“形”变而“神”不变——例谈高中数学复习课中问题变式的类型

☉江苏省震泽中学 郭建理

“形”变而“神”不变
——例谈高中数学复习课中问题变式的类型

☉江苏省震泽中学 郭建理

前苏联心理学家、教育学家维果茨基在教学与发展的关系上提出了“最近发展区理论”，指出教学中学生智力的两种发展水平：一是已经达到的发展水平，表现为学生能够独立解决问题的智力水平，二是即将达到的发展水平，表现为在有指导的情况下，凭借他人帮助所能达到解决问题的智力水平，两种水平之间的差异称为“最近发展区”.［1］高中数学复习教学中怎样让学生跨越“最近发展区”这一既熟悉又陌生，充满趣味和挑战的智力空间？使学生醍醐灌顶而茅塞顿开，像习武之人打通了任督二脉，周天运行而融会贯通，根据维果茨基在社会文化学说中主张的“搭建脚手架”的理念，教学中我们也要为学生“搭建脚手架”，这种“支架式教学”实施的最有效的手段之一就是课堂上进行变式教学，让学生缘架求索，拾级而上，进而最大限度地使学生的思维和创新能力达到“潜在的水平”.

高中数学教学中的“变式”就是相对于数学教材中的具体知识、典型问题、思维模式等的变通形式，教学中不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持问题本质内涵属性不变的情况下，使事物外显的非本质属性不断地“变脸”.高中数学中的变式教学就是在数学课堂上通过变式的方法进行技能与思维培养训练的教学，引导学生对数学问题多角度、多层次地探究和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的外显现象中发现“不变”的本质内涵，像舞台上的“变脸”绝技尽管让人感觉眼花缭乱，但表演者真实的“面貌”并没发生改变，所谓的“形”变而“神”不变.洗尽铅华显本真，变式教学中怎样练就学生一双火眼金睛？透过变化的“形”，透视不变的“神”，本文就高中数学复习课中变式教学的问题变式类型结合教学实践案例谈一点自己的看法.

高中数学复习课教学中的问题变式基本类型根据解决问题的思维展开方式可分为水平变式、垂直变式［2］和辐射变式.本文以高中数学复习课中的“不等式”章节为蓝本，展示几种典型问题的变式，并做案例剖析.

一、水平变式：“镜面上的舞蹈”

在同一个思维水平上，不加重学生认知负荷的前提下，对问题进行的变式，或重复强化、或各个击破，目的是为了让学生体验到同类型问题的变化情况，更全面、全方位地认识数学问题不变的本质特征，见下面案例.

案例1若不等式|x+3|+|x-1|≥a恒成立，求a的取值范围.

变式1：若方程|x+3|+|x-1|-a=0有解，求a的取值范围.

变式2：已知函数f（x）=|x+3|+|x-a|≥1，∀x∈R恒成立，求a的取值范围.

变式3：若不等式|log2x+3|+|log2x-1|-a≥0，∀x∈R+恒成立，求a的取值范围.

变式4：已知函数y=|ex+3|+|ex-1|的值为4，求x的取值范围.

变式5：已知a∈R，若关于x的方程x2+4x+|a-4|+|a|=0有实数根，求a的取值范围.

变式6：已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图像关于直线x= 1对称，求a的值.

变式7：已知函数f（x）=|x-k|+|x-2k|，若∀x∈N+，f（x）≥f（3）=f（4）均成立，求实数k的取值范围.

变式8：若不等式|x+3|-|x-1|≥a恒成立，求a的取值范围.

变式9：若不等式|x+3|-|x-1|≥a的解集不是空集，求a的取值范围.

变式10：不等式|2x+3|-|2x-1|≥a的解集不是空集，求a的取值范围.

变式11：不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围.

变式12：已知函数f（x）=|x+1|-|x-a|的图像关于点（1，0）成中心对称，求a的值.

案例剖析：对两个绝对值和与差的函数图像与性质的考查近年来高考命题中比比皆是，这一变式题组体现出两个中心：“函数f（x）=|x-a|+|x-b|与f（x）=|x-a|-|x-b|的形状和性质”，三个基本点“方程有解、不等式有解、不等式恒成立”处理方法的关系，该问题串形神兼备，以不同的条件变化，加强了对函数f（x）=|x-a|+|x-b|与函数f（x）= |x-a|-|x-b|的图像形状，以及值域、单调性、对称性等性质的理解和认识，体现出方程有解、不等式有解、不等式恒成立三种条件下求参数取值范围的统一的解题方法：分离参数（含参代数式）、转化成最值、数形结合，如变式5可分离含参数式|a-4|+|a|=-x2-4x，则|a-4|+|a|=-x2-4x= -（x+2）2+4，即|a-4|+|a|≤4，而|a-4|+|a|≥4，则|a-4|+|a|=4，由图像知0≤a≤4，该题组是在问题的条件不断变换的基础上，体现了水平变式中一题多变的重要途径：参变元的替代；问题形式的改变；问题类型的变换；解题方法的转变.其中渗透了两大重要的数学思想：数学结合思想和等价转化思想.

水平变式就像“镜面上的舞蹈”，要引领学生在镜面上翩翩起舞，对解题过程与结论进行反思，帮助学生内化“归一”，全面理解掌握问题的“本质属性”，形成具有可操作性的数学认知结构，在“形”变的氛围中，突显“神”不变的核心，力求通过画龙点睛之作，达到触类旁通的效果.

二、垂直变式：“长河里的逆水行舟”

解决问题的思维水平呈直线型向纵深发展，在不断增加学生认知负荷的前提下，对问题进行变式.问题设计时或对课本习题的“深加工”、或对经典试题的解析尝试，以展示知识的发生、发展过程；展示数学问题的结构和演变过程；展示解决问题的思维过程，使得“思维的体操”进行有效的训练，通过数学问题富于变化的“形”，更加深刻地认识趋于明朗化的“神”.见下面案例.

以上变式实现了思维能力的三次飞跃：从“乘以常数，除以常数”的常规解法到“发现构造新常数”，再到“代数式的变形后观察新常数”，立足点在“常数”的运用上；突破点在“代数式”的变形上；结合点在“变形后条件与结论关系”的观察上；制高点在“变形后因果关系”的运用上，问题变式中变换问题的条件和结论、变换问题的形式，使本质的东西更全面，使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，比较全面地观察问题，寻求事物之间的联系，从而理解问题的本质.教学上一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，以唤起学生的好奇心和求知欲，克服和减少学生思维僵化及思维惰性，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从而更深刻地理解课堂教学的内容，培养学生思维的深刻性.

垂直变式就像“长河里的逆水行舟”，越往上游阻力越大，要挺立潮头，劈波斩浪，就要把握垂直变式的特点：垂直变式中问题的难度由“浅”入“深”，分级递进；问题解决方法呈现出层次性、梯度性及可比性；解题思维能力螺旋式地层层提升，教学时要立足缓坡度、慢转弯、小步走的原则，循序渐进，诱生深入，方能渐入佳境，这样有利于学生将一个个孤立的知识点串联起来，形成良好的认知结构，从而达到融会贯通的教学目的.

三、辐射变式：“夜空中的烟花”

解决问题的思维方式呈现发散性，通过联想、类比、迁移等途径来解决问题，在不断增加学生认知负荷的前提下，对问题进行变式.问题设计时往往打破知识的章节、单元框框，跨越式地将知识点连成片，实现数学解题方法的“时空穿越”，是复习课中建构知识网络结构的过程，见下面案例.

案例3设f（x）=ax2+bx，若-1≤f（-1）≤2，2≤f（2）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积.

变式1：已知函数f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.

变式2：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范围.

变式3：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

变式5：各项均为正数的等比数列｛an｝中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，求a4的取值范围.

案例剖析：案例3是苏教版教材高中数学必修5第95页11题，问题变式的设计空间跨度大，辐射性强，知识迁移能力得到了训练，虽然均可以采用线性规划的解答方法，多题一解，但过程较烦琐.由案例3求可行域面积这一线性规划的基本问题设置了变式1，即由造的背景，使学生利用线性规划的解题思想油然而生，为体现数学问题的一题多解和知识的横向联系，在柳暗花明中又一村闪现在学生的脑海，此题亦可以采用待定系数法，得到简洁明快的解答过程：设m（a+b）+n（a-b）=f（1）+3f（-1）.因为1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤f（-2）≤10.另外变式1要注意对谬解的辨析：由已知得［3，12］，去伪存真，需要师生共同探讨，正本清源，找出b）所确定的可行域的形状由平行四边形变成了矩形.为了强化通性通法设计了变式2，变式3，两个变式依不同的角度，从不等式的范畴跨越到数列变式4类比待定系数法的线性表示，在老师的启发诱导下让同学们尝试如下解法，令人耳目一新的同时，也找到了解决这一类题“神”就是“在不打破整体范围的情况下，利用两个整体去表示第三个整体”.变式5就是这一中心思想的高水平

辐射变式就像“夜空中的烟花”，无论哪一朵以哪种方式飞翔，无论飞向哪个方向，都是一样地绽放火花，一样地流光溢彩.以上变式题组通过类比的手法，发现问题的“交汇点”：线性规划的思想；寻找问题的“切入点”：待定系数法；辨析问题的“易错点”：整体范围，不可打破；探究问题的“着力点”：若干整体表示一个整体；夯实问题的“落脚点”：待定系数法与线性规划的融合.变式中将问题解决的思想和方法串线连网，在知识的时空中“穿越”，注重培养学生的知识迁移能力，一题多变，多题一解，融汇贯通，浑然一体，另辟蹊径，八面玲珑.

四、案例剖析综述

三种问题变式类型中的f（x）=|x-a|+|x-b|水平变式注重基本知识的学习，加强基本解题思想的掌握及基本能力的培养；垂直变式则是对问题的不断深化提高，是对问题的认识和理解更上一层楼，更加深刻到位；辐射变式是把问题放在整个高中数学的全局上思考变换问题，是通盘上的知识迁移、类比、拓展和升华，旨在编织知识网络.三种变式方法往往不是“单兵作战”的，教学中对一类问题的变式常常运用三种变式的“联盟”展开：如案例1亦可作垂直变式，变式13：若函数（fx）＝|x+1|+|2x+a|的最小值为3，求实数a的值；变式14：设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，求满足条件的实数a的范围.上述两个垂直变式相对于案例1的其他变式是“颠覆性”的，改头换面并没有改变此类问题的“神”：函数（fx）=|x-a|+|x-b|图像的描绘方法及图像特征，x系数的改变使形如（fx）=|x-a|+|x-b|的函数归为一般化，解决问题的关键是函数取得最值点的位置考查；案例1亦可作辐射变式，变式15：已知函数（fx）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，（fx）（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）.若∀x∈R，（fx-1）≤（fx），求实数a的取值范围.变式15的动作较大，可谓大刀阔斧，面目全非，辐射广，综合性强，但“不变之根基”仍是（fx）＝|x-a2|+|x-2a2|的图像特征，根据奇函数图像的性质画出函数（fx）（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）的图像，利用数形结合的方法转化为6a2≤1.

美国著名数学家波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”［4］高中数学复习课教学中我们要帮助学生成功跨过“最近发展区”，问题变式教学中就要灵活创新地运用三种问题变式类型，通过强化、类比、拓展、延伸、迁移，设计问题变式题组，构筑知识框架，建构“思维场域”，以“形”变而“神”不变为“基点”，点点突破，层层深入，步步登高.

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，源于课本，高于课本，擅于变式，重于尝试，是高中数学复习课教学中变式教学的基本原则，题海无边，变式是岸，让我们手擎“变式教学”这一神奇“魔棒”，在问题的变式上审时度势，匠心独运，化茫茫无边题海为岸边柳绿桃红，让“变式教学”这支神来之笔，在高中数学复习课教学的画卷上画龙点睛，妙笔生花.

1.张春兴.教育心理学［M］.杭州：浙江教育出版社，2000.

2.张奠宙.中国数学双基教学［M］.上海：上海教育出版社，2006.

3.郭建理.问题导学教学模式引领高三数学复习教学的思考与实践［J］.中学数学（上），2014（1）.

4.【美】G.波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科学出版社，1982.A