.

分析思路：y=g（x），x∈［0，1］的函数值不小于y=f（x），x∈［0，1］的任意值，即可以转化为y=g（x），x∈［0，1］的最大值≥y=f（x）在［0，1］上的最大值.

改动关键的几个字，“形同质异”，这组由易到难的题组，教师可以帮助学生经历“通过比较，发现不同，深入思考，获得解法”的思维过程，有利于解题规律的正迁移.数学所涉及的知识点不是太多，但对知识的迁移能力运用要求却很高，甚至达到灵活运用的程度.这就要求教师善于引导学生将题型归类，善于对比思考推敲它们的区别和联系，总结出一类问题的方法和规律.

2.构建“问题串”，发散学生思维

这类问题串是帮助学生确定问题解决时需要考虑的因素，并将这些知识和信息以“问题串”的形式呈现给学生.老师通过问题向学生提供援助，帮助学生集中注意力或提供新的思路.“问题引路”式的习题课教学可将复杂问题有机的分解，使学生有限的认知资源得到合理分配.

案例2已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

对于第（Ⅰ）问的解答可以设置以下问题：

问题1：证明点F在直线BD上的方法有哪些？

学生分析：（1）kBF=kDF；（2）先求出直线BD的方程，验证点F在直线BD上；（3）向量共线等.

问题2：如何证明kBF=kDF？（以（1）为例）

学生分析：若设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，-y1），将

问题4：在解析几何中“等量关系”一般是通过特殊的位置关系得到.

学生分析：（1）点A，B，D在抛物线C：y2=4x上；（2）A，B，K三点共线.

问题5：如何将上述位置关系转化为代数关系？

学生分析2：设直线AB的方程为x=my-1，将方程x= my-1与y2=4x联立，消去x，可得y2-4my+4=0，运用韦达定理即可.

有了这几个问题串的层层设置，问题（Ⅰ）就可迎刃而解了.

第（Ⅱ）问的问题串可以设置为：

问题3：能否求出直线BD的方程？

问题4：△BDK的内切圆圆心在哪？

学生分析：在x轴上.

问题5：如何设圆的方程？

学生分析：设M（t，0）（-1＜t＜1），则圆的方程为（x-t）2+ y2=r2.

问题6：如何列出t，r的方程呢？

本题考查了直线与抛物线的位置关系、数量积、三角形的内切圆及圆的方程等知识.考查学生分析问题、转化问题的能力，运算量很大具有很强的综合性，难度较大.通过上述问题的设置，把复杂的问题有机分解，以“问题串”的形式呈现，为学生搭建了“问题引路”的脚手架，让学生集中精力解决某个问题，降低了解题的难度，起到了良好的解题效果.

3.类比迁移，辨析数学知识的异同

类比思维是依据两个或两类数学对象之间在某些方面的相似或相同推演出其他方面也相似或相同的一种重要思维与推理方式.通过类比思维，在类比中联想，可以达到创新知识、升华思维的目的.

和同学一起解决完此题后可以设置以下一组类比：

类比2：如图3，F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线抛物线于B1，B2两点，直线B2F交抛物线于点B，连接BB1，则直线BB1恒过定点

图1

图2

图3

类比迁移是学习新技能、学习科学知识和数学知识，进行科学发现和探索、培养创造性的一个重要途径.因此在习题课中利用类比不仅仅是简单地增加新知识，掌握抽象规则，而且可以依靠我们从记忆中提取相关的知识和技能，并以此为出发点去学习新的知识和技能.

4.探求一题多解，彰显数学问题解决的多样性

探求一题多解，可以引导学生从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决.经常在习题课中培养学生一题多解的意识可以锻炼学生思维视野的广阔性，提高学生的创造力.

所以0≤|2a-b|≤4.

角度2：利用模的不等量关系求模的最值.

解法2：根据向量模的不等关系：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，很容易得到||2a|-|b||≤|2a-b|≤|2a|+|b|，而|2a|=2，|b|=2，于是可得0≤|2a-b|≤4.因为a的方向的任意性可知a与b能够共线，因此等号能够成立.

角度3：利用向量的几何含义求模的最值.

图4

探求一题多解，意在培养学生的发散性思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种渠道，最终使问题获得圆满解决的思维方法.没有发散思维就不会有任何创造性的萌芽和创造性的成果，因此发散性思维可以锻炼学生思维视野的广阔性，提高学生的创造力.

课堂教学过程是一个不断探索与实践的过程，是一项系统工程，在新课程理念下，正确认识数学习题课教学的重要性，运用科学的方法组织习题课教学，做到由题海战术向习题精选转变，由重知识传授向重思维过程转变，由重掌握技巧向纠错反思转变，由就题论题向借题发挥转变.让习题课教学更有效，更高效，真正发挥习题功效，提高思维质量，渗透思想方法，达到培养学生能力、提高学生素质之目的.F