基于分形维数的钱塘江流域地貌发育研究

2015-04-20李凤全蔡延武张文君张萌萌

绿色科技 2015年11期

赵越，吴涛，李凤全，蔡延武，张文君，张萌萌

（浙江师范大学地理与环境科学学院，浙江金华321004）

1 引言

分形理论被誉为大自然的几何学，该理论认为事物在某些方面表现出与整体的相似性［1］。分形理论自提出以来，不断地被应用于各个领域。在《大自然分形几何学》一书中，就着重介绍了分形对河流、地形、海岸线、湍流等地理现象的模拟［2］。水系、水网等流水地貌具有明显的分形特征，对流水地貌的研究分为水系、紊流的分形特征研究以及水系分形性质与地域自然现象的关系研究。在流域地貌特征研究中，分形维数可以看做流域地貌的一个特定参数，能够反应流域地貌的状态或者变化情况的特征。江滔等［3］对重庆长江流域进行了水系分维研究，确定了流域的水系分维值，认为该流域处于侵蚀发育的幼年期。马宗伟等［4］利用盒子维数的方法，分析了赣江中上游流域的Hurst指数数据，得出水系分维越高，水系越复杂，洪涝干旱灾害发生的可能性就越低的评估结果。本文基于钱塘江流域的数字高程模型，利用ArcGIS9.3的水文分析模块，提取不同集水面积下的钱塘江流域地貌河网信息，通过网格法计算得出钱塘江流域的水系分维，并确定了该流域的地貌侵蚀发育阶段。

2 研究区域

钱塘江流域位于浙江省西北部，纬度位置为28°5′0″N～30°24′0″N，经度位置为117°24′0″～121°12′0″。上游称为新安江，中游称为富春江，下游称为钱塘江，橄浦以上流域面积49876 km2，主流长583 km［5］，其中浙江境内流域面积35500 km2。气候属典型的亚热带季风湿润气候，四季分明、气温适中、雨量充沛、光照丰富，多年平均气温16.1～17.7℃。多年平均降雨量1200～2200 mm，降水总的分布趋势是自西向东北递减［6］（图1）。

3 数据来源及计算方法

3.1 数据来源

主要利用钱塘江全流域的DEM数据，数据空间分辨率30m，数据来源于中国空间数据云，如图2所示。

3.2 流域分形维数的计算方法

目前应用较多的水系分维计算方法主要有：基于Horton定理的水系分维计算和基于分形理论的水系分维计算，后者即网格法。本文采用的是基于网格法的水系分维计算，基本的思想是使用长宽一致的正方形网格去覆盖河网，可发现覆盖的正方形网格数量N（ε）和尺度ε的分形负D次幂之间存在正比例关系，有如下公式［7］：

在两边都以a（a＞0）为底进行对数计算，可得：

在一组对应的尺度（ε1、ε2、ε3……εK），得到一系列对应的网格数（N（ε1）、N（ε2）、N（ε3）……N（εk），以两数剧a为底的坐标（Logaε，LogaN（ε））建立坐标，再以最小二乘法拟合一条直线，M为所得直线的截距，D为所得直线的斜率，可得：

所得的D值即是流域分形维数。

4 钱塘江流域水系分维计算

4.1 提取流域信息

对钱塘江流域DEM数据进行流域信息的提取，操作过程主要分为洼地填平、水流方向确定、汇流分析以及水系生成四个步骤。洼地会造成地表水流不顺畅，其结果是不能形成完整的流域网格。因此，第一步是对DEM数据进行洼地填平处理［8］。第二步是确定水流方向，目的是模拟地表径流的流动情况，以建立相应的模型。第三步是通过汇流分析确定水系的流路［3］。完成以上操作后，即可生成完整的钱塘江流域水系网。水系生成需要确定生成水系的阈值，利用ArcGIS9.3中的SingleOutputMapAlgbra即单因素栅格计算，输入con函数，这个函数的作用就是提取汇流结果途中大于阈值情况的单元格，将不符合要求的单元格忽略。阈值的大小对于不同的流域水系不同，需要结合流域情况进行选择。图3即是集水面积阈值为8000时提取的流域水系图。

4.2 计算水系分维

4.2.1 数据统计

对提取出来的流域水系图，先用网格边长分别为400 m、500 m、700 m、1000 m、2000 m、4000 m、5000 m、7000 m、10000 m进行分割，利用叠加分析法，可获得不同集水面积阈值下，不同网格边长对应的网格数。详见表1。

表1 不同流量阈值的网格数据表

4.2.2 水系分维的计算和确定

当网格边长ε分别取不同的值时，可得到一系列相应的网格数N（ε），由公式（3）可知水系的分形维数即为该公式的斜率D。当集水面积阈值为3000时，将网格边长ε和网格数N（ε）均以e为底取对数的所得结果做为一组坐标，再用最小二乘法进行拟合，可得：

其中1.49即为集水面积阈值取3000时对应的水系分维。同理可计算出集水面积阈值取4000，5000，6000，7000，8000时，相应的水系分维分别为 1.45、1.41、1.38、1.36、1.34。

4.3 数据相关性分析

为了验证集水面积阈值与水系分维数的关系，需要对本次计算的结果进行相关性分析。如图4所示，当集水面积阈值从3000变化到8000时，水系分维表现为逐渐线性下降。通过最小二乘法对数据进行拟合后，R2＝0.974＞0.95，说明线性相关性良好，即集水面积和水系分维之间存在良好的线性相关性，因此可以利用水系分维数对钱塘江流域的侵蚀发育情况进行研究。

4.4 研究结果验证

简单地根据计算所得的水系分维对钱塘江流域的侵蚀发育阶进行判断势必存在一定的误差，因此有必要对结果进行检验。这里利用积分曲线法，对计算结果进行检验。该方法的理论依据是，对于某一流域地形，其物质分配的高程积分曲线，可以表示该流域地形的发育阶段［9］。图5即为流域地形不同发育阶段的面积－高程积分曲线，不同特征的积分曲线代表不同的发育阶段。积分曲线的计算公式如下：

式中：V表示流域地形体积，H表示流域地势高差，A表示流域总面积，a表示水平断面面积，h表示等高线的相对高度。图5中，纵坐标y＝h／H，即等高线的相对高度（h）与流域地势高差（H）之比；横坐标x＝a／A，即等高线所切的水平断面面积（a）与流域总面积（A）之比［10］。

根据上述公式对钱塘江流域的DEM数据进行提取及积分计算，可得到如图6所示的钱塘江流域面积－高程曲线。

结合图5所反映的不同地形发育阶段的高程积分曲线特征，可以判断钱塘江流域处于流域侵蚀发育阶段的老年期。

5 分析与讨论

水系分维反映了流域的地貌侵蚀发育程度。当水系从幼年期、壮年期发育至老年期的过程中，河网密度由小变大，河流侵蚀能力逐渐减弱，河口处的泥沙供应量也逐渐减少，水系分维值逐渐增大。何隆华等［7］根据水系分维值对流域地貌的侵蚀发育阶段进行了划分，水系分维值D≤1.6的流域地貌处于侵蚀发育的幼年期，1.6＜D≤1.89的流域处于侵蚀发育的壮年期，1.89＜D≤2的流域则处于老年期。而本次研究计算所得的水系分维值D为1.34－1.49，均为“D≤1.6”的情况。若按照何隆华等人的研究成果，钱塘江流域应处于地貌侵蚀发育的幼年期。然而，上文已利用流域地形不同发育阶段的面积－高程积分曲线对计算结果进行了验证，结果表明钱塘江流域侵蚀发育阶段的面积－高程积分曲线与图5中老年期曲线的相似度较高，即钱塘江流域应处于侵蚀发育的老年期。本次研究与何隆华等人所做研究的区别，即导致最终结果不一致的原因，一方面是由于何隆华等人研究的数据主要是实际地图扫描所得，而本文研究的则是钱塘江流域的DEM数据，DEM数据中的水系密度与现实情况相比，存在一定误差；另一方面，何隆华等人研究选取的是全国范围，而这里仅仅是对钱塘江流域进行分形研究。这些研究方面的不同，在一定程度上也会造成最终水系分维值偏小。此外，何隆华先生在文中［7］也提出了侵蚀阶段分维值的阈值判断“结果仍然值得商榷，要确定更加合理的临界值还需要作进一步的探索”。

因此，根据水系分维划定流域地貌的侵蚀发育阶段并不适合本次研究，虽然钱塘江流域的水系分维值只有1.34～1.49，但结合该流域的面积－高程积分曲线的特征，可判断该流域处于侵蚀发育的老年期。