年年新气象岁岁求本真——2015年浙江高考试题评析

☉浙江省杭州市余杭高级中学曹凤山☉浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳

年年新气象岁岁求本真
——2015年浙江高考试题评析

☉浙江省杭州市余杭高级中学曹凤山☉浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳

2015年浙江省高考数学试题秉承自主命题以来的成功经验，依据最新的《考试说明》，以有利于高校选拔新生、有利于中学数学推进课程改革为命题原则，体现了“起点低、落点高、入口宽、方法多样、区分度好”等特点，试题在考查双基的同时，全面检测考生的数学素养和进入高校继续学习的潜能，既考虑目前中学数学教学的实际，具有良好的评价功能，又充分体现新课改的主流方向.

一、2015年高考试题特点分析

（一）新

1.创新试卷模式

由附表1可以看出，自2004年浙江省自主命题以来，今年是试卷模式变化最大的一年.相比2007～2014年，总题量减少两题，与2005、2006年总题量相同，但格局又有变化，减少了选择题、解答题数量，增加填空题数量、填空数.伴随题型数量的变化还有赋分调整，相比2007～2014年，选择题分数减少10分，减少的分数加在填空题8分，解答题2分.

附表1：2004～2015年浙江省高考数学试卷模式对比

2.引进新题型

出现一题多空填空题，有一题两空、一题三空两种形式，填空题单空4分，多空6分.这是浙江自主命题以来第一次采用这种题型，在全国各省市试卷中使用这种题型的也不太多.

（注：标注的为2015年浙江省理科试卷中的题序，下同）

1212

12

（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），则x0=_____，y0= _____，|b|=______.

简析：一题多空的形式是在一个主题下分解出两个（或者三个）答题点.第9题作为填空题第一题，试题相对简单，对双曲线的标准方程中的基本量a，b，c之间的关系，焦距、渐近线等知识点加以考查.由于粗心、基础不扎实等因素，仍然可能出现一些错误，如焦距与半焦距混淆，a，b，c的关系混乱等，一空出现问题不影响另一空得分，考生“学有所得，各得其分”.第10题第一问求分段函数下的函数值，第二问考查基本函数图像、图形变换、复合函数性质，以及基本不等式求最值等，具有一定难度，通过考生“分步得分”，体现考生之间的差异.第15题作为填空题的压轴题，一题三空，试题以空间向量为背景，文字语言与符号语言结合，主要以符号语言构筑新颖的问题情境，首先考查对单位向量、数量积、向量运算的几何意义等的理解，考生根据自己的理解，选择自己的解法，当然，阅读理解不过关直接就被挡在门外，具有一定的选拔功能.

由于填空题与选择题在解题要求上的差异，增加填空题数量与空数，对基础知识、基本技能的准确、熟练提出了更高的要求，多空题一方面增加了考查知识的广度、深度，也有助于在降低试题难度的同时保持一定的区分度，开发、拓展了题型的功能.

3.灵活编排

相比考试说明中参考试卷的编排方式，高考试卷体现了高度的灵活性，不拘泥于固定形式，根据选材内容、试题难度等特点摆放其位置，一题多空没有排在一起，前面三道一题一空，最后一道一题三空；考前大家比较关注理科解答题中各知识板块的排列次序，特别是函数与数列问题.自主命题之初（2004～2006年）压轴题位置都是数列，在以后8年中只有2008年出现在这个位置，2009、2010、2012三年没有在解答题中出现，其余年份出现在解答题第一、第二位置，给人以数列要求逐渐降低，甚至淡出的感觉，今年又卷土重来，重新占据压轴位置.函数题则在解答题第18题，不过，分析函数试题考查内容不难发现，这类试题具有极大的弹性，稍加改动出现在压轴题的位置也属正常，今年的编排模式也为以后试卷编排模式留下了极大的想象空间.

4.试题出新

试题继承浙江省一贯风格，情景新颖，表述简捷脱俗，理科第5、6、7、8、14、15、18、20题等都给人耳目一新的感觉.理科第6题，取材于集合的知识背景，素材直接见教材中的阅读材料，考生看到的可以是集合基础上的新定义问题，又有深厚的背景等，试题似信手拈来又内涵丰富，规避题型套路，充满数学味.

（二）活

1.知识综合灵活

不断寻求新的知识综合方式，第14题线性规划结合圆（面），第15题向量与立体几何综合，文科第7题立体几何与平面几何、解析几何有机结合，考查空间想象能力、推理论证能力，理科第20题以递推数列为背景，表面考数列，深层考函数，对思维能力的要求达到较高层次.

2.设问角度活

示例2第7题：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

第5题：如图1，设抛物线y2= 4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）.

图1

简析：第7题依托三角函数的周期性、对称性，以及二次函数的对称性，考查函数概念.抽象的概念考查以具体函数为依托，试题题干简朴，惜字如金，符号表述内涵丰富.存在：只要有就行；对任意x∈R，都有且仅有唯一的实数值与其对应，直接判断思考不太顺畅，反向思维，考虑反例，对于同一个自变量有不同的实数值与其对应！如取以判断B，C错误；文科第8题与理科具有异曲同工之妙，深刻考查了对函数概念的理解与思维的深刻性.第5题表面是定量形式，考查直线与抛物线的位置关系，实际上，从点A、B向y轴作垂线，记垂足分别为M、N，

故选A.问题考查的是抛物线的概念，以具体的问题为背景，考查对概念的理解与运用.以上两题都体现出：数学是玩概念的，概念是数学的根本.

3.布局谋篇活

在难度排列上既继承传统优点，又不断创新，三个平台共同压轴：第一平台选择题的第7，8题，第二平台填空题的第14，15题，解答题第18，19，20题各有特点，降低单题的绝对难度，每题都有“节点”，共同实现区分.另外，文理试卷只有三道试题相同，五道姊妹题，保持了较大的差距.一些姊妹题既同根同源又形态各异，如文科第13题与理科第15题，两题命题思路一致，一个是平面向量基本定理，一个是空间向量基本定理，但涉及知识范围差别大，解答能力要求悬殊.

（三）实

附表2：2015年浙江省高考数学理科考查内容分布

平面向量156向量运算的几何意义64数列352015等差等比数列、前n项和公式；数列与不等式证明2013.3不等式144线性规划（其他板块中几乎都有不等式渗透，解、证、性质运用、求最值等都有考查）42.8立体几何2，8 5，51341715三视图，体积计算；三角形翻折、二面角等；异面直线所成角；线面垂直、二面角的平面角的余弦值2919.3解析几何55961915抛物线的概念、双曲线性质；椭圆与直线位置关系，三角形面积、函数最值2620 403674150100

1.全面考基础，突出主干知识

根据2012年版浙江省教学指导意见，高考对试题考查内容做出了相应的调整，从附表2可以看出，理科试题覆盖了集合与常用逻辑用语、三角函数、函数、解析几何、立体几何、数列等板块的主要内容，知识点分布合理，双基仍然是考查的重要目标，支撑中学数学的主干知识，如函数、数列、解析几何、立体几何、三角函数等，在试卷中占较大比重.不等式内容没有解答题，实际上细细分析，不等式渗入到了各个板块内容，理科20道题中有11题与不等式相关；从附表3可以看出，文科试卷与理科试卷在试题知识点覆盖、突出主干知识等方面具有类似的特点.

附表3：2015年浙江省高考数学文科考查内容分布

数列1061715等差、等比数列通项；等比数列通项公式，前n项和Sn与an关系，错位相减求和2114不等式65144不等式性质；线性规划96立体几何2，4 5，51815三视图，体积计算；空间线面位置关系判断；三棱柱的性质、直线与平面所成的角2516.7解析几何751541915椭圆综合立体几何、线面角、线线角等；椭圆离心率；直线与抛物线位置关系、三角形面积2416 403674150100

2.突出通性通法，兼顾特技

试题突出通性通法，又给不同思维层次的考生不同发挥空间，让每个考生都能发挥自己的水平，得到不同的分数.整卷让人感觉沉稳又不失活力，试题不偏不怪，均可以用常规方法来解决，但是要想完整、准确地解答则需要扎实的双基和良好的数学素养，若要快速解答则需要数学智慧和特殊方法.

示例3第15题（见示例1）

简析：考后都反映本题难度比较大.难在何处？首先概念理解不到位，基本定理不熟练，对向量运算的几何意义不理解，符号看不懂，后面便无从谈起，然后是运算技能不过关，不能设计有效的运算途径.实际上，由空间向量基本定理，可以更简捷、顺利地求解.设b=x0e1+y0e2+ e（3其中e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R），由b·e1=2，b·，解方程组得到x0=1，y0=2，进而有|b|=2.以无招胜有招，强调基本概念、基本定理的重要作用.

示例4第18题：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

简析：函数试题的位置在解答题第三题，按以前的难度情况，应该位于中等难度.今年按常规套路还是有一定难度的.

（1）实际上，当|a|≥2时，明显有：M（a，b）≥|f（-1）|=|1+b-a|①，M（a，b）≥|f（1）|=|1+b+a|②，由①、②得2M（a，b）≥|1+b-a|+|1+b+a|≥|2a|≥4，即当|a|≥2时，M（a，b）≥2.

（2）当x∈［-1，1］时，由f（x）=x2+ax+b，ax+b=f（x）-x2，|ax+b|=|f（x）-x2|≤|f（x）|+x2≤2+1，故|ax+b|≤3恒成立，由|a+b|≤3，|-a+b|≤3，得到|a|+|b|≤3，当a=2，b=-1时，|a|+|b|的最大值为3.

3.强调数学思想方法考能力重选拔

注重数学思想方法、数学能力的考查是浙江试题一贯的特色，今年这方面的考查明显进一步加强.如理科第5，6，7，8，9，10，13，14，15，18，19题考查数形结合思想，第3，10，14，15，16，18，19题则涉及函数与方程思想，至于转化与化归思想则在大多数问题中都有体现，根据近几年浙江省高考命题情况，分类讨论思想一般在解答题的最后一题出现，考查的频数也不高，今年位置提前，在第6，7，8，18，20题等问题中都有体现，特别是第18题中深度考查.第8，13，17题突出考查空间想象能力，第19题考查运算与推理论证能力，特别是运算能力，第20题重点考查推理能力，通过新定义试题、新情境试题既考查考生的基础，同时检测考生继续学习的潜能.

二、几点商榷

1.阅读理解类试题的合适题量

抽象是数学的特色，符号化是其重要体现，符号语言、图形语言及文字语言之间的转译与理解是数学学习的重要内容，是考生数学学习能力的体现，适当数量的阅读理解类问题是必须的，但是，今年的试卷中第3，4，6，7，14，15，18，20题的“数学味”十足，是近几年中符号化比较突出的一年，由于考生在理解上会花费比较多精力，试卷难度也就自然提升；

2.关于知识点重点考查、重复考查与知识点考查的缺位

2012年版教学指导意见中必修部分的学习内容减少，重点知识的重点考查势在必行，但是重点考查与重复考查还是要注意区分.理科试卷中涉及不等式的问题有第1，3，4，6，8，14，15，18，19，20题等，有十道之多，涉及最值、范围的试题有第6，10，14，15，18，19，15题，大有不等式一统天下之势；第11题、第16题都在考查二倍角公式，理科试卷第8题、第17题都考查了二面角；与之相对的，比如文科试卷中双曲线仅仅作为第7题一个无用的选择支，其他试题则再无涉及.

3.关于方法考查

理科第14题、第18题都可以利用绝对值不等式的相关知识解决，而且充分显示了其优越性；理科第20题，利用数学归纳法基本上是按部就班的操作.对以上试题，参加过竞赛、补充过相应方法的考生可以轻松应对，对一般考生则会无比烦琐；第20题，从灵活运用知识方法、考查思维能力、推理能力等方面分析是一道优秀的试题，如果以“机械操作”替代深层次的思维的方法可以解决问题，是不是考查目标的旁落？

另外，第17题立体几何试题中点的标注，“A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点”，中点没有字母标注，D标注在上底面A1B1C1中，下底面ABC中的中点字母考生要自己标出，结果肯定是很混乱.首先，不标出中点能达到什么考查目的？再者，在课本中或者类似的情形下，同一个底面上的字母形式尽量一致.虽有点吹毛求疵，但是作为国家级大考还是要尽量规范.

三、启示与思考

面对高考试题，考生、老师往往会有顿悟的感觉.“三年白学了！！”考完数学很多考生很无奈、悲凉、无助！面对考生的“三年白学”，教师做何感想呢？

“三年白学了！！”到底什么意思？学的都没有考到？考的都没有学到，没有学会？

话肯定夸张了！以理科为例，拿掉第7，8，14，15，18，20题，发现三年也没有白学，基础知识、基本技能还是占较大比例.高考毕竟是选拔性考试，期望人人欢喜是不现实的！

能做的就是努力能达到自己的最高境界，突破自己的瓶颈，拿到自己的高分.

学生没有学的过程是症结之一.急行军的速度，新授课课本也是一带而过，课堂PPT打出试题，教师自己读题，然后开始讲解，放电影一样给出答案，诸如此类，人灌或者电灌，赶进度的结果就是都学过还不懂，做过还不对；数学也是语言学科，要遵循语言学科的教学特点，有阅读、有模仿，会用数学语言表达，给学生学习的机会，让考生会学习，在考场上能表现出学习能力.

根基不牢是普遍现象.像理科的第7题、第15题本来是最基本的概念与定理的运用，考生却如坠云里雾里，如拳头打在棉花上有劲使不出.要在双基上舍得下功夫，对概念、定理有感知、抽象、概括的过程体验，在解题过程中考虑概念的运用方式、角度等，积累具体运用的经验.

解题教学模式亟待改进.解题教学几乎是目前讲台上唯一的课型，数学教解题一点不为过，关键是方法.对题型、套结论，堆积如山的练习，没有理解、分析的过程的解题教学可以对付平时的模拟测试，难以适应选拔性考试的要求.教师多下水，多研究，学生才可能减负增效，把握合适练习量，过犹不及.教师有才，让学生沾点灵气，教师无才，让学生学会自己思考，让学生自己动手动脑都是必须的，学生还是要靠自己！A