对学生数学问题表征能力的培养

俞昕

笔者在研究2014年高考试题时，曾对全国大纲卷的第21题进行过一番思考. 原题呈现：已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.（I）求C的方程；（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

第（I）小题在此不作详细阐述，笔者在做了第（II）小题后再去翻看标准答案，希望标准答案能够给出更简单、精彩的解答，但标准答案的解答与笔者的思路一致. 之后笔者又去翻阅了各类数学期刊，希望能从中找到另一种解决途径，结果也是无功而返.于是，笔者就反思，是否此题真的只有“华山一条路”？

一、简单分析“标准答案”

设直线l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程y2=4x，消元得y2-4my-4=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=4m，y1y1=-4.由弦长公式可得AB=4（m2+1）与AB的中点P（2m2+1，2m）.设直线MN：y-2m=-m（x-2m2-1），代入抛物线方程y2=4x消元得y2-y-8m2-12=0，设点M（x3，y3），N（x4，y4），则有y3+y4=-，y3y4=-8m2-12.由弦长公式可得2R=MN=，并且得到MN的中点E（+2m2+3，-），可计算出EP.最后由勾股定理=EP+可算得m的值.

二、另辟蹊径“表征剖析”

以上标准答案解答过程的运算量主要集中在弦长公式的运用与计算上，涉及四点共圆的问题，一般不可避免地就想到弦心距直角三角形中勾股定理的运用.但事实上，我们退回来想一下，A，M，B，N四点共圆，且以MN为直径，最直接的不是勾股定理，而是“直径所对的圆周角为直角”，也即是AM⊥AN与BM⊥BN，垂直问题往往转化为向量的数量积为0，即·=0和·=0.设A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4），则有=

（y3+y1）（y3-y1），y3-y1，

=

（y4+y1）（y4-y1），y4-y1，于是可得

（y3+y1）（y3-y1）（y4+y1）（y4-y1）+（y3-y1）（y4-y1）=0，

化简得（y3+y1）（y4+y1）=-16. 同理由·=0，可得（y3+y2）（y4+y2）=-16. 可得（y3+y1）（y4+y1）=（y3+y2）（y4+y2），展开之后化简得（y3+y4）+（y1+y2）=0，将y1+y2=4m，y3+y4=-代入，得m=±1.

此种解法的优势在于只需用到y1+y2=4m和 y3+y4=-，避免了弦长公式的复杂计算.

三、反思回顾“表征优势”

让我们反思此题的两种解法，其实是“四点共圆”的两种不同的表征形式.表征是信息在人脑中的呈现和记载的方式.根据信息加工的观点，当人对外界信息进行加工（输入、 编码、 转换、存储和提取等）时，这些信息在头脑中得以表征.表征是客观事物的反映，又是被加工的客体.同一事物，其表征形式不同，对它的加工也不同.表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑中是如何呈现的， 如何表现出来的.问题表征是指解题者通过审题，认识和了解问题的结构；通过联想， 激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象.以上述高考题中直线与抛物线的交点坐标表征为例，从点的角度表征A（x1，y1）和B（x2，y2）；从直线的角度表征A（my1+1，y1）和B（my2+1，y2）；从抛物线的角度表征A（，y1）和B（，y2）；从公共点的角度表征x=my+1，

y2=4x.根据问题的条件，可以选取不同的表征形式以达到解决问题优化的目的，比如对照上述高考题的两种解法，标准答案选择了设点A（x1，y1），B（x2，y2）与点M（x3，y3），N（x4，y4）的表征方式，而笔者的解法采用了设A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4）的表征方式.这不由得让笔者想到苏轼的一句诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一个数学问题，从不同的角度看，采用不同的表征形式，它会显现出不同的效果来，不同的表征形式有不同的典型性与优越性.

四、重视培养“表征能力”

从以上的分析看，如何培养学生的数学问题表征能力、帮助学生选择适宜的表征形式自然就是数学教学中一个非常重要的任务.

（一）引导学生对数学问题进行多维表征

在课堂教学中教师要注重引导学生把握表征取向，加强问题表征的表达训练，提高问题表征的准确性.如在学生数学概念形成的教学阶段，教师要有针对性地创设情境，使问题表征尽可能和数学概念原型相匹配，帮助学生加深对数学概念的理解和促进学生对数学知识的建构.在将数学问题展现给学生的时候，要注重创设学生思考、探究问题的时空，为学生问题的解决提供“问题表征”的充足时间，同时还要重视展示学生问题表征的思维过程，分析表征中的错因，提取和激活其合理成分，让学生自觉对其思维过程做出调整，修正、完善问题表征.问题多维表征是解题思路产生的源泉，正确的语言表征是理解问题的前提条件，准确的符号表征是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式，适当的图表表征有助于问题的形象直观思考，合理的模式表征有助于简约问题解决的思维长度.在教学过程中，教师要运用启发性提示语：“你能否根据自己的联想用适当的方式将问题进行重新表征？”“在遇到困难的情况下，你能否变换问题的表征形式，调整解题思维方向？”激活学生原有的知识块，通过联想，诱发学生进行多维表征，并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活的转换.

（二）有意识地培养学生说数学的能力

说数学就是让学生在教师指导下，灵活运用数学语言和普通语言说自己对数学概念的理解，说定理的结构和作用，说命题的构成，说问题思考方向、解决的方法、解决的关键，说所用的思想方法，说由问题启发而来的思考、想法，说在问题中运用的设想，说探索中的体会和困难等.对同一个数学问题，不同的学生会产生不同的看法，教师自身由于受多年教学思路定式的影响，也未必能面面俱到，想到学生的所有思路与对问题的表征.因此我们需要让不同的学生来“说数学”，展示不同学生对同一问题的不同表征，这些表征或正确或错误、或简洁或烦琐，但都无不透露着学生对数学问题的独特的、个性化的解读.这样可以弥补教师一个人唱独角戏、无法顾及不同层次学生表征问题能力的不足，让学生更多层面、更广泛地接触数学问题的多种表征形式，能够拓宽学生的视野，突破思维定式.

（三）在数学教学中揭示数学原理的产生过程

问题表征的过程是解题者根据题目提供的信息构建自己问题空间的过程，一个基本数学原理往往对应一个问题空间，同一个题目根据不同的数学原理往往与若干个等价的问题空间相对应.但不同的问题空间相应的解题烦难程度不同，这就需要解题者应具备一定的直觉洞察力.而直觉洞察力是建立在学生对数学原理掌握的基础上的，数学原理教学应揭示原理产生的过程.不少教师重解题训练，将教材中呈现的基本原理或让学生自习，或简单说明，最大限度地压缩了原理形成过程的教学，用张奠宙先生的话说就是“掐头去尾烧中段”.如果原理教学不注重学生对原理产生过程与应用的体验，学生是很难真正掌握数学原理的.学生如果没有对数学原理的透彻理解，在解决数学问题时就无法形成明晰的与相应原理相匹配的数学问题空间.教师在课堂上不吝啬时间让学生充分体验数学原理的产生过程，学生就能在头脑中形成与问题相关的优良的认知结构，优良的认知结构应该是层次分明的观念网络结构，即学生对相应知识的理解已经从“工具性理解”上升至“关系性理解”，进而上升至“观念性理解”的层次，那么学生自然就能具备选择优越的问题表征形式来解决数学问题的能力.endprint