算筹：一场别开生面的数学竞赛

填下乌贼

如果问：“金庸小说中谁是‘数学达人？”想必很多人会不假思索地回答“神算子”瑛姑，她因为扎实的数学功底，所以获得了和梁山好汉蒋敬一模一样的外号，令人印象深刻。

中国数学（或者说“算术”）历史非常悠久，远远超出一般人的想象。早在原始社会末期，随着私有制和物物交换方式的产生，原始算术开始萌芽，距今6000多年前的仰韶文化、半坡文化遗址中，就已经出现了数字符号和几何图形。

夏商时期，中国出现了世界上最早的十进制计数法，这是一个了不起的发明，一直影响至今。十进制或许是因为双手共有十指的原因，但当统计数字超过十，手指不够用了，古人就有必要借助于其他的计数工具。故而，从西周开始，算筹这种计数工具就出现了。在小说《射雕英雄传》里，这也是瑛姑的武器——用来点穴。

算筹又称为算、筹、策、算子等，是一种由竹、木、骨、铁等材质制造的扁平薄片，在算盘发明之前，它统治了中国近两千年的计算岁月。小说中，郭靖和黄蓉第一次看到瑛姑时，她正趴在地上摆算筹，计算55225的平方根。

小说中写道：“那些算子排成商、实、法、借算四行。”这些专有名词，在北宋贾宪的增乘开方法（求高次幂的正根法）和南宋秦九韶的正负开方术（高效次方程数值求解法）里，都曾出现。

黄蓉轻易地口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324，数学水平可比瑛姑高多了，估计比同时代的秦九韶还要强上几分。瑛姑不服气，用“天元之术”向黄蓉发起挑战。

天元术是宋元时期发展起来的设未知数列方程的方法，南宋李冶在《敬斋古今黈》中记载了天元术早期发展的一些情况：早先东平有一种关于建立方程的方法算经，以仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼等19个汉字表示未知数的各次幂，正幂在上，负幂在下，以“人”作为常数项。《射雕英雄传》忠实地还原了这个典故。

瑛姑出的题目是“四元术”，出现了天元、地元、人元、物元等专有名词。其实这些名词来自元代数学家朱世杰的《四元玉鉴》，所谓“四元术”就是今日的多元高次方程列式与消元解法，虽然也很奇妙，但离9次方的“仙”、负9次方的“鬼”还差得很远，所以根本不会给黄蓉造成什么麻烦。

恼羞成怒的瑛姑竟然用九宫图来刁难黄蓉——九宫图是中国最早的纵横图，亦称幻方，据说是从黄帝和大禹时期的河图洛书里发现的。西汉末期的《周易·乾凿度》记载：“故太一取其数，以行九宫，四正四维皆合于十五。”换句话说，1～9这9个数字放在九宫格里，不论横竖斜排列，数字相加都是15。

这道题目非常简单，我在小学三年级的暑假作业里就遇到过，也经常在各种小学奥数班的习题里见到。但是，瑛姑竟然不知道！

黄蓉背出了九宫格的口诀（也就是答案）：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这个口诀的出处是北朝甄鸾的《数术记遗注》，该书描述说：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”一口气解开了这个三阶纵横图的小秘密。

瑛姑面如死灰，黄蓉适时“补刀”，又列出了四四图、五五图、百子图，这些都是纵横图。黄蓉口述了四四图的口诀：“以十六字依次作四行排列，先以外四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”这段文字一字不差地记载在南宋杨辉的《续古摘奇算法》之“易换术”中，这是解开四阶纵横图的不二法门。

虽然纵横图早在《周易》时代就已问世，但杨辉是世界上最早对幻方进行系统研究的数学家。他把纵横图从单一的方形扩展到圆形、梅花形、雪花形、九宫八卦形乃至连环形，杨辉的奇异形纵横图因其多样性和对称性，创造了纵横图研究的一个巅峰。《中国科学技术史》的作者李约瑟对此深表钦佩。

在小说中，黄蓉又显摆了九宫八卦图的奥秘，说：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二。”

金庸小说中的“九宫八卦图”就是杨辉创造的“连环图”，由9个小圈三三组合，一共构成13个小圈，每个小圈上的数字相加总值衡为292。

为了反击瑛姑，黄蓉也布下了三道难题，分别是：包括日、月、水、火、木、金、土、罗睺、计都的“七曜九执天竺笔算”，“立方招兵支银给米题”和“鬼谷算题”。有热心的读者表示，前面两道题分别讲的是不定积分和等差数列，而最后一题据我考证，出自东晋末期的《孙子算经》，答案是23。

这么看来，瑛姑的算术水平确实不如黄蓉，比之黄药师更是天差地别，她要破解桃花岛的迷宫救出老顽童，难度确实不小。

中国古代数学是世界科技、文化宝库中一颗璀璨的明珠，在四大文明古国的数学史上，中国数学持续繁荣的时间最长，所取得的成绩也最为光彩夺目。中国古代数学先后历经了两汉、魏晋南北朝和宋元三个发展高峰，并在明清之交与西方数学展开了积极的交流与合作。

作为基础学科，中国数学在古代还是颇受重视的：《伏羲女娲图》上，伏羲手持矩、女娲手持规，代表“天圆地方”；周代的贵族教育体系，称之为“六艺”，指的是礼、乐、射、御、书、数，其中的“数”就是算数（算术、数学）；《周髀算经》和《九章算术》开创了中国数学的先河；隋唐两宋，都有专门的国家算术研究机构，还有专门针对算术的科举考试项目……然而，明清以后，随着八股文垄断科举，中国数学走向了没落。反观西方，欧洲逐步迈进资本主义社会，近代数学受生产力的刺激快速发展。这一进一退之间，中国和西方国家数学水平的差距越拉越大。

金庸小说中，“数学”元素并不多见，无非瑛姑的算筹、黄蓉的试题、黄真的算盘。黄真是明末清初人物，彼时算盘已经彻底取代了算筹，被应用于中国人的日常生活中，但黄真的算术水平可能非常一般，他手上的那把算盘是兵器而不是计算器，说起来也是相当可惜的。