电液伺服系统非线性振动诱因探究

， 　， ， (1.燕山大学 河北省重型机械流体动力传输与控制重点实验室， 河北 秦皇岛　066004；2.燕山大学 先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室， 河北 秦皇岛　066004)

引言

电液伺服系统是一个非线性动力学系统，其在运行过程中容易产生噪声或出现冲击、爬行和非线性振动等异常现象，而且诱因不易确定，影响系统的稳定工作[1]。

目前，对电液伺服系统动态特性的研究一般采用系统建模和数值仿真手段[2,3]，所依据的理论多是经典控制理论和线性动力学理论，较少运用非线性动力学理论进行分析研究。而且，多数在系统建模时对非线性因素进行线性化处理[4,5]，研究结论与实际情况有较大差异，很难解释实际动态测试中出现的时域波形繁杂、周期振荡等异常现象，不能准确反映执行机构的运动特征。

本研究根据非线性动力学原理，重点探究弹簧力和摩擦力等非线性因素对电液伺服系统运动特征的影响规律。通过理论研究及仿真分析，揭示系统执行机构运动的非线性动力学本质，旨在为揭示电液伺服系统非线性振动的诱因提供理论借鉴。

1　动力学模型

电液伺服系统的执行机构为伺服液压缸，本研究以常用的双作用单活塞杆液压缸为例进行分析，其工作原理如图1所示。

图1　液压缸工作原理

其动力学方程为：

(1)

式中，m为活塞及负载的折合质量；x为活塞位移；Fc为黏性力；Fs为弹性力；Ff为摩擦力；FL为负载力；p1、p2分别为无杆腔和有杆腔压力；A1、A2分别为无杆腔和有杆腔活塞有效作用面积。

2　非线性作用力及作用特征

2.1　非线性弹簧力及作用特征

液压缸系统弹簧刚度由活塞杆刚度和液压油刚度串联合成，弹簧力主要来自于受控液压油所构成的液体弹簧。活塞运动会改变两侧液体弹簧的长度，引起液压弹簧刚度的改变，变化规律为[1]：

(2)

式中，βe为油液体积弹性模量；L为液压缸总行程；L1为活塞初始位置，即无杆腔液柱长度；VL1、VL2分别为阀与无杆腔和有杆腔之间管道内油液体积；α、γ为待定系数。

由式(2)可得出液压弹簧刚度随活塞位移的变化规律，如图2所示。

由图2可知，液压弹簧刚度随活塞的运动呈现出非线性时变规律。当α>0、γ=0时呈现软弹簧特性，α=0、γ>0时呈现硬弹簧特性，α>0、γ>0时呈现半程软弹簧、半程硬弹簧特性[6]。

图2　液压弹簧刚度随活塞位移的变化规律曲线

设y为在工作点x附近的振动位移，即Δx。将液压弹簧刚度在工作点附近展成泰勒级数形式：

(3)

k(x+y)=k1+k2y+k3y2+o(y2)

(4)

此时，液压缸系统的弹簧力可以表示为：

Fs=k(x+y)·y=k1y+k2y2+k3y3+o(y3)

(5)

另外，综合考虑弹簧弹性势能的对称性以及其与弹簧力之间的关系，并去除高阶无穷小项o(y3)，弹簧力可以进一步表达为[6]：

Fs≈k1y+k3y3

(6)

暂不考虑摩擦力的非线性因素，集中研究非线性弹簧力对系统运动特征的影响，系统动力学方程式(1)在工作点x附近的特性可表达为：

=p1A1-p2A2-FL-Ff(v)

=Fsin(ωt+φ0)

(7)

式中，c0为结构阻尼系数，c1为线性摩擦系数。此外，因液压缸中油压有微观波动，基本服从简谐振动规律，故式(7)右边可近似表示为Fsin(ωt+φ0)，是系统的激振源[7]。F为激振力振幅；ω为激振角频率；φ0为激振力的初相。

由非线性动力学理论可知，式(7)是含有阻尼的Duffing方程。该方程为研究电液伺服系统的非线性弹簧力的作用特征提供了结构模型。

进一步将式(7)化为式(8)的形式，并用“谐波平衡法”[8]进行求解，可得幅频关系式(9)。

(8)

(9)

式中，A为零次近似解的振幅。

由幅频关系式可得幅频特性曲线，如图3所示。当β>0时为尾部右偏曲线；当β<0时为尾部左偏曲线。阻尼的作用限制了共振振幅的无限上升。当激励频率从小到大或从大到小变化时，会发生振幅突然变化的“跳跃现象”[1]。

图3　幅频特性曲线

另外，Duffing方程在相平面上有三个平衡点，初始条件决定系统在不同流域中的轨线将趋于不同的稳定定点。当外加周期力不等于零时，系统便有可能在不同流域之间来回跳动，从而形成复杂的振荡状态，做各种复杂的运动[9]。

2.2　非线性摩擦力及作用特征

图4所示为体现摩擦力与速度关系的Stribeck曲线[10]。

图4　Stribeck曲线

(10)

(11)

暂不考虑弹簧力的非线性因素，集中研究非线性摩擦力对系统运动特征的影响。摩擦力的作用效果随工作点在Stribeck曲线上所处区段不同而异。当工作点在区域II或III时，摩擦力呈现非线性时变特性。此时，在工作点附近，有[11]：

则系统动力学方程式(1)在工作点x附近的特性可表达为：

(12)

(13)

由非线性动力学理论可知，式(13)是受迫Van Der Pol方程。该方程为研究电液伺服系统的非线性摩擦力的作用特征提供了结构模型。Van Der Pol方程存在极限环，如图5所示[1]。当|c1|>c0时，摩擦力作用的效果是产生极限环型振荡[12]。

图5　Van Der Pol 极限环

2.3　非线性弹簧力和非线性摩擦力耦合作用特征

由上述分析可知，非线性弹簧力的作用特征可以用Duffing方程描述；非线性摩擦力的作用特征可以用Van Der Pol方程描述。

进一步研究发现，同时考虑弹簧力和摩擦力的非线性作用，可得到如下形式的动力学方程：

(14)

由非线性动力学理论可知，上式是Duffing-Van Der Pol耦合方程[13，14]。该方程为研究电液伺服系统的非线性动力学行为提供了结构模型。

3　非线性耦合系统数值试验

为了探索系统阻尼系数μ、非线性项系数βm和激振力Fn对系统运动特征的影响，取系统方程式(14)中的σ=1、ωm=0.5、ω=1、φ0=0得到具体算例式(15)，进行数值试验研究：

(15)

3.1　分岔特性研究

Fn取不同值时，分别以μ和βm为分岔参数作分岔图，如图6、图7所示。图中横轴分别为单位质量上的系统阻尼系数μ和弹簧力非线性项系数βm，纵轴为振动位移y。

图6　Fn=20 N·rad/(s·kg)时分岔参数为μ的分岔图

图7　Fn=1.6 N·rad/(s·kg)时分岔参数为βm的分岔图

由图6、图7可知，当参数Fn、μ和βm取不同值时系统发生了不同程度的分岔现象[6]：① 系统方程存在单解、多解和无穷多个解，反映在分岔图上表现为单值曲线、多值曲线和涂黑区等不同的区段，分别对应于单周期、多周期和混沌等不同的运动状态。② 随着参数的变化，系统会发生运动状态突然变化的动态分岔现象。

3.2　运动形态仿真

为了形象地体现系统在不同参数下的运动形态，在MATLAB中建立仿真模型，对其典型的非线性动力学行为进行仿真[12]。采样频率取100 Hz，远大于外控力频率：fP=ω/2π=0.16 Hz。

当μ=2 N·s/(mm·kg)，Fn=20 N·rad/(s·kg)时，仿真结果如图8所示。时间历程呈周期重复；功率谱在基频fP及其倍频处出现尖峰；相轨迹在有限的区域内重复，呈一封闭曲线，即有极限环存在；Poincaré图在一定的区域上只有1个孤立点存在。表明此时系统处于极限环型振荡状态。

图8　极限环型振荡形态

当βm=0.75 N/(mm·kg)，Fn=1.6 N·rad/(s·kg)时，仿真结果如图9所示。时间历程呈周期重复；功率谱在分频fP/3及其倍频处出现尖峰；相轨迹在有限的区域内重复，呈封闭曲线；Poincaré图在一定的区域上有3个孤立点存在。说明此时系统处于3倍周期运动状态，周期3意味着混沌。

当βm=1.1 N/(mm·kg)，Fn=1.6 N·rad/(s·kg)时，仿真结果如图10所示。时间历程无规律；功率谱出现噪声背景和宽峰；相轨迹在有限区域内不重复；Poincaré图在有限的区域上有无限个孤立点存在。说明此时系统处于混沌运动状态[15]。

图9　倍周期运动形态

图10　混沌运动形态

由以上仿真分析可知，当Fn、μ和βm取不同值时，系统在运行过程中蕴含丰富的非线性动力学行为，可能做极限环型振荡、倍周期运动，进而通向混沌运动。

4　结论

以电液伺服系统为研究对象，根据非线性动力学原理，重点探究了弹簧力和摩擦力的非线性作用对系统运动特征的影响规律。通过理论研究和仿真分析，得到了如下结论：

(1) 非线性弹簧力和非线性摩擦力的耦合作用特征可以用Duffing-Van Der Pol方程来描述。

(2) 系统外加激振力、阻尼系数和弹簧力非线性项系数的大小影响系统的运动状态。当三者参数取不同值时，系统可能做极限环型振荡、倍周期运动，进而通向混沌运动。

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