巧解滑轮组提升重物的机械效率问题

张忠飞

通常情况下，提升重物问题主要是关于用滑轮组提升重物的问题，而机械效率η=[W有W总]×100%，其中W有=G·h，W总=F·S，因F、S的大小需根据动滑轮上绕绳数确定，且不易直观理解（如人提重物上楼问题），计算会略显复杂。当涉及滑轮组改装或G物改变引起的机械效率变化等动态问题时，此公式计算的繁杂更为突显。本文通过分析滑轮组产生机械效率的原因，用两个比例关系确定滑轮组的机械效率，且将之普适化至滑轮组提升重物的静态与动态两类机械效率问题，计算起来较为简易，希望能对同学们有所帮助。

一、机械效率的产生

滑轮组机械效率η=[W有W总]×100%=[W总-W额W总]×100%=（[W总W总]-[W额W总]）×100%=（1-[W额W总]）×100%，很明显，若W额=0，即不计滑轮重量及一切摩擦，则机械效率η=1。因而，在滑轮组提升重物的过程中，滑轮的自重及与绳子的摩擦是产生额外功W额的原因，亦即机械效率小于100%的原因。

在解题时，与绳子的摩擦通常忽略不计，故我们可以得到W有=G物·h，W额=G额·h，由η=[W有W总]×100%=[G物·hG物·h+G额·h]×100%，消除h得比例关系“η=[G物G物+G额]×100%”，将此式再稍作变形，可得“η=[11+G额G物]×100%”。从以上两个式子中可以看出，无需考虑重物通过的距离，即可求得机械效率。

普适化比例关系1：η=[G物G物+G额]×100%，G额指除重物以外的一切被提升物的重量。

普适化比例关系2：η=[11+G额G物]×100%，G额指除重物以外的一切被提升物的重量。

动态变化分析：设k=1+[G额G物]，当k增大时，η减小；当k减小时，η增大。

故有：①当G额=G物时，η=50%；

②当滑轮组改装时，若G物、G额均不变，则滑轮组机械效率不变；

③增大机械效率的方法有，G额不变、增大G物，或G物不变、减小G额。

值得强调的是，这两个普适化的比例关系是在理解滑轮组机械效率因何产生之后化简得来的纯数学比例式，仅仅是一种用于选择题或填空题的快速解题手段，切不可当作原始公式用于计算题中。

二、题型应用

1.滑轮组提升重物的机械效率静态分析。

例题1 甲、乙两同学用相同的滑轮，采用不同的方法提升相同的重物。比较图1中的甲、乙两图，机械效率较高的是 。（不计绳重和摩擦）

解析：采用普适化比例关系1机械效率η=[G物G物+G额]×100%，G物相同，因不计绳重与摩擦，则甲的G额=0，乙的G额=G轮，则机械效率η甲=1，η乙=[G物G物+G轮]×100%<1，因此η甲>η乙。故答案为甲。

小结：甲、乙滑轮组提升物体的重量G物相等，若G额较大，则机械效率较η小。

【变式】把重1000N的沙子运到三楼，给出三种方法：①用桶装沙子由体重为400N的人沿楼梯提上去；②用桶装沙子由一个动滑轮吊上去；③用袋子装沙子由一个动滑轮吊上去。这三种方法做的有用功 （填“相等”或“不相等”），其中机械效率最高的是方法 （填序号）。

解析：W有=G物·h，因而三种方法做的有用功都一样；机械效率η=[G物G物+G额]×100%，其中G物相同，①、②、③中G额的大小顺序是：G人+桶>G桶+轮>G袋+轮，则机械效率大小顺序依次是：η3>η2>η1。

答案：相等；③。

小结：滑轮组提升物体的重量G物相等，若G额较大，则机械效率η较小，依据题意知，G人+桶>G桶+轮>G袋+轮，则η3>η2>η1。

2.滑轮组提升重物的机械效率动态分析。

例题2 如图2所示，建筑工人用250N的拉力将重400N的物体匀速提升3m，此过程中，滑轮组的机械效率为 ；若用该装置提升500N的重物，其机械效率的大小将 （填“变大”“变小”或“不变”）。

解析：采用普适化比例关系1机械效率η=[G物G物+G额]×100%，其中，G物=400N，G额+G物=2F=2×250N=500N，解得η=80%。

若提升500N重物，采用普适化比例关系2机械效率η=[11+G额G物]×100%，其中G′额=G额=100N不变，G′物=500N，则[G′额G′物]=[15]<[G额G物]=[14]，可得η增大。

答案：80%；变大。

小结：本题的规范解法是用机械效率公式η=[W有W总]×100%进行计算，但使用前述普适化比例关系，可以不涉及h的计算，对于第二问，甚至不需计算即可判断，故较为简易省时。

【变式1】如图3所示，小华同学在“测量滑轮组机械效率”的实验中，应竖直向上匀速拉动绳子的自由端。若钩码G重为3N，小华所用拉力F为1.2N，则滑轮组的机械效率为 ；若换成重为5N的钩码G′再进行实验，此滑轮组的机械效率将 （选填“变大”“变小”或“不变”）。

解析：采用普适化比例关系1机械效率η=[G物G物+G额]×100%，其中G物=3N，G额+G物=3F=3×1.2N=3.6N，解得η=83.3%。

若提升5N重物，采用普适化比例关系2机械效率η=[11+G额G物]×100%，G′额=G额=3F-G物=0.6N不变，G′物=5N，则[G′额G′物]=0.12<[G额G物]=0.2，可得η增大。

答案：83.3%；变大。

小结：对于第一问，分析知题干未给出提升重物的高度，因而采用公式η=[W有W总]×100%，不如用消除h后所得的比例式η=[G物G物+G额]×100%计算，可快速求得结果；对于第二问，从比例式η=[11+G额G物]×100%很容易看出，增大G物，会使得机械效率η增大。

【变式2】如图4甲所示，用动滑轮把重为100N的物体竖直匀速提高2m，滑轮重为10N，不计绳重和摩擦，滑轮的机械效率是 。若将甲装置改装成乙，则滑轮组的机械效率将 （选填“增大”“减小”或“不变”）。

解析：依题知G物=100N，G额=10N，采用普适化比例关系1机械效率η=[G物G物+G额]×100%，则η=[100100+10]×100%=90.9%；将甲装置改装成乙装置后，G物不变，G额减小至0，由普适化比例关系2机械效率η=[11+G额G物]×100%知，η增大。

答案：90.9%；增大。

【变式3】某同学在探究滑轮组的机械效率与被提升物体重力的关系时，采用了如图5甲中所示的滑轮组，每个滑轮等重。不计绳重和摩擦，物体重G从200N开始逐渐增加，直到绳子被拉断。每次均匀速拉动绳子将物体提升同样的高度。图5乙记录了在此过程中滑轮组的机械效率随物体重力的增加而变化的图像。请根据图像回答：

（1）每个滑轮重 N；

（2）当G= N时，滑轮组的机械效率可达到75%。

解析：对于第一问，从图5乙可看出，η=50%时，G物=200N，采用普适化比例关系1机械效率η=[G物G物+G额]×100%，可得当η=50%时，G额=G物=200N，则G滑=[12]G额=100N。

对于第二问，依题知G额不变，为200N，G物不断增加，采用普适化比例关系2机械效率η=[11+G额G物]×100%，当η=75%时，解得G物=600N。

答案：100N；600N。

结 语

本文在滑轮组机械效率公式η=[W有W总]×100%的基础上，分析了滑轮组机械效率由来的原因，并延伸出滑轮组机械效率计算的两个普适化比例关系。需要计算滑轮组的机械效率时，可选用普适化比例关系1，而需要判断滑轮组机械效率的变化时，可选用普适化比例关系2。快速、简洁的运算，可在一定程度上提高我们的效率，在考试时赢得更多的做题时间。