注重课题学习，引导探究，提升能力——对一道统考题的教学思考

☉福建省厦门第一中学 杨振兴

注重课题学习，引导探究，提升能力
——对一道统考题的教学思考

☉福建省厦门第一中学 杨振兴

“数学课题学习”是义务教育阶段一个重要的教学内容，是数学课程的一个重要组成部分，也是发展学生动手操作能力、探究能力、应用意识的重要抓手.美籍匈牙利数学家波利亚说过：学习任何知识的最佳途径是由自己去发现.而课题学习的主要目的就是让学生在教师引导下自主动手操作，自主探究.这与波利亚的思想不谋而合.也充分体现了以学生为主体的新课程标准要求的教育模式，因此教师在课堂上上好“数学课题学习”就十分重要了.

一、问题提出

在厦门市2014-2015学年八年级上数学质量检查中，有一道新颖的题目，取材于“课题学习”最短路径问题，并且重点考查学生的探究能力与知识迁移能力.

题目（2014年厦门市质检第25题第（3）问）如图1，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1cm，请用作图的方式在线段AB上确定点E、F的位置，使得四边形CGEF的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法）

分析：因为EF是定值，所以只要GE+FC最小即可.把G、E、F、C四个点看成一个系统（如图2），因为点E、F在AB上，若E、F重合时，G相应地沿AB方向平移了EF的长度到达G′（如图3），即转化成“牧马饮水”问题，进而对称后，根据“两点之间，线段最短”即可作出图形（如图4）.

图2

图3

图4

图1

解：先把GE沿AB方向平移了EF的长度（1cm）到达G′F，然后作点G′关于直线AB的对称点G″.连接G″G，交直线AB于点F，则点F即为所求.

在点F的左侧取EF=1cm，则E、F就是符合题意的点.同理，因为CD∥AB，所以也可以先把CC′延CD方向平移FE的长度到达C′E，这里给出AB、BC、EF的长度只是为了降低难度，本质是课本第87页的造桥问题.不要求学生说理，只要找出正确的E、F点即可.

本题是2014年厦门市八年级数学质量检查的倒数第2题的最后一问，最后全市此题的平均分为0.279分，极其低.此题为对《人教版数学八上》P86课题学习问题2（造桥选址问题）的实际应用，但学生无法与造桥问题类比分析，解题没有思路.许多学生直接利于轴对称再连接，没有经过平移而导致画错.本小题需要学生能对几种路径最短的综合和迁移，有较高的能力要求.但参与评卷的老师反映自己在教学中已经教过造桥选址问题，但学生几乎都不会迁移到这道题目中，这反映了在课题学习的教学中存在一些不容忽视的问题.

二、深究原因

（1）一些教师对“数学课题学习”的内容一带而过或置之不理，导致学生的探究意识和知识的迁移能力欠缺.

（2）教师缺少对课题学习教学的研究，即使努力教学也多数出现按照教材照搬给学生，模式化教学的情况，学生只是“背”下了答案而已，没有真正理解.

（3）教师缺少对学生学习情况的研究.最短路径对于学生理解上是一个很抽象的过程，不可人为地让学生懂得，而应引导他们纠错、发现、探究，以学生为主体，这也是课题学习所想让教师做的.

三、课题学习的教法探究

笔者以《人教版数学八上》P86课题学习问题2（造桥选址问题）的教法为例，给大家提供一个参考和交流的实例.

问题2：（造桥选址问题）如图5，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

图5

1.课前布置学生自主探究

《义务教育数学课程标准》（2011年版）在定义数学思想时特别新增加了“构建数学模型思想”，因此课题学习要体现这个特点，要求老师引导学生进行数学建模.笔者在课前一天由学生设计数学模型，将河流的两个河岸看成是两条直线a、b，要在平行线a、b上画一个垂线段MN使得路径AMNB最短，发给每位学生一张作业纸，让他们利用图5画出最短路径AMNB.

隔天交过来的作业中有如图6~图9所示的方法.

图7

图8

图9

总结学生作业：图6、图7是学生想利用点到直线的距离“垂线段最短”来解决.图8、图9是学生想利用“两点之间线段最短”来解决.

当然，班级中还有2位学生的作业画法和上述不同，将在随后展示.

2.课堂学生自主探究，教师引导

（1）学生分组测量讨论.

（2）师生互动讨论.

师：通过测量我们可以发现，利用点到直线的距离“垂线段最短”来解决的图6、图7的测量距离长，为什么？

生1：这两种图形只考虑了点A或点B到河岸的距离最短，但是另一个点到河岸的距离却很长，所以不是最短.（引导学生自己否定这个做法，探究下一个做法）

师：很好，那图8、图9的测量结果显示它们比较短，哪个更短，是否是最短的？

生2：图8、图9是利用“两点之间线段最短”，应该是最短的.

师：那应该是一样短才是啊，可事实数据显示图8比图9短，为什么？

生3：可能是误差？（允许学生发表自己的看法，即使他们的想法是错的，错的想法会加深学生对正确解法的记忆，教师不应害怕学生犯错，有时候犯错还是好事，教师要抓住学生的“错”，引导他们探寻正确的方向，这样学生会受益匪浅）

师：有可能，我们用几何画板来找找看是否是误差，还是有更短的？

师：操作几何画板（如图10），我们发现下面的数据明显比同学们之前画的数值小，还是误差吗？

图10

生4：应该不是误差，老师你在拖动M点时，数据有呈现缩小的趋势，则AM+MN+NB一定有最小值，那我们怎么才能找到这个最短路径呢？

师：好，我们这堂课就来研究一下，好吗？（教师在教学中可以经常采取询问的方式，使学生在课堂上处于被动地接受知识时成功转为课堂的主动参与者和决策者）

（3）教师引导，学生自主探究.

师：如果没有河流，如图11，点A′到点B的最短路径是什么？

生5：就是两点之间线段最短的A′B交直线b于点N啊，简单！（学生鼓掌！）

图11

师：如果在河岸b上再加河岸a呢，那A′会怎么移动？

一部分学生：A′也会往上移动！

师追问：移动多少？

生：一条河岸的宽度！（师生的互动，思维的碰撞，呼之欲出的答案）

师：好！大家动手画一画，看看是否能得到意想不到的答案.（最后的正确答案必须以学生为主体自己找到，这样才能进一步锻炼学生的动手能力和图形操作能力，合乎新课程的理念）

最后，本班学生56人，32人画出了正确的图形，如图12.

师总结画法：①把A向河岸垂直方向靠近平移到A′.

图12

②连接A′B交直线b于点N，作MN垂直直线b交直线a于点M.

③连接AM、MN、NB，路径AMNB即为所求的最短路径.

（4）师生验证画法的正确性.

①几何画板验证，如图13.

AM=3.63

MN=1.98

NB=4.01

AM+MN+NB=9.62

②几何严谨证明.

图13

图14

若桥在另一个位置M′N′，如图14，则AM′=AN′.

因为平移，所以AM′=AN′.

所以AM′+M′N′+N′B=AN′+M′N′+N′B.

又因为平移AM=A′N，所以AM+ MN+NB=A′N+MN+NB.

因为河岸宽度不变，所以M′N′=MN.

而AN′+N′B＞A′B（三角形两边之和大于第三边），又因为A′B=A′N+NB，所以AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+NB.

这证明了若不在MN处建桥，那么将会更长，因此AMNB即为所求的最短路径.

（5）师生探寻另解.

师：上面我们一起证明了上述画法的正确性，那么还有没有其他的画法？

生思考，分组讨论后得出结论：类似地，也可平移点B.把B向河岸垂直方向靠近平移到B′，连接B′A交直线a于点M，作MN垂直直线a交直线b于点N，连接AM、MN、NB，路径AMNB即为所求的最短路径.

师追问：新得到的路径和原来的一样吗？

生发现：一样.（对类似的另解的探索让学生再次感受一次造桥选址问题，加深学生对于问题的掌握和理解）

3.课后拓展、提升、运用所学的结论

笔者所在备课组自编了3道新颖的变式题课后让学生练习，大家可以和最后的统考题做比较.

变式1：已知A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行的，且桥要与河垂直），怎么选址造桥才能够使得从A到B的路径AMNB最短？我们不妨将问题放在平面直角坐标系中来研究.

（1）若A（-4，3），B（3，-2）.河的两岸分别设为y=1与x轴，当从A到B的路径AMNB最短时，求M、N的坐标.

（2）若A（-4，3）、B（3，-2）还被另一条河隔开（与原河流垂直），需在此河上造一座桥CD（假定河的两岸是平行的，且桥要与河垂直），此河的两岸分别设为x=1与y轴，当从A到B的路径AMNCDB最短时，求M、N、C、D的坐标.（画图，直接用坐标回答即可）

变式2：将一长方形OABC放在平面直角坐标系中，O为顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8.在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M和点N的坐标.

变式3：在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（3，3），点C、D在y轴上，CD=1.试问：是否存在这样的点C使得四边形ABCD的周长最短？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

四、教学反思

1.“课题学习”的教学应立足于学生的学情

课题学习活动首先要以学生为主体，立足于学生现有的知识和经验，一步步引导学生找到知识所在并掌握它.八年级上的学生只是初步学习平移和对称知识，仅仅掌握了“垂线段最短”、“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”等简易的几何最值问题，对将其灵活运用在课题学习（造桥选址问题）上有一定难度，教师在教学时应该针对学生的这些情况展开教学设计，并且最关键的是以学生为主体，整个教学活动引导学生成为课堂和知识的主人.

2.“课题学习”的教学应以学生活动为主线，让学生感受数学模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容不仅包括数学的结果，也要有数学结果形成的过程，不仅要有基于间接经验的数学知识，也要有基于直接经验的数学知识，不仅要有抽象的概念和法则，也要有直观的说明和启迪.”本课题学习教学中，笔者设计了让学生自主画图，再分组测量，并且分组讨论，学生有所发现，但又带有疑问，进而引入问题的解决，在允许学生犯错时，进而引导学生进一步研究，找到正确的最短路径.而在让学生通过测量、列表、观察、纠错、探索后进行几何理论证明，便是水到渠成之事.整个教学过程十分顺畅，完全都是以学生为主体，参与解决问题，最后由学生得出结论，再证明，学生感受到了自己才是知识的主人，主动学习兴趣倍增.虽然笔者在设计教法时花费了很多时间，但最后学生受益匪浅，这应该是我们教师经常要做的，也是职责所在.最后仅以此例，抛砖引玉，希望广大的同行们可以对课题学习的教法进行深入研究.