二阶滑模控制方法及其对环形倒立摆的控制应用

孙灵芳，邢 宇，李 斌

SUN Ling-fang, XING Yu, LI Bin

（东北电力大学 自动化工程学院，吉林 132012）

0 引言

滑模控制方法是在二十世纪60年代由前苏联学者Utkin和Emelyanov提出的一种控制方法，实质上是一种非线性的控制，表现为控制的不连续性.该控制特性可以迫使系统在在一定特性下沿规定轨迹作小幅度、高频率的上下运动[1]。这种控制的不连续性表现为不连续的控制量出现在滑模变量s的一阶导数中，所以称传统滑模为一阶滑模。滑模变量的一阶导数的不连续性导致滑模控制存在“抖振”现象，这在实际工作中具有很大的危害.近几十年来，科研工作者们一直在寻找抑制“抖振”现象的方法，如“边界层”法、滤波方法、高为炳提出的“趋近律”法等。在此期间，由Levant提出的高阶滑模控制方法得到了广泛的关注.高阶滑模不但可以保持传统滑模具有的优点，而且可以有效地抑制了传统滑模控制产生的“抖振”，从而提高了控制的精度[2]。

1 高阶滑模的定义

首先介绍滑动阶（Sliding Order）的定义[3]：

定义1 滑动阶r是指滑模变量s的连续全导数（包括零阶） 在滑模面s=0上为0的数目.

高阶滑模的定义是由Levant和Firdman在1966年给出的，如下：

定义3 对于一个光滑的动态系统，滑模面s为光滑函数，r阶滑动集是非空的，并且由不连续动态系统的Filippov轨迹组成，则满足相关运动称为关于滑模面 0),( =xts 的“r阶滑模”。

2 二阶滑模控制

根据高阶滑模的定义可以知道，当且仅当系统轨迹位于状态空间s=0和交界处时，系统具有二阶滑模动态。

最早使用的高阶滑模控制就是二阶滑模控制，近几年，二阶滑模仍然运用非常广泛，者正是由于二阶滑模控制的控制器结构简单，并且所需要的信息量不多。常见的二阶滑模控制算法有三种，分别是螺旋（Twisting）算法、超螺旋（Super-Twisting）算法和给定收敛律（Prescribed Convergen Law）算法[4,5]，下面主要介绍超螺旋算法。

2.1 问题描述

考虑如下非线性系统：

其中 ∈x Rn为系统状态量， ∈u R为控制输入，f(t,x)和g(t,x)为不确定光滑函数，s=s(t,x)为滑模面。二阶滑模控制的目标是使系统状态在有限的时间内到达滑模面s=s(t,x)并且具有二阶滑动模态。

2.2 超螺旋（Super-Twisting）算法

超螺旋算法与其他二阶滑模算法相比存在着特殊之处，它仅仅需要滑模变量s的信息，而且当控制系统的相对阶为1时，利用超螺旋算法可以避免抖振。它的相轨迹是在 sso˙相平面上绕原点螺旋扭转，在有限的时间内收敛到原点。

超螺旋算法的控制器由两个部分组成，其中第一部分为其对时间不连续的导数项，第二部分为滑模变量s的连续函数，控制器的具体形式如下：

为了保证算法在有限时间收敛，则应满足以下条件：

3 单级环形倒立摆的建模

倒立摆往往用来验证一种理论的正确性和在实际应用中的可行性，是一个非线性、不稳定的被控对象。目前有许多对小车驱动直线倒立摆的控制研究，但是这种直线倒立摆有很多传动装置，存在误差导致实验失败。与此相比，环形倒立摆没有小车的拖动和连杆的行径限制，所以对于控制情况来说有很大的改善。

图1 环形倒立摆模型示意图

单级环形倒立摆模型由一个连杆、一个摆杆和一个质量块组成[6,7]，如图1所示。其中θ1为连杆与水平Y轴的夹角，θ2为摆杆与垂直方向上的夹角，顺时针为正。在距离摆杆转动中心l处取一小段dl，这一小段的坐标为：

则这一小段的动能为：

系统的总动能为：

其中Tm1代表连杆动能，为：

Tm2代表摆杆动能，为：

Tm3代表质量块动能，为：

以摆杆静止下垂时的质心为0势能位置，则系统的势能为：

可以解得：

表1 参数物理意义及数值

将式在平衡位置进行泰勒级数展开并线性化[7]，令会得到状态空间方程如下：其中：

4 环形倒立摆的起摆及稳定控制仿真结果

在使用滑模变结构控制控制被控对象时，需要做两部分工作：第一部分是控制器的设计；第二部分为滑模面的设计。本文使用超螺旋算法的控制器，下一步就是对控制器中的滑模函数s进行设计以达到控制需求。

1）设计滑模函数为：

其 中c 必 须 满 足Hurwitz 条 件，即c ＞0，为理想的角度信号。

经过不断的试验，取参数w=2，s0=100，λ=500，ρ=0.5，c=0.05，Simulink仿真模块如图2所示。

图2 Simulink仿真模块图

图3 摆杆、连杆角度仿真曲线

图4 摆杆、连杆角速度仿真曲线

图5 控制仿真曲线

由仿真结果可以看出，利用超螺旋算法的控制器可以使摆杆角度竖直稳定，起摆时间2s左右，并且2s后稳定，在第12s加入干扰脉冲，在小于1s内恢复平衡，鲁棒性较好。但是结果同样可以看出不能保证连杆角度稳定，由连杆的角度与连杆的角速度曲线可以明显看出被控量发散，不能保证稳定且控制量抖振较大。

2）采用Ackermann公式设计滑模函数[8,9]：

Ackermann公式描述为：

矩阵A和向量b由系统的状态空间方程得到，此时向量b即是系统状态空间方程中的矩阵为系统的特征多项式，是系统期待的特征值，从而可以算出C的值。

取参数 1=ω ，s0=500，λ=5，仿真结果曲线如下：

图6 摆杆角度曲线图

图7 连杆角度曲线图

图8 摆杆角速度曲线图

图9 连杆角速度曲线图

图10 控制量曲线图

由仿真曲线可以看出，利用Ackermann方法配置滑模面，可以保证四个被控量全部达到稳定状态。在第5s时加入幅值为0.1，周期为10的脉冲信号作为干扰信号，由仿真结果可以看出：系统在2.5s左右可以快速稳定，相比较第一种滑模面，第二种稳定的时间大于第一种，但是超调量小于第一种使用滑模面的控制，并且抖振明显减小。

5 结束语

本文利用了Lagrange方程完成了环形倒立摆的系统建模，使用了二阶滑模超螺旋算法对环形倒立摆进行了简单的控制。根据仿真结果，二阶滑模控制克服了边界层法牺牲系统鲁棒性的缺点，保留了传统一阶滑模的主要优点和提高了控制精度，而且可以有效地削弱抖振.但是用二阶滑模控制器时，主要的困难是如何让调整不同算法的参数，尽管这样，二阶滑模控制仍然可以解决一大类控制问题。

[1] 刘金琨,孙富春.滑模变结构控制理论及其算法研究与进展[J].控制理论与应用,2007,24(3):407-418.

[2] Arie Levant.Higher order sliding modes,differentiation and outputfeedback control[J].Internation-al Journal of Control,2003,76(9--10):924-941.

[3] Arie Levant.Higher order sliding modes as an natural phenomenon in control theory[J].Robust control via variable structure an Lyapunov techniques,1996,217:107-133.

[4] Arie Levant.Homogeneity approach to high-order sliding mode design[J].Automatica,2005,41(5):823-830.

[5] Arie Levant.Principles of 2-sliding mode design[J].Automatica,2007,43(4):576-586.

[6] 王东亮,刘斌,张曾科.环形一级倒立摆起摆及稳定控制研究[J].微计算机信息,2007,23(2-1),1-2.

[7] 张姝,朱善安.环形单级倒立摆起摆控制研究[J].江南大学学报(自然科学版),2004,3(5):482-485.

[8] 孟祥萍,薛昌飞,张化光.基于Ackermann公式的分散滑模负荷频率控制[J].东北大学学报(自然科学版),2000,21(2):128-131.

[9] 彭亚为,杜彬,陈娟.基于Ackermann公式的滑模控制设计方法[J].北京化工大学学报(自然科学版),2011,38(4):128-133.