直线与圆、圆与圆的位置关系

2015-04-16

数学教学通讯·初中版 2015年4期

关键词：动点圆心切线

直线与圆的位置关系是高考重点考查的内容，涉及直线与圆的位置关系的判断，弦长问题及切线问题，此部分知识的考查往往有一定难度.

（1）直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

（2）计算弦长、面积，与圆有关的最值；根据条件求圆的方程.

（1）会用代数法或几何法判定直线与圆的位置关系.

（2）掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想.

例1 已知点P（x0，y0），圆O：x2+y2=r2（r>0），直线l：x0x+y0y=r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切. 其中正确的结论是________.

破解思路判定直线与圆位置关系的两种方法：①代数法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：Δ>0？圳相交；Δ<0？圳相离；Δ=0？圳相切. ②几何法（比较圆心到直线的距离与圆半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr？圳相离；d=r？圳相切（主要掌握几何法）.

答案详解根据点到直线的距离公式有d= ，若点P在圆O上，则x20+y20=r2，d=r，相切；若点P在圆O外，则x20+y20>r2，dr，相离，故只有结论①正确.

例2 已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）

A. 5 -4 B. -1

C. 6-2 D.

破解思路四种与圆有关的最值问题的求法如下：①圆O外一点A到圆上一点的距离的最小值为AO-r，最大值为AO+r；②求ax+by（其中（x，y）为圆上的点）的取值范围转化为直线与圆的位置关系；③求（其中（x，y）为圆上的点）的最值可转化为求直线的斜率；④形如（x-a）2+（y-b）2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.

答案详解两圆的圆心均在第一象限，先求PC1+PC2的最小值.作点C1关于x轴的对称点C′1（2，-3），则（PC1+PC2）min=C′1C2=5 ，所以（PM+PN）min=5 -（1+3）=5 -4. 故选A.

例3 已知点E（-2，0），F（2，0），曲线C上的动点M满足 · =-3，定点A（2，1），由曲线C外一点P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA.

（1）求线段PA长的最小值；

（2）若以P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，试求半径取最小值时圆P的标准方程.

破解思路本题的第一问实际是研究切线长的问题，勾股定理是解决此问题的常用方法. 第二问需考查圆与圆的位置关系，此类问题通常利用圆心距与两圆半径的关系求解.

答案详解（1）设M（x，y），则 =（x+2，y）， =（x-2，y），所以 · =（x+2，y）·（x-2，y）=x2-4+y2=-3，即点M的轨迹（曲线C）方程为x2+y2=1，即曲线C是圆O.

如图2，连结OP，因为Q为切点，所以PQ⊥OQ，由勾股定理有PQ2=OP2-OQ2. 又由已知，PQ=PA，故PQ2=PA2. 即（a2+b2）-12=（a-2）2+（b-1）2，化简得实数a，b满足的等量关系为2a+b-3=0，即b=-2a+3.

图2

从而可得PQ= = = = ，故当a= 时，PQmin= . 即线段PQ的长的最小值为 .

（2）设圆P的半径为R，因为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，所以R-1≤OP≤R+1，即R≥OP-1且R≤OP+1；而OP= = = ，故当a= 时，PQmin= ，此时b= -2a+3= ，Rmin= -1. 所以当半径取最小值时，圆P的标准方程为x- 2+y- 2= -12.

1. 若直线y=x+b与曲线y=3- 有公共点，则b的取值范围是（）

A. [1-2 ，1+2 ]