直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系是高考中的热点，往往与一元二次方程以及弦长、面积等知识相结合.此类问题难度较大，对学生的能力要求较高.

（1）直线和圆锥曲线的位置关系.

（2）直线和圆锥曲线的交点问题.

（3）弦长问题.

常用方法：（1）联立方程求交点，运用根与系数的关系求弦长，利用根的分布找范围，曲线定义不能忘.（2）“点差法”的常见题型：求中点弦的方程，求弦（过定点、平行弦）中点的轨迹，垂直平分线问题.需要提醒的是，“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立.

例1 已知点A（1，0），椭圆C： + =1，过点A作直线交椭圆C于P，Q两点，若 =2 ，则直线PQ的斜率为（ ）

A. B.

C. ± D. ±

破解思路 （1）解答直线与椭圆的题目时，通常把它们的方程联立，消去x（或y）后建立一个关于y（或x）的一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）当涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略了直线斜率为0或不存在等特殊情形.

答案详解 设点P，Q的坐标分别为P（x ，y ），Q（x ，y ），则 =（x1-1，y1）， =（1-x2，-y2）.

因为 =2 ，所以x1-1=2（1-x2），整理得x1+2x2=3 ①.

设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=k（x-1），代入椭圆方程得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0. 于是可得x1+x2= ②，x1x2= ③. 从而联立①②③，解得k=± . 故选D.

例2 已知椭圆 + =1（a>b>0）的一个顶点为B（0，4），离心率e= ，直线l交椭圆于M，N两点.？摇

（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长.

（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.

破解思路 直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.

答案详解 （1）由已知得b=4，且 = ，即 = ，所以 = ，解得a2=20，所以椭圆的方程为 + =1. 将4x2+5y2=80与y=x-4联立，消去y得9x2-40x=0，所以x1=0，x2= ，所以所求弦长MN= ·x2-x1= .

（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知 =2 .又B（0，4），所以（2，-4）=2（x0-2，y0），得x0=3，y0=-2，即得点Q的坐标为（3，-2）. 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=-4，且 + =1， + =1，将以上两式相减可得 + =0，所以kMN= = - · =- × = ，故直线MN的方程为y+2= （x-3），即6x-5y-28=0.

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，2），P是动点，且△POM的三边所在直线的斜率满足kOM+kOP=kPM.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）点N在直线y=4x-1上，过N作（1）中轨迹C的两切线，切点分别为A，B，若△ABN是直角三角形，求点N的坐标.

破解思路 （1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的相切问题，若抛物线的开口方向向上或者向下时，往往可以借助导数来求相应切线的斜率.

答案详解 （1）设P（x，y），则由kOM+kOP=kPM得1+ = ，即x2=2y，所以点P的轨迹C的方程是x2=2y（x≠0，且x≠2）.

（2）因为y= x2，所以y′=x. 设Ax1， x21，Bx2， x22，N（a，b），则kAN=x1，kBN=x2. 由于AN是曲线的切线，所以 =x1，即x21-2ax1+2b=0，同理x22-2ax2+2b=0. 两式相减可得（x1+x2）（x1-x2）-2a（x1-x2）=0，又x1≠x2，故x1+x2=2a.

①若AN⊥BN，则kAN·kBN=-1，所以x1x2=-1，由x21-2ax1+2b=0，x22-2ax2+2b=0，x1x2=-1，得2b= -1，b=- ，此时N ，- .

②若AN⊥AB，则kAN·kAB=-1，即 ·x1=-1，化简得（x1+x2）x1+2=0，即2ax1+2=0，x1=- . 又x21-2ax1+2b=0，即 +2+2b=0. 由 +2+2b=0，b=4a-1可得a=- ，b=-3，所以N- ，-3.

③若BN⊥AB，同理得N- ，-3.

综上所述，所求的点N共有两个： ，- 和- ，-3.

如图5，圆O与离心率为 的椭圆T： + =1（a>b>0）相切于点M（0，1）.

（1）求椭圆T与圆O的方程；

（2）过点M引两条互相垂直的直线l1，l2与两曲线分别交于点A，C与点B，D（均不重合）.

（i）若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，求d +d 的最大值；

（ii）若3 · =4 · ，求l1与l2的方程.