浅论概念同化策略在数学教学中的应用

☉江苏省无锡市江南中学 高峰官

浅论概念同化策略在数学教学中的应用

☉江苏省无锡市江南中学 高峰官

概念是思维的最基本单元，数学概念不仅是建立理论体系的基础，同时也是解决问题的前提.因此概念学习是数学基础知识和基本技能学习的核心.

数学概念的学习主要有两种基本形式：概念形成和概念同化.概念形成主要依靠对具体事物的观察、抽象、概括获得概念.学生在学习用定义形式陈述的概念时，要主动与其认知结构中的有关概念相互联系，相互作用，并领会新概念的本质属性，从而获得概念，这叫概念同化.随着学生年级的升高和知识的积累，概念同化逐渐成为他们获得概念的主要方式.

一、充分认识概念同化策略及其教学价值

概念同化策略就是指学生直接利用原认知结构中已有的适当概念来定义和理解新概念的学习过程和方法.在同化过程中，同样需进行积极思维，但与概念形成的观察、抽象、概括过程不同.概念同化的过程可表示为：（1）给出定义，揭示本质属性，给出名称和符号；（2）与原认知结构建立联系，明确新概念的内涵与外延；（3）区别于原有认知结构中的相关概念；（4）将新概念纳入原有的概念体系中；（5）原有的认知结构得到充实和优化.

从认知理论上讲，概念同化实际上是奥苏贝尔的认知结构同化论在概念教与学中的应用.本质上是根据学生已有认知结构设计教学情境，帮助学生形成良好的认知结构，提高概念教与学的水平.概念同化同样需要教师对这种学习方式的心理机制进行深入探析，寻求有效策略，精心设计相关学习过程.

运用概念同化策略，有助于学生从已有的生活经验和知识背景出发，将数学学习与生活紧密联系起来，通过学习情境，提高学习的意向性和积极性；可以跨越概念形成过程中所包含的辨别、抽象、分析和概括等相对复杂的心理过程，这样使概念学习更为方便，也更具有逻辑性和系统性，便于认知结构进一步优化；可以沟通知识间的内在联系，从而有助于学生理解、记忆和运用新概念，在迁移中发展学生的逻辑思维能力.

二、重点关注概念同化策略在教学中存在的问题

概念同化的前提是学生具有良好的认知结构和丰厚的知识背景，需要学生具有较强的抽象概括能力.由于多种因素影响，学生对概念的接受和理解的程度往往不同.归纳一下，概念同化策略教学中主要存在以下几个问题.

问题1：没有充分运用学生原有的认知结构

学生学习数学概念时，往往从他原有的认知结构如知识与经验出发，才能去认识、理解和区分事物的各种联系和性质.就学习而言，学生就必须掌握那些作为定义项的概念.就教学而言，教师就应当先创设学习情境，想方设法唤起学生原有认知结构中的相关知识和生活经验.例如，教师教学概率的概念时，应引导学生复习总数、频数、频率的概念，在此基础上引导学生认识到概率是指进行大量重复试验时，某事件发生的频率所趋近的一个相对稳定值.如果学生对频率概念都不清楚，那么他对概率的理解一定是模糊不清的.

问题2：不注重运用学生已有的知识经验创设学习情境

概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象归纳，而概念同化主要依靠的是对知识经验的概括.因此感性材料和知识经验是概念学习的重要基础.在教学中，教师往往对学生的感性材料和知识经验重视不够，导致学生的感知不充分，不丰富，难以抽象概括出对象的本质属性.针对这种情况，教师要尽可能地创设教学情境，尽可能地采用实物、模型或举例等方式，加以丰富学生的知识经验.概念同化时，要选择典型材料说明概念，以突出概念的本质属性.

问题3：在引导学生抽象、概括方面缺少有效方法

尽管概念同化不像概念形成那样需要观察、分析、抽象、归纳概括等复杂的过程，但必要的抽象概括还是不可少的.通常所说的抽象，是指在思维中把同类的各个对象的共同本质属性抽取出来，舍弃每个个别对象的所有其他属性.所谓概括是把给定的对象纳入到容量更大且包含前者的集合的过程.抽象与概括是形成和掌握概念的前提.

在实际教学中，我们往往发现学生的抽象概括能力不够，不能抓住事物的本质属性.要提高学生的抽象概括能力，关键是要引导学生分清本质属性与非本质属性.为此，教师教学时，可经常利用彩色粉笔或加重语气的方式，突出概念的本质属性.学生对概念含糊不清时，教师要明确指出哪些是非本质属性，它们与定义概念无关.例如，对于三角形的垂心，往往有学生认为只有三角形三边上的三条高的交点在三角形内部才称为垂心，其原因就是学生把非本质属性（交点在形内、形外、形上）误当为本质属性了.因此教师及时指出概念所反映事物的非本质属性，突出本质属性，这样能促进学生理解、掌握概念的内涵.

三、切实提升概念同化策略教学的有效性

认知心理学派认为实现概念同化应具备一定条件：首先，学习者要具备把新概念与认知结构中原有的适当观念关联起来的意向；其次，学习材料呈现对新概念的学习必须具有潜在意义.两个条件缺一不可，否则会导致机械性学习.因此，教学时，要将新概念的定义或特征描述呈现给学生，并要求他们在两者之间建立联系，以促使同化.

1.探寻已有固定观念，注意新、旧知识间的内在联系

概念同化和概念形成教学一样，都要让学生理解概念的本质特征.新概念的本质特征是用定义的方式直接呈现给学生，因此学生用于同化的概念主要是上位概念，往往是一种下位学习.例如教学“正方形”的概念时，要用学生头脑中已形成的上位概念“矩形或菱形”来同化.因此，在进行概念同化教学前，教师首先要知晓和恰当引出学生头脑中用以同化新概念的原有知识.有时在概念同化教学时，揭示概念本质特征的定义中会涉及若干已有概念.如方程的本质属性是“含有未知数的等式”，其中涉及“等式”“未知数”两个概念.教师不仅要激起学生回忆出作为上位概念的“等式”，也要让学生回忆起构成关键特征的“未知数”概念.总之，在呈现定义性概念的本质特征前，一定要充实和丰富学生头脑中具有同化和理解新概念本质属性的原有知识.概念同化学习，最常用的方式是温故引新.这里需要特别强调的是：为新概念学习而准备的旧知识的复习，不是漫无边际的复习，而是有针对性的复习，那么如何进行有针对性的复习呢？

（1）从旧知识中选择恰当的新知识的自然生长点.因为旧知识不仅能起到过渡与搭桥作用，而且还能作为纳入新知识的连接点与固定点.

（2）巧用比较法，通过比较新、旧知识的异同点引入新知识，这样可以避免新、旧知识之间的干扰，又有利于促进新、旧知识之间的学习.例如通过平行四边形与等腰梯形异同点的比较，既巩固了平行四边形的概念，又让学生在已有认知结构的基础上吸纳和理解了等腰梯形的新概念.

（3）设计“先行组织者”，引导学生把新知识与旧知识联系起来.先行组织者作为先于学习内容呈现的一种引导性材料，其目的是在于把新知识纳入到已有的知识结构中，教师如果在教学设计中对先行组织者设计得当，学生甚至会出现创造性的理解方式和技巧.例如，学生在学习平面直角坐标系概念之前，教师有意识地介绍法国大数学家笛卡尔的故事，这一故事中涉及笛卡尔如何经过冥思苦想解决了质点定位的问题.这样既介绍了数学史有关内容，拓宽了学生的知识面，又起到了学习平面直角坐标系的先行组织者作用，激发了学生关注生活、勇于创新的意识.

2.遵循认知规律，逐级提升概念同化的程度

概念同化的本质就是揭示新、旧概念的内在联系.初中生正处于形象思维向抽象逻辑思维的转变阶段，因此，初中数学概念同化学习中，新、旧概念联系的复杂性、抽象性决定了学习者对新概念的精确建构不可能一步到位，像概念形成一样，也应该遵循由感知—表象—抽象的认识规律.

例如，引导学生认识负数时，学生对负数意义的理解，需经历一个逐步抽象的过程，需要引导学生的认知结构实现一种渐进式的转换和提升.具体可以设计成以下几个环节.

（1）情景感知.要学习负数概念，教师要先复习正数与零的概念，然后创设教学情境，引出生活中许多具有相反意义的量，如天气预报中的零上多少度与零下多少度；家庭收入1000元与支出500元；海平面以上80米与海平面以下30米；仓库中运进大米50吨与运出大米30吨等，这些教学情境的创设，让学生充分感知到生活中确实有很多具有相反意义的量，而我们已经学习过零与正数的概念，那么与正数具有相反意义的数又叫什么数呢？从而有效地激发了学生学习负数的好奇心和学习意向.

（2）数形结合.《九章算术》曰：“析理以辞，解体用图.”古往今来，数与形密不可分.数形结合具有双向性，一方面“以形助数”——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系；另一方面，以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质.显然，在认识负数的过程中，给学生提供了实际生活情景后，可利用以形助数的手段，借助于画直线图形以某点为界点，表示温度的零上与零下、海平面上与海平面下、向南与向北等，我们规定“交界点”表示零，其中一个为正数，另一个就为负数，这样能通过图形充分感知到一对相反意义的量，这为负数概念的理解提供了丰富的图形直观支撑，使学生形成有关负数的清晰表象，为负数的抽象概括提供坚实的表象基础.

（3）抽象概括.在学生经历生活背景与图形表示之后，就可在这些丰富的实例和直线图形的基础上抽象出负数的定义：比零小的数是负数.正、负数表示一对相反意义的量.

可见，概念同化的学习方式虽然从本质上说是一种从概念到概念的过程，但是新、旧概念之间联系的建立，不是一种简单空洞的逻辑链接，同样需要根据学生的心理特点组织一个生动丰富的学习过程：情景感知—数形结合—抽象概括.只有这样，才能使新概念真正与已有的概念体系相融合，获得意义建构.

3.引导学生同化与分化相整合，深化概念理解

奥苏贝尔在同化理论的基础上还提出了学习组织的四大原则.其中第一条原则就是渐近分化的原则.该原则倡导在学习新知识的同时，明确新、旧知识的区别，并使新、旧知识的联系与区别协调整合.这与美国心理学家威特金提出的心理分化理论也是一致的.心理分化的一般原则即从浑然一体到清晰分化的发展.因此，学生对数学概念的意义建构也应该是一个从同化到分化的过程，两者应有机统一.在概念同化过程中，如果说同化是寻找新、旧概念的共同特征，那么分化就是辨析新、旧概念的区别特征.对中学生来说，这种分化也应该是渐近式的.

例如，我们在学习了变量与变化概念后，引入函数的概念.首先，我们要认识到函数描述性的概念“雏形”：在一个变化过程中，有两个变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，但这是不准确的界定，没有抓住概念的本质特征.函数的本质特征是：在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应.这时，可举出一个反例深入理解函数概念：y是非负数x的平方根，y不是x的函数.这个反例，可促进学生对函数与一个量随另一个量变化而变化两个概念的分化，从而加深对概念的理解.可见，在教学中，教师通过由粗略描述到精确定义、由肯定例证到否定例证的教学设计，可逐步实现新、旧概念的精确分化.这一过程将求同的思维过程实施逆转：变求同为求异，变同化为分化，最终实现对概念的意义建构.

4.引导学生掌握概念图策略

一个数学概念的获得，既包括对它本身涵义的理解，同时还包括对不同概念间的各种相互联系的理解.新的概念只有纳入相应的概念系统中，与其他概念建立必然的联系，才能被学习者全面、深刻地理解和掌握.概念图策略是指学习者按照自己对知识的理解，用结构网络的形式表示出概念的意义以及与其他概念之间联系的一种策略.一个完整的概念图要包括命题、层次等级、横向联系和实例四个方面.

（1）命题.命题是两个概念通过某个连接词而形成的，例如“无限不循环小数是无理数”这个命题是通过“是”而形成的.

（2）层次等级.概念图中的概念必须是有层次的，这以概念的抽象水平为依据.

（3）横向联系.概念图必须反映同一或不同抽象层次概念之间的“横向”联系.

（4）实例.概念图不只是抽象的概念，还需用具体实例丰富和加深学生对概念的认识.如实数的概念图如下所示.

概念图是一种同化学习策略，更是一种有效的“学会学习”的方式.引导学生掌握概念图策略可分为三个环节：首先，教师要结合具体实例，讲清楚概念图的构成及其制作步骤，做出示范；其次，学生模仿教师的步骤，师生共同编制概念图，教师及时给予指导；最后，学生自己制作有关的概念图，相互交流、比较和评价，并及时修改和补充，从而加深对有关概念及其内在联系的理解.

总之，对于数学概念学习，只有理清概念的关联，并纳入系统之中，才能真正掌握它.因此，教师应积极引导学生把学过的概念进行分析、比较，揭示概念的共性、特性、区别与联系，形成概念的网络图.

1.郑君文，张恩华.数学学习论［M］.南宁：广西教育出版社，1996.

2.邵瑞珍.教育心理学［M］.上海：上海教育出版社，1982.

3.刘电芝，田良臣.高效率学习策略［M］.北京：科学出版社，2011.

4.朱洁芬.小学数学概念有效同化教学策略初探［J］.上海教育科研，2008（11）.

5.王洪玉.试析奥苏贝尔的学习理论及其启示［J］.教学研究，2005（7）.