构造函数在高中数学解题中的应用

严俊

摘 要：在高中数学中，构造函数是常见方法之一。文章结合教学实践，探讨如何通过构造函数思想解决数学问题。

关键词：函数；高中数学；解题应用

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1008-3561（2015）31-0063-01

高中数学中的转化思想，是将未知、陌生的问题转化成熟悉的问题。通过对已知条件及结论的分析，构造出函数、方程、不等式、向量、复数等辅助元素，进而联系条件和结论找到解题途径。这称为构造法。在高中数学中，构造函数是常见方法之一，有构造高次函数、构造指数函数、构造一次函数、构造二次函数、构造分式函数、构造三角函数函数及构造可求导函数等多种类型。

一、构造高次函数解题

例1：如果sin3θ-cos3θ>，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是（ ）.解答：不等式sin3θ-cos3θ>等价于sin3θ+>cos3θ+ 。设f（x）=x3+x5，显然f（x）=x3+x5是（-∞，+∞）上的增函数，于是有不等式f（sinθ）>f（cosθ），从而得sinθ>cosθ，再结合θ∈（0，2π），得<θ<.这里构造高次函数f（x）=x3+x5，再利用函数的单调性转化原不等式，得到所求变量的取值范围。

二、构造指数函数解题

例2：已知a、b、c为三角形的三边，且a2+b2=c2，n为正整数，且n>2，求证：cn>an+bn. 证明：由a2+b2=c2，知0x+

x，易证f（x）在（2，+∞）上是减函数。所以n>2时，f（n）

x+

x<

2+

2=1，故an+bn

x+

x（x>2）证明了不等式cn>an+bn。

三、构造一次函数解题

例3：设不等式2x-1>m（x2-1）对于一切满足|m|≤2的值均成立，求x的取值范围. 解答：原不等式可化为（x2-1）m-（2x-1）<0，构造函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（|m|≤2）.由一次函数的图像性质知f（-2）<0

f（2）<0，解得

四、构造二次函数解题

例4：已知c、b、c∈R，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则a的取值范围是（ ）. 解答：b+c=1-a，b2+c2=1-a2，构造函数f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2=（x-b）2+（x-c）2≥0恒成立，故有Δ=4（b+c）2-8（b2+c2）≤0，也即4（1-a）2-8（1-a2）≤0，解得-≤a≤1.本题将b+c和b2+c2看作整体，构造二次函数f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2，利用二次函数性质得到判别式的不等式，从而求得结果。

五、构造分式函数解题

例5：证明对任意的实数a和b，不等式≤+成立. 证明：构造f（x）=（x≥0），f′（x）=>0，所以f（x）在[0，+∞]上单调递增，而|a+b|≤|a|+|b|，故f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=+≤+，所以原不等式成立.这道题构造分式函数f（x）=（x≥0），将原本复杂的不等式证明变得简单。

六、构造三角函数解题

例6：求函数y=的值域. 解答：原函数可化为：y==··，设x=tana，则=cos2a，=sin2a，所以y=cos2a·sin2a=sin4a. 根据-1≤sin4a≤1，得y∈[-，]. 这里将原函数变形后容易联想到三角中的万能公式，进而把原函数转化为三角函数，容易求得值域。

七、构造可导函数解题

例7：若x∈（0，+∞），求证：0，所以t>1，x=，则原不等式等价于1-1），f（t）=1->0，所以f（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）>f（1）=0，即lnt1），g′（t）=-=>0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，故g（t）>g（1）=0，即lnt>1-，所以原不等式成立。本题通过换元将原不等式的对数真数部分化简，再构造两个可导函数，从而证明原不等式成立，这种构造思想在证明不等式中经常使用。

八、结束语

函数是高中数学的重点内容之一，利用构造函数思想解题较为普遍。这需要学生熟悉函数的形式及函数性质，才能选对函数模型，从而既解决问题，又事半功倍。

参考文献：

[1]高飞.构造函数证明不等式[J].高中数学教与学，2006（09）.

[2]傅仕玲.用构造法证明不等式[J].数学教学通讯，2009（21）.