函数式积拓扑：和拓扑、积拓扑和点式收敛拓扑的共同推广

沈冲 姚卫

摘要：首先，借助和拓扑，对于离散拓扑空间X，证明了任意一族以X为指标集的拓扑空间族的积空间和相对于X的点式收敛空间相同。其次，对于某拓扑空间族的笛卡尔积和其上的任意一个拓扑，给出了该积空间到其任意坐标空间的投射连续的充要条件。最后，给出了函数式积空间的定义，并且指出这类空间可以作为积空间、和空间和函数空间（点式收敛拓扑）的共同推广。

关键词：点集拓扑学；积拓扑；和拓扑；点式收敛拓扑；函数式积空间

中图分类号：O189MSC（2010）主题分类：22A22文献标志码：A

Functional product topology： A common framework of the topological

sum， the product topology and the functional topology

of pointwise convergence

SHEN Chong， YAO Wei

（School of Science， Hebei University of Science and Tecnology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：Based on the topological sum， for X being a discrete topological space， we prove that the product topology generated by some topological spaces is equal to the topology of pointwise convergence related to X. For every topology on a Cartesian product， we find an equivalent condition under which every projection from the product to each component is continuous. We propose the definition of functional product spaces， which can be considered as a common framework of the product spaces， the topological sums and the functional spaces （the topology of pointwise convergence）.

Keywords：point-set topology； product topology； topological sum； topology of pointwise convergence； functional product space

收稿日期：2014-12-28；修回日期：2015-03-26；責任编辑：张军

基金项目：国家自然科学基金（11201112）； 河北省自然科学基金（A2013208175，A2014403008）；河北省教育厅优秀青年基金（Y2012020）；河北省高校百名优秀创新人才支持计划（BRII210）；河北省青年拔尖人才支持计划

作者简介：沈冲（1989—），男，河北保定人，硕士研究生， 主要从事格上拓扑学和Domain理论方面的研究。

通讯作者：姚卫教授。E-mail： yaowei0516@163.com

沈冲，姚卫.函数式积拓扑：和拓扑、积拓扑和点式收敛拓扑的共同推广 [J].河北科技大学学报，2015，36（4）：390-393.

SHEN Chong， YAO Wei.Functional product topology： A common framework of the topological sum， the product topology and the functional topology of pointwise convergence[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：390-393.在一般拓扑学中，从一致的拓扑空间出发，构造新的拓扑空间的方法很多，如从一族拓扑空间出发，可以定义积空间与和空间[1-2]，在范畴论中分别对应积对象和余积对象；由一个集合和一个拓扑空间出发可以定义子空间和商空间[1-2]，对应范畴论中的子对象和商对象[3-4]；由2个拓扑空间出发可以定义点式收敛拓扑、一致收敛拓扑和紧-开拓扑等相应的（连续）函数空间[5-7]。设X是一个集合，Y是一个拓扑空间，以YX为从X到Y的函数的全体，如果在X上赋予离散拓扑，则YX就是全体从X到Y的连续函数构成的集合，相应的函数空间也就是连续函数空间。正如文献[1]所指出的，YX上的点式收敛拓扑对应的函数空间恰是{Yx|x∈X}的积空间。

本文拟研究积空间、和空间和函数空间（一致收敛拓扑）的内在联系，将证明：

1）对于离散拓扑空间X，拓扑空间族{Yx|x∈X}的积拓扑和从X到{Yx|x∈X}的和空间的选择函数构成的集合上的点式收敛拓扑相同；

2）对于离散拓扑空间X和笛卡尔积∏x∈XYx上的任意一个拓扑，赋值函数ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx连续，当且仅当对于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx×X→Yα连续。

河北科技大学学报2015年第4期沈冲，等：函数式积拓扑：和拓扑、积拓扑和点式收敛拓扑的共同推广 最后，提出了函数式积空间的定义，这类空间可以作为积空间、和空间和函数空间（一致收敛拓扑）的共同推广。

1预备知识

设{Ai|i∈I}是一族集合，用∪+i∈IAi表示其不交并，即∪+Ai=∪i∈I{（x，i）|x∈Ai}，其中第2坐标i只是对相应的x∈Ai进行了标记，并没有实际意义，因此在下文中为了叙述的简便，将第2坐标忽略，当然理解的时候需要区分不同Ai可能相同的点。

定义1集族{Yx|x∈X}的笛卡尔积∏x∈XYx定义为集合：

∏x∈XYx={f：X→∪+x∈XYx|f（x）∈Yx对于每一个x∈X成立}，

事实上，∏x∈XYx恰是选择函数的全体。

定义2[5]对于每一个α∈X，将笛卡尔积∏x∈XYx中的每一个元素f对应为它的第α个坐标的函数，即函数Pα：∏x∈XYx→Yα使得对于任何f∈∏x∈XYx有Pα（f）=f（α），称为笛卡尔积∏x∈XYx的第α个投射。

定义3设{Yx|x∈X}是一族拓扑空间，Tp是笛卡尔积∏x∈XYx的以φ={p-1x（Ux）|x∈X，Ux是Yx的一个开集}为子基生成的拓扑，则称拓扑Tp为{Yx|x∈X}的积拓扑，相应的拓扑空间称为{Yx|x∈X}的积空间，对于每一個x∈X，拓扑空间Yx称为积空间∏x∈XYx的第x个坐标空间。

积拓扑是使得所有投射都连续的最小拓扑，是拓扑空间范畴中的积对象[2]。

定义4[5]设{（Yx，Tx）|x∈X}是一个拓扑空间族，定义集族：

Ts={U∪+x∈XYx|x∈X，U∩Yx∈Tx}，

则Ts是∪+x∈XYx上的一个拓扑，称为{Yx|x∈X}上的和拓扑。

和拓扑是使得各Yx到∪+x∈XYx的含入映射连续的最大拓扑，是拓扑空间范畴中的余积对象[2]。

注1）如果存在一个α∈X使得U∈Tα，则对于x∈X，

U∩Yx=，x≠α，

U，x=α，

且U∈Ts。即∪{Tx|x∈X}Ts。

2）设X是离散拓扑空间，则笛卡尔积∏x∈XYx恰好是从拓扑空间X到和空间∪+x∈XYx的连续的选择函数的全体。

定义5[2]设YX是从拓扑空间X到拓扑空间Y的所有连续函数构成的集合，定义以φc={e-1x（U）|x∈X，U是Y的一个开集}为子基的拓扑为Tc，其中对于每个α∈X，eα（f）=f（α）是由积空间∏x∈XYx到不交并∪+x∈XYx的赋值函数。将YX的拓扑Tc称为函数空间YX的点式收敛拓扑，将拓扑空间（YX，Tc）称为从集合X到拓扑空间Y的函数空间（点式收敛拓扑）。

2积拓扑和点式收敛拓扑的关系

定理1设X是离散拓扑空间，{Yx|x∈X}的积拓扑和从X到∪+x∈XYx的选择函数构成的集合上的点式收敛拓扑相同。

证明由定义1可知，{Yx|x∈Y}的积空间Tp的基础集恰是从X到∪+x∈XYx的选择函数构成的全体。设X到∪+x∈XYx的点式收敛为Tc，则Tc=Tp当且仅当φp=φc，其中φp，φc分别是Tc和Tp的子基。

如果V∈φp，即存在α∈X和U∈Tα使得V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（α）∈U}成立，则U∈Ts，故V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（a）∈U}=e-1α（U）∈φc。

反过来，如果V∈φc，则存在β∈X和U∈Ts使得V=e-1β（U）={f∈∏x∈XYx|f（β）∈U}。令Vx=U∩Yx，可得U=∪+x∈XVx，故V=e-1β（∪+x∈XVx）=（∪+x∈Xe-1β（Vx））。由于对于任意的x∈X和f∈∏x∈XYx满足f（x）∈Yx，所以当x≠β时，V=e-1β（Vx）=，故V=∪+x∈Xe-1β（Vx）=e-1β（Vβ）。又Vβ∈Yβ，所以V=e-1β（Vβ）=p-1β（Vβ）∈φp。

由定义3可知下边的定理是显然的。

引理1设X是离散拓扑空间，（Y，TY）是一个拓扑空间，则X×Y的积拓扑T{U×V|UX，V∈TY}。

定理2设X是离散拓扑空间，T是笛卡尔积∏x∈XYx上的任意一个拓扑，则下列条件等价：

1）赋值函数ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx连续；

2）对于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx→Yα连续。

证明1）蕴含2）：对于α∈X，设U∈Tα，则U∈Ts，ev-1（U）={（f，t）|f∈∏x∈XYx，t∈X，f（t）∈U}，由f的性质可知，当t≠α时，f（t）U，故ev-1（U）={（f，α）|f∈∏x∈XYx，f（α）∈U}=p-1a（U）×{α}是拓扑空间∏x∈XYx×X中的开集，所以pα连续。

2）蕴含1）：设U∈Ts，令Vx=U∩Yx∈T，ev-1（U）=ev-1（∪+x∈XVx）=∪+x∈Xev-1（Vx）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}。对于任意的α∈X，由于pα连续，所以p-1α（Vα）是积空间∏x∈XYx中的开集。由于X是离散拓扑空间，故ev-1（U）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}是∏x∈XYx×X中的开集，所以ev连续。

最后提出函数式积空间的概念，它是和拓扑、积拓扑和点式收敛拓扑的共同推广。

定义6设X是一个拓扑空间，{Yi|i∈I}是一族拓扑空间，称从X到∪+i∈IYi的函数空间（点式收敛拓扑）为{Yi|i∈I}的（相对于X的）函数式积空间。

例11） 如果X是单点集，则相对于X的函数式积空间即为和空间；

2）如果I是单点集，则函数式积空间即为通常的函数空间（点式收敛拓扑）；

3）如果X=I并赋予离散拓扑，则由定理1可知，通常的积空间可看作函数式积空间的一个子空间。

这说明通常的和拓扑、积拓扑和点式收敛拓扑，可以看作本文定义的函数式积空间的特殊情况。

3结语

借助于和空间，本文证明了积拓扑和点式拓扑可以相互表示，并且对于积空间上的任意拓扑，赋值函数连续等价于每一个投射都连续。由此提出了函数式积空间的概念，它可以作为和空间、积空间和点式收敛空间的共同推广。

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