过程教学：培养学生数学素养的有效策略

数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》在课程理念中对数学素养有专门的描述：数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认知活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。张奠宙先生认为，数学素养，应包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流这样四个部分。可见，数学素养是主体对数学的体验、感悟、反思和表现。因此，教学中，教师只有组织有效的数学活动，让学生真正经历知识的形成和运用过程，才能最终达到发展学生数学能力，形成数学素养的目的。本文结合个人的教学实践，谈谈如何在过程教学中培养学生的一些数学素养。

1.在概念形成过程中，培养学生抽象概括能力

数学概念形成的教学，一般会经历一个“现实原型的感知、概念的抽象、概念的识别与现实原型的再寻求、概念的情境运用”这样一个大致的过程。教学中，教师应注意让学生经历、体验概念的形成过程，在概念形成过程中，培养学生抽象概括能力。

【案例1】反比例函数教学片断（苏科版数学八下11.1）

师：刚才同学们用函数表达式表示实际问题中变量之间的关系.

①s=90t;②y=20x+100;③t=■;④s=3a2;

⑤a=■;⑥y=■;⑦m=-■;⑧y=-300x+80.

那么，你能将它们分类吗？

（学生先独立思考，再小组讨论）

师：有结果吗？哪位同学代表本组说一说，你打算分几类？你分类的标准是什么？

生1：第一类含分母③、⑤、⑥、⑦;第二类不含分母①、②、④、⑧;

师：还有其他分类方法吗？

生2：把上述第二类再分成两种，因此可以分为三类，第一类①、②、⑧它们都是一次函数;第二类④自变量指数为2;第三类③、⑤、⑥、⑦分母是字母。

师：函数④九年级研究，下面请同学们分组合作探究函数关系式③、⑤、⑥、⑦具有什么共同特征？

生3：③、⑤、⑥、⑦解析式的右边的代数式都是分式。

生4：它们分母中都含有字母，这4个函数都不是一次函数。

生5：这些关系式中的两个变量都是反比例关系;

生6：它们自变量的指数都是-1。

师：如何描述？你有这样的经验吗？

生7：类比一次函数的概念，它们都具有y=■的形式。

师：k是什么数？有限制条件吗？

生8：k是常数，且k≠0。

师：自变量x有没有范围呢？为什么？

生9：因为分母不能为零，所以，x≠0的实数。

师：因变量y呢？

生10：y≠0的实数。

师：还有其他发现吗？

生11：函数③、⑤、⑥、⑦变量与变量的积是定值。

师：你的发现了不起！如果让你给这类函数起个名字，你能吗？

生12：形如y=■（k是常数，且k≠0）的函数是反比例函数。

师：还能写成什么形式？

生13：xy=k（k≠0）与y=kx-1（k≠0）。

上述教学片断首先从函数概念出发，列举生活中不同类型的函数关系，然后引导学生分类，把上述函数关系分成已经学过的一次函数、即将学习的反比例函数和以后要学的二次函数，在此基础上引入反比例函数概念。这种以“知识背景-知识形成-揭示联系”为线索，来呈现学习活动材料，更能帮助学生了解反比例函数在函数中的位置，进一步理解函数的本质，明确与正比例函数的异同，有助于学生形成知识结构。老师的启发追问使学生思维逐步深入，使反比例函数的本质特征逐步得到揭示，教学难点得到突破。这一过程中教师有机地渗透了“特殊到一般”、转化、建模等数学思想，有效地培养了学生抽象概括及符号化的能力，这是对学生学习力积极地“外烁”，也是学生良好学习品质的“悄然”“内生”。

2.在定理发现的过程中，培养学生科学严谨的思维品质

定理的教学，一般会经历“情境引入、探究发现、验证证明、理解与巩固运用”的过程。让学生经历定理的探索过程、发现过程，就是让学生经历发现命题、提出猜想、推理论证进而获得定理的过程。

【案例2】苏科版九年级6.4探索两个三角形相似的条件（2）教学片断。

师：研究一个图形，一般从定义、判定、性质三个方面进行。今天我们开始研究三角形相似的条件。如何研究呢？能找到方向吗？想一想，这与以前学过的什么知识有关联？

生1：与全等三角形的判定有关联。

师：相似三角形与全等三角形的关系是什么？判断两个三角形全等的方法有哪些？

生2：全等三角形是特殊的相似三角形，判断两个三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL。

师：根据特殊与一般的关系，你认为判定两个三角形相似的条件是变多了，还是变少了？

生3：应该变少，由三个变为两个条件，因为一个条件显然不行。

师：怎么变呢？即判定全等三角形条件中的“角对应相等”“边对应相等”应作如何改变？由ASA可得到三角形相似的判定方法是什么呢？

生4：“角对应相等”不变，“边对应相等”变为“边对应成比例”，由ASA可得到三角形相似的判定方法是“两角相等的两个三角形相似”。

师：很好！但这仅仅是猜想，根据我们研究全等三角形判定的经验，接下来我们应该做什么？

生5：应该画图、观察、证明。

师：不错，现在同学们动手画图，如图2，已知∠α，∠β，作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β。（学生动手画图，工具不限）

师：观察，同桌两人所画的两个三角形相似吗？

生（齐说）：相似。

师：目前，我们证明三角形相似的方法只有预备定理，你能用学过的方法证明吗？即如图3，在△ABC与△ABC中，已知∠A=∠A，∠B=∠B。求证△ABC∽△ABC。

（学生先思考，然后四人小组讨论，再全班交流）

生6：如图4，因为∠A=∠A，平移△ABC，使点A与点A重合，AC落在AC上，AB落在AB上.又由∠ABC=∠B，可得BC∥BC，所以△ABC∽△ABC。

师：非常棒！还有不同方法吗？

生7：在△ABC边AC、AB分别截取AC=AC、AB=AB，可证△ABC全等于△ABC，并设∠ABC=∠B，所以∠ABC=∠B，所以BC∥BC，所以△ABC∽△ABC，所以△ABC∽△ABC。

师：很好！可能还有其他方法，但不管哪种方法，都离不开证△ABC全等于△ABC，以及BC∥BC。

师：这样，我们就得到这个猜想是正确的.谁能用文字语言叙述？几何语言呢？

生8：两角相等的两个三角形相似;几何语言是在△ABC与△ABC中，因为∠A=∠A，∠B=∠B，所以△ABC∽△ABC。

从以上教学片断不难看出，教师引导学生根据相似三角形与全等三角形的关系，类比全等三角形的判定方法ASA，得到猜想，再根据研究全等三角形判定的活动经验，通过画图、观察、猜想、证明、归纳得到相似三角形的判定定理1.在由猜想到证明的过程中，渗透了类比、特殊与一般、转化等数学思想，学生通过操作、观察、猜想、验证等活动，积累了基本的数学活动经验。在“猜想——论证”活动中，通过对数学的体验、感悟提升了数学素养。

3.在公式、法则推导过程中，培养学生从特殊到一般研究问题的意识

公式、法则的教学一般都要经历由特殊到一般的过程，让学生经历公式、法则的推导过程，就是通过创设合适的情境，让学生感受公式、法则学习的必要性，理解算理，理解公式、法则的合理性，能举例说明公式、法则的意义，并由此体会和感悟从特殊到一般等数学思想，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力，从而提高学生从特殊到一般认识问题的数学素养。

【案例3】有理数除法的教学实录片段（苏科版数学七上2.6）。

师：有理数除法怎么研究呢？之前我们有过这样的经验吗？

生1：之前我们研究过有理数的加、减、乘运算，方法是先研究几个特殊的例子，然后归纳运算法则。

师：很好！我们采取的是从特殊到一般的方法，用到了归纳的数学思想.有理数除法也采取这个方法.那应该举出几个特殊的例子呢？

生2：因为除数不能为零，所以只需要举除数与被除数取正数或负数的几个例子，比如（-14）÷7，14÷（-7），（-14）÷（-7）。

师：研究这几个算式与之前我们研究的哪种运算类似？

生3：因为加减互为逆运算，乘除互为逆运算，所以它与减法研究过程比较类似。

师：你记得如何研究14-（-7）的吗？

生3：因为-7+21=14，所以14-（-7）=21，又因为14+7=21，所以14-（-7）=14+7。

师：非常棒！这里用到转化的数学思想，把减法转化为加法.谁能类比研究（-14）÷7呢？

生4：因为7×（-2）=-14，所以（-14）÷7=-2，又因为（-14）×■=-2，所以（-14）÷7=（-14）×■。

师：很好！另外两个呢？

生5：……

师：谁能类比减法法则，得到有理数除法法则呢？

在探索有理数除法法则的过程中，不断渗透归纳、转化、分类、类比等数学思想，并站在已经学过的有理数运算基础上来研究除法，反复套用之前的特殊化、类比等研究方法。在这样的探究过程中，学生才会“身临其境”，建构起迁移能力强的知识和方法体系。

在数与式的学习中，这种类比、从特殊到一般、转化等套路会经常采用。其实在不同的知识板块中都有独自或共有的基本套路，如平面几何中四边形部分，教材编排是从一般到特殊逐步深入，每一个特殊四边形都是围绕定义、性质、判定三个方面来研究，性质与判定是通过操作、观察、猜想、证明、归纳等过程得到相关定理。教学时，利用特殊化，就能简明得到图形的定义，然后从边、角、对角线来探索图形的性质，再根据判定与性质的互逆关系，引出猜想，然后证明，得到判定定理。如果每一个特殊的四边形都按照这个套路去做，学生就会知道下一步要干什么，学生的学习就会越来越轻松。

4.在解题教学过程中，培养学生善于联想、转化、反思的良好习惯

解题教学是运用数学概念、原理，寻找问题的条件、结论，将问题转化为自己熟悉的表达方式，并连接相关知识领域通道的过程，也是一个解决问题的过程。在解题思路的获得过程中，我们需要通过学生的思维和操作活动，展现问题转化的过程，理清相关知识领域连接的通道。

【案例4】如图5，试探究∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的关系。

师：请同学们探究图5中∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的关系.

生1：如图6，连接BC，用三角形内角和定理，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;

师：很好！还有其他证法吗？

生2：如图7，连接AD并延长到F，利用三角形外角性质，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;

师：对！这种证法比较简单，还有没有其他办法呢？

生3：如图8，我是延长BD交AC于E。利用三角形外角性质，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。

生4：我是延长CD交AB于E。利用三角形外角性质，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。

师：都可以。

以上是我校一位青年教师的教学片断，该片断中学生确实亲眼见到了3种证明的方法，但是，教师自始至终都只关注问题解决的结果，不追问问题解决的过程，学生也没有从该题的解题中获得应有的思维能力。作为教师，我们要从学生的经验剖析到问题的本质，应引导学生思考解题方法是怎么得到的，没有问题解决思路获得的过程，没有知识点连接的通道，学生只能被动接受，不仅不利于学生数学思维的发展，也不利于基础知识的掌握，更不要说良好认知结构的形成了。因此，在本题教学过程中，当学生说出解题方法后，教师应追问学生;“你是怎么想到这样做的？”“为什么要这样添加辅助线？”应让学生体会到辅助线的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，无论哪种添加辅助线的方法，都是构造新的基本图形。教师还应引导学生比较哪种方法更简洁、进一步优化学生思维结构。学生只有经历了以上的探索过程，才能知道解题思路的由来，才能提高分析及解决问题的能力，也有利于积累添加辅助线的经验，这才算真正经历了解决问题的过程。

讲题最高境界=授之方法+培之以能+强之以心。解题后需要教师有意引导学生思考问题解决的过程，自觉地总结解题过程中的活动经验;提醒学生进行问题的拓展延伸，思考问题之间的联系，从结构的高度思考问题;提醒学生思考其中蕴含的思想方法，迁移运用于其他情境等。

（赵庭标，南京东山外国语学校，211100）

责任编辑：颜莹