分组有界变差与几乎单调递减的关系

陈晓丹

(浙江理工大学理学院, 杭州 310018)

分组有界变差与几乎单调递减的关系

陈晓丹

(浙江理工大学理学院, 杭州 310018)

在Fourier分析中,对一些经典定理单调性的推广很有意义。探讨了分组有界变差与几乎单调递减之间的关系;利用数列本身特性,采用构造的方法,给出平凡的数列,并结合三角级数的一致收敛性等相关定理,构造更具有实用价值的数列证明了两者的互不包含关系。

分组有界变差; 几乎单调递减; 互不包含关系

0 引 言

在一致收敛和平均收敛的问题上,三角级数(Fourier)系数的单调递减条件及其推广研究是相关研究者关注的焦点。这类研究开始于英国学者Chaundy和Jollife(1916)的工作及Young(1913)的工作,产生了大量优秀的成果[1]。在系数数列集合间的关系中,目前已有很多好的成果,比如拟单调(QM)、剩余有界变差(RBV)等重要概念的引入。Le和Zhou在文献[2]提出了兼容两个发展方向(拟单调和有界变差)的分组有界变差(GBV)概念。历史上还出现过其他一些推广性的条件,几乎单调递减(AMS)就是其中之一。对于拟单调和有界变差这两个方向的研究已有比较丰富的结果,但关于AMS与各集合之间的关系方面的研究相对较少。

对三角级数的一致收敛方面的研究,目前已经推广到均值有界变差(MVBV)概念,但出乎意料的是AMS条件却无法代替经典定理中的单调递减条件(参见文献[3])。在Fourier最佳逼近中,AMS与拟几何递减条件有一定的关系。因此对AMS的探究可以增强对数列单调性的进一步认识,有助于对各种经典定理进行探索性推广,为后继研究者提供方便。本文中我们主要研究AMS与GBVS之间的关系。

1 分组有界变差数列与几乎单调递减数列的定义

文献[3]中已经指出AMS与GBVS之间互不包含,但目前并未给出确切证明。本文主要用构造数列的方法来证明两者的互不包含关系。

2 定理及其证明

即数列{an}∈GBVS。

假定m≥n,分情况讨论:

1)m、n同为偶数时,由于数列am单调递减,则am≤an。

3)m、n为一奇一偶时,

综上可知,对任意m≥n,都有am≤2an,即数列{an}∈AMS。

但当n为偶数时,有

(n-2)an,

记vm=22m,定义非负数列{bn}:

这说明存在数列{bn},满足{bn}∈GBVS,但{bn}∉AMS,即GBVSAMS。

因此,存在数列{bn},使其满足{bn}∈AMS,但{bn}∉GBVS,即AMSGBVS。

由以上两个例子,定理得以证明。

3 结 语

本文主要通过构造例子说明满足AMS和GBVS条件之一但不满足另一条件的数列,从平凡数列及不平凡数列两方面给出了AMS与GBVS之间互不包含的关系。

[1] Young W H. On the Fourier series of bounded functions[J]. Proc London Math Soc, 1913, 12: 41-70.

[2] Le R J, Zhou S P. A new condition for the uniform convergence of certain trigonometric series[J]. Acta Math. Hungar, 2005, 108: 161-169.

[3] 周颂平. 三角级数研究中的单调性条件: 发展和利用[M]. 北京: 科学出版社, 2012:9-20.

(责任编辑： 康 锋)

Relationship between Grouped Bound Variation and Almost Monotonic Decreasing

CHENXiao-dan

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

In Fourier analysis, it is of great significance for the popularization of monotonicity of some classic theorems. This paper discusses the relationship between group bounded variation and almost monotonic decreasing. It makes use of characteristic of series, and adopts construction method to give ordinary series. In addition, it combines with uniform convergence and other relevant theorems of trigonometric series to construct the series with more practical value so as to prove mutual exclusive relationship between them.

group bounded variation; almost monotonic decreasing; mutual exclusive relationship

1673- 3851 (2015) 01- 0146- 03

2014-06-25

陈晓丹(1989-),女,江苏泰州人,硕士研究生,主要从事逼近论的构造性分析方面的研究。

O174.21

A