保单持有人退保行为对变额年金利益保证风险对冲的影响研究

刘革　邓庆彪

摘要：给出保单持有人退保行为影响下的变额年金定价模型和对冲模型，当保单持有人分别采取无退保、固定退保和动态退保三种行为策略时，基于包含最低身故利益保证、最低满期利益保证和最低提取利益保证的三种不同的变额年金，运用蒙特卡罗模拟测试出保单持有人采取不同的退保策略对不同利益保证的变额年金风险对冲有着显著的不同影响。

关键词： 退保行为；变额年金；最低利益保证；风险对冲

中图分类号：D912.28文献标识码：A文章编号：1003-7217（2015）02-0022-06

一、引言

2011年5月，中国保监会先后发布了《关于开展变额年金保险试点的通知》和《变额年金保险管理暂行办法》，并正式在北京、上海、广州、深圳、厦门五市启动变额年金保险的试点工作。变额年金种类复杂，技术性强，对资本市场的要求非常高，若经营不善，可能会使保险公司蒙受重大亏损。因此，在引入变额年金的同时如何合理控制风险是各大保险公司需要考虑的问题。由于我国保险市场并不完善，保监会在变额年金试点中，只允许保险人提供风险相对较低的四类保证，它们分别是最低累积利益保证（GMAB）、最低满期利益保证（GMMB）、最低年金给付保证（GMIB）和最低身故利益保证（GMDB）。对于风险较高的最低提取利益保证（GMWB）则暂不允许提供。而在国外，销售业绩最好的变额年金则恰恰是最低提取利益保证，其产品的年金给付期一般为15～20年，终身型GMWB的期限则更长，这在一定程度上是符合消费者需求的。在我国金融市场和保险市场发展逐渐完善的未来，我国很有必要开发此类保险产品。

在国外的变额年金研究中，保单持有人退保行为和风险对冲都是热点问题，但把两者结合起来研究的还比较少。研究保单持有人退保行为对风险对冲的影响的文献也主要集中在风险较大、近年来在国外比较流行的最低提取利益保证（GMWB）方面，而对风险较小的最低累积利益保证（GMAB）、最低年金给付保证（GMIB）则少有研究。在允许离散提取的前提下，Bacinello等（2011）在更一般化资本市场模型下，考虑了一系列的采用随机利率和随机波动率模型的保证定价，特别是对于最低提取利益保证（GMWB），作者采用了标准蒙特卡罗模拟来对静态行为策略（每年提取量为G且无退保）进行定价[1]；在随机利率模型和每年提取量为G且无退保的静态连续提取策略假设下，Peng等（2012）给出了GMWB定价的上下边界[2]；在忽略死亡率和假设保单持有人采取静态提取行为且无退保的情形下，Thorsten Moenig和Daniel Bauer（2011）深入分析了保单持有人的取款行为。他们指出保单持有人的提取行为会受到产品设计等的影响，而产品的定价和管理过程也会反过来受到保单持有人的提取行为的影响[3]。

国内方面，对于保单持有人的研究则主要集中在其权益保护方面，有关保单持有人退保行为的研究基本没有。同时，由于2011年我国刚刚启动变额年金试点工作，有关变额年金的研究则大多将重点放在定价的研究上。徐慧丹（2010）在分析国内外研究成果的基础上，主要通过理论探讨、个案分析、博弈均衡分析、国际对比研究等方式，考虑了外部法律、内部管理、自身保护三个维度，并初步建立了符合我国特色的保单持有人权益保护制度[4]；颜荣芳等（2007）阐明了保险人在年金累积期及年金给付期的不同投资策略，并以此构建保险公司变额年金的最优投资控制模型，进而得到变额年金产品的最优控制策略[5]；徐景峰和廖朴（2012）在固定乘数平衡管理模式下讨论了最低生存保证给付保险（GMLB）和最低死亡保证给付保险（GMDB）两类变额年金的风险管理问题。结果表明，如果采用保监会规定的固定乘数平衡管理模式来管理变额年金，适当的最低收益率保证不会带来风险，但当最低收益率超过一定水平时，变额年金业务必然破产[6]；李冰清和廖朴（2012）建立了资产随机模型并使用破产概率和尾部期望损失两个指标度量保险公司销售最低生存利益保证保险（GMLB）和最低身故利益保证保险（GMDB）承担的风险[7]；邓庆彪和戴怡然（2013）在对变额年金中含有最低累积利益保证的研究中，运用蒙特卡罗模拟分析了两种风险管理模式，即内部组合对冲模式和固定乘数平衡模式，并对变额年金在不同的市场状况下，应采取的风险管理方式提出了一些建议：一般情况下，应选取优化后的固定乘数平衡模式，选取2～4左右的投资乘数；当市场出现多头时，应采用内部组合对冲模式[8]。

综合考虑国内外的研究现状，本文主要研究保单持有人退保行为对变额年金中三类利益保证（GMIB、GMAB、GMWB）风险对冲的影响，对于如今市场上GMIB、GMAB的风险管理和GMWB的推出均有较强的理论价值和现实意义。主要研究保单持有人的不同退保行为对三类最低利益保证（最低累积利益保证、最低年金给付保证、最低提取利益保证）的市场风险的风险对冲及其有效性的影响，通过比较三类最低利益保证的变额年金在不同保单持有人退保行为下的风险大小及风险对冲的有效性，分析不同保单持有人退保行为对三类最低利益保证变额年金产品的风险及对冲是否有影响以及影响究竟有多大。从而针对保险公司在推出变额年金产品时，能够通过谨慎的产品设计，合理假设，合理定价，规避风险。

财经理论与实践（双月刊）2015年第2期2015年第2期（总第194期）刘革，邓庆彪：保单持有人退保行为对变额年金利益保证风险对冲的影响研究

二、保单持有人退保行为下的对冲模型

保单持有人退保行为风险是指在保险合同没有完全履行时，保单持有人提出解除保险合同而给保险人带来的风险。变额年金的利益保证本质上是一个看跌期权，当我们知道了它在某一时刻的价值，就可以通过股票和货币来构造一个适合的虚拟期权，从而对其进行有效对冲。本文测定变额年金利益保证的价值的主要思想是：t时刻利益保证价值可以用所有未来保证支付减去未来保证费用的现值的期望来表示，得到利益保证的期权价值公式后，由于零时刻保单的期权价值为零，我们就可以得到利益保证的公平保证费φ；确定了公平保证费后，就能够进行对冲了。

（一）资本市场

假设存在概率空间（Ω，F，Q），F=（It）-t∈0，T为此概率空间上的σ域流，Q为风险中性测度。假设市场上存在两种主要的可交易资产：S（·）表示风险资产的价格，B（·）表示无风险资产的价格。该市场是无套利的，可以用风险资产和无风险资产来复制期权。假设风险资产的价格变动服从几何布朗运动dSt=μStdt+σStdWt，其中，μ为漂移项，σ为波动率，Wt为标准布朗运动。假设无风险资产的运动满足dBt=rBtdt，其中，r为无风险常数利率。

（二）保单模型

考虑一个期限为T（其中T为有限整数）的变额年金保单，在t=0时，趸交保费为P。在保单期内，只考虑与保证相关的费用，如连续扣除的保证费和退保费用。忽略所有前置费用，即假设保单的交易费用、管理费用均为零。t时刻的账户价值记为AVt。于是有AV0=P。除了GMWB外，只要从保单的账户中有任何提取金额的行为均要收取退保费用，为了简便起见，本文只讨论完全退保，也就是提取金额为当时的所有账户余额。连续扣除的保证费φ为账户价值的一定比例，而退保费用率s为所提取金额的一定比例。为了评估保单的价值，需要定义两个虚拟账户：Wt和Dt。Wt表示t时刻的累积提取额的价值，称作提取账户。每次提取都会累加到这个账户中，并且以无风险利率累积到T时刻。当t=0时，有W0=0。类似的，Dt表示t时刻的死亡收益的价值，称作死亡收益账户Dt。Dt也以无风险利率累积到T时刻。当t=0时，D0=0，记t时刻的最低死亡保证利益为GDt，则有t时刻的死亡利益为max{AVt，GDt}。如果保单包含GMDB，则GD0=AV0，否则GD0=0。记t时刻的最低满期保证利益为GMt，则当保单到期时，保单持有人可以获得max{AVT，GMT}的利益。如果保单包含GMMB，则GM0=AV0，否则GM0=0。假设GMMB是累积型的，保证的累积利率为i。记t时刻的保证账户余额为GWt，t时刻允许单次领取的最大金额为GEt。如果保单包含GMWB，则GW0=AV0，GE0=xw·AV0，其中xw为提取率，是保证账户的一定比例。否则GW0=0，GE0=0。状态向量yt=（AVt，Wt，Dt，GDt，GMt，GWt，GEt）包含了t时刻有关含保证利益的变额年金的所有信息。

本文讨论的是趸交保费的情况，所以，保单持有人的行为仅限于死亡、退保、提取等。假设只允许在保单周年日退保或提取且如果被保险人在当年死亡的话，死亡利益也只在保单周年日支付。故这些行为都只在保单周年日，即t=1，2，3…，T等这些整数时间点上发生。所以，在t=1，2，3…，T时，必须要严格区分状态向量中的变量在死亡利益支付、退保、提取等发生之前（·）-t和发生之后（·）+t的价值。

下面分别描述保单在两个保单周年日之间的运作过程和保单周年日前后的转换过程，通过这样的转换过程，能够决定任何给定的保单持有人退保行为策略和任何资本市场路径中状态向量中的所有变量的价值，从而利用蒙特卡罗方法来分析这样的保单。

1.两个保单周年日之间的运作过程。

账户价值的变化取决于风险资产价格的变化，再考虑到保证费，则有：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ。两个虚拟账户按照无风险利率累积：W--t+1=W+ter，D--t+1=D+ter。保证账户如下：GD--t+1=GD+t，GM--t+1=（1+i）GM+t，GW--t+1=GW+t，GE--t+1=GE+t。

2.保单周年日前后的运作过程。

（1）保单持有人死亡。

由于模型假设死亡只发生在保单周年日，故在期间（t，t+1]死亡等同于在t+1时刻死亡。死亡收益将加入死亡收益账户中：D+-t+1=D--t+1+max{GD--t+1；AV--t+1}。

因为保单持有人死亡，未来收益便不存在了，于是，AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。而提取账户保持不变，W+-t+1=W--t+1，保单终止。（2）保单持有人存活并退保。

保单持有人退保，保单失效。AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。

死亡收益账户保持不变，D+-t+1=D--t+1。

扣除退保费用后的账户余额加入到提取账户中，W--t+1=W+-t+1+（1-s）×AV--t+1，其中s为退保费用率，为账户余额的一定比例。

（3）保单持有人存活且不退保。

对于GMDB和GMMB来说，保单持有人不采取任何行动，W+-t+1=W--t+1，D+-t+1=D--t+1，AV+-t+1=AV--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GM+-t+1=GM--t+1，GW+-t+1=GW--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

对于GMWB来说，保单持有人将进行提取。为简便起见，本文假设保单持有人的提取额等于每次保证提取的最大限额。则有AV+-t+1=max{AV--t+1-GE--t+1，0}，W+-t+1=W--t+1+GE--t+1，D+-t+1=D--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GW+-t+1=GW--t+1-GE--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

3.保单到期日T时刻的收益。

在保单到期日T时刻：对于GMDB来说，如果保单持有人存活，则到期利益为剩余账户价值AV-T，否则到期利益为max{AV-T；GD-T}；对于GMMB来说，如果保单持有人存活，则到期利益为max{AV-T；GM-T}，否则到期利益为剩余账户价值AV-T；对于GMWB来说，如果保单持有人存活，则到期利益为max{AV-T；GE-T}，否则到期利益为剩余账户价值AV-T。

（三）保证利益的价值

假设保单持有人购买保单时的年龄为x岁，tpx表示x岁的人存活t年的概率，q-x+t表示x+t岁的人在下一年死亡的概率，则保单持有人在区间（t，t+1]内死亡的概率为tpx·q-x+t。

考虑大量的保单持有人，他们购买了同样的保险，有着同样的年龄、性别和死亡率，而他们的行为可能会有所不同。假设保单持有人的数量足够多以致实际死亡人数与概率q-x+t表示的死亡人数会保持一致。

假设保单持有人的退保行为由一族随机变量ξ=（ξt）-t=1，…，T所确定，其中0≤ξt≤1，t=1，…，T。它表示t时刻退保的保单持有人占当时总人数的比例。

对于给定的保单持有人退保行为假设ξ=（ξt）-t=1，…，T，保单池中的所有现金流都由给定的资本市场情况决定。因此，时刻i∈{1，2，…，T}由保险公司提供的保证支付GPi（ξ）（例如，对于GMWB来说，在账户价值降为0后，保险公司支付给保单持有人的金额，即保单持有人的提取额）和时刻i∈{1，2，…，T}由保单持有人提供的保证费支付GFi（ξ）（包括退保费用）均可以计算得到。于是，对于任意给定的保单持有人退保行为策略ξ，保证利益的t时刻的价值VGt（ξ）可以用所有未来保证支付GPi（ξ）减去未来保证费用GFi（ξ）的现值的期望来表示。

VGt（ξ）=EQ∑Ti=t+1e-r（i-t）（GPi（ξ）-GFi（ξ））（1）

（四）保单持有人退保行为策略

主要讨论以下三类保单持有人退保行为：

1.无退保（No Surrender，NS），是指保单持有人永远不会退保，则ξ0=（ξ0t）-t=1，…，T，ξ0t=0，t=1，…，T

2.确定性退保（Deterministic Surrender，DS），是指保单持有人会按照事先确定的比例（时间依赖）（pst）-t=1，…，T，0≤pst≤1，t=1，…，T来进行退保。ξd=（ξdt）-t=1，…，T，ξdt=pst，t=1，…，T

3.动态退保（In-The-Moneyness，ITM），即假设保单持有人的退保行为是时间和ITM（In The Moneyness，即保证与账户价值的比率）的函数。

定义时刻t的保证的货币价值为θt退保价值（账户价值减去退保费用）与保证的执行价格（未来保证支付的现值）的比值。本文使用θt/θ0（θ0为保证的初始货币价值）作为ITM的度量。

假设保单持有人退保行为的基数是一系列事先给定的比例（pst）-t=1，…，T，0

SymbolcB@ pst

SymbolcB@ 1，t=1，…，T（与确定性退保中的相同）。此外，假设保单持有人在t时刻的退保率为pst与某个因子（由θt/θ0来决定）的乘积。

ξitm=（ξitmt）-t=1，…，T

ξitmt=pst·η（θt/θ0），t=1，…，T

η（x）=1/3，x<0.95

1，0.95≤x<1.05

3，1.05≤x<1.15

5，x≥1.15

（五）公平保证费的确认

合同订立之初，当变额年金的最低利益保证的价值为零时，该合同才是公平的。所以有VG0=0。由于VG0的表达式中只有保证费φ是未知的，故可以将其求出。

VG0（ξ）=EQ∑Ti=1e-ri（GPi（ξ）-GFi（ξ））（2）

（六）对冲效率的度量

本文假设保险公司采用Black-Scholes模型来对冲并在对冲组合ΠHedge（·）中运用简单的Δ对冲策略。也就是说，为了使组合对基础资产的价格的微小变动产生免疫，保险公司对冲组合中基础资产的数量为Δ，即Ψ（·）对S（·）的偏导。于是，ΠHedget=ΔtSt+Bt，Δt=Ψt/St。由于Δ通常为负值，所以保险公司通常会卖出基础资产，假设对冲组合每年重新调整一次。

本文采用下面三种指标来比较不同的对冲结果，每个指标经过标准化后，表示在t=0时支付给保险公司的趸交保费之和的百分比。

1.Epe-rTΠT，真实世界测度下的保险公司利润的保单期末值的现值的期望。这是保险公司期望利润的度量。其值为1表示在期望水平下，客户每支付100的趸交保费，保险公司通过售出并对冲利益保证而获得的期望利润为1。

2.CTE-1-α（χ）=Ep-χ-χ≥VaRα（χ），随机变量χ的条件尾部期望，其中χ=min e-rtΠtt=0，…，T表示在所有的保单周年日的保险公司利润的现值的最小值，VaR表示在险价值。这是某一对冲策略下保险公司对应风险的度量。可以理解为即使在随机模型下，市场发展到了α（如10%等）最坏情况的平均水平时，也能使保险公司的组合在整个保单期内都不会成为负值，所需要的额外的初始资金。其值为1表示在期望水平下，超过α最坏情况，客户每支付100的趸交保费，保险公司需要持有额外1单位的资本。

3.CTE-1-α（e-rTΠT）=Ep[-e-rTΠT|-e-rTΠT≥VaRα（e-rTΠT）]，保险公司的保单期末利润的现值的条件尾部期望。这一风险度量关注的是在期末T时刻，在所有负债都已经支付的情况下，保险公司的利润状况。其值为1表示在期望水平下，超过α最坏情况，客户每支付100的趸交保费，保险公司的期望损失为1。由定义可知，CTE-1-α（χ）≥CTE-1-α（e-rTΠT）。

三、蒙特卡罗模拟

由于本文考虑的保证利益是依赖于路径且路径比较复杂，故无法直接求出保证费用φ，必须使用数值方法。而对于确定的或给定的策略来说，蒙特卡罗算法可以快速地得到准确的结果，故本文采用蒙特卡罗模拟来得出结果。

（一）模拟步骤

1.确定AVt与φ之间的对应关系。

由前面确定的资本市场模型，可得以下公式：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ

=AV+t·e（r-φ-σ2/2）+σZ-t+1 （3）

上式中除了保证费用φ之外，其他变量都是已知的，其中r为无风险利率，σ为波动率，Z-t+1为标准正态随机变量，由此，可以找到AVt与φ之间的对应关系。

2.求出保证价值的蒙特卡罗模拟值。

由公式（2），对于给定的策略ξ，当φ值一定时，给定标的资产变化的样本路径a（j），便可以得到一个确定的VG0（φ）（j）。假设有J条路径a（j），则得到J个VG0（φ）（j）值，对这J个VG0（φ）（j）值求平均，可以得到：

VG0（φ）=1J∑Jj=1VG0（φ）（j） （4）

VG0（φ）为保证价值的蒙特卡罗模拟值，其中J代表模拟的次数。

3.求出公平保证费用φ。

对给定一个保证费用φ，由公式（4）得到一个对应的保证价值VG0（φ），不断地变动φ时，便可以得到与之对应的VG0（φ）。当VG0（φ）恰好等于0时，可求出本文所要求的公平保证费用φ。

由计算出公平保证费用后，运用蒙特卡罗模拟的方法，便可计算出用于比较对冲结果的三个指标Epe-rTΠT、CTE-1-α（χ）、CTE-1-α（e-rTΠT）。

（二）蒙特卡罗模拟公平保证费用的结果

本文采用Alexander等（2011）中的参数设定，即假设保单持有人均为60岁男性，一次性缴纳10000元保费P，无风险利率r为4%，市场波动率σ为22%，退保费用率φsurr为3%，使用生命表为《中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）》。最低身故利益保证为GD0=P=10000，即返还初始保费或账户价值的最高者。最低满期利益保证为GM0=P=10000，且累积利率i为6%，即保险到期时返还GM0·（1+i）T或账户价值的最高者。最低提取利益保证的保证取款率为10%，即单次可提取的最大金额，即最低提取利益保证GE0为1000元。

限于篇幅，本文没有列出GMDB、GMMB、GMWB的公平保证费用和保证价值关系图。将模拟结果整理后，如表1所示，其中，公平保证费率的变动幅度为1bps（bps表示万分之一，即0.01%）。对应于保证价值为0时的保证费率即为公平保证费率。

当保单持有人采取固定退保策略时，无论附加哪种类型的保证，保险公司的期望利润都接近于0。虽然保险公司准确了解保单持有人的行为，但是仍然无法达到完美对冲，导致了平均水平上的小损失。在GMDB、GMMB、GMWB保证下，在期望水平下，超过10%的最坏情况，保险公司的期末利润的现值的条件尾部期望分别为趸交保费的2.1%、2.4%、2.8%。而保险公司的最大利润的现值的条件尾部期望则稍高一点。在动态退保行为下，保险公司承担的风险最大，也即动态退保行为对保险公司风险对冲的影响最大。

在GMDB保证下，无论保单持有人采取哪种行为策略，保险公司的期望利润都接近于0。虽然保险公司准确地了解保单持有人的行为，但是仍然无法达到完美对冲，导致了平均水平上的小损失。在保单持有人采取无退保、固定退保、动态退保策略下，在期望水平下，超过10%的最坏情况，保险公司的期末利润的现值的条件尾部期望分别为趸交保费的1.7%、2.1%、3.1%。而保险公司的最大利润的现值的条件尾部期望则稍高一点。在GMWB保证下，保险公司承担的风险最大，也即在GMWB保证下，保单持有人退保行为对保险公司风险对冲的影响最大。

四、结论

通过以上对保单持有人退保行为影响的分析，有如下的结论：

1.当保单持有人的退保行为随机性增强时，其对应的公平保证费也在增加，相应的风险也增加了。对于保单持有人来说，采取动态退保的方式能使保单价值更高，获得更大的利益，而此时，相反地，对于保险公司来说，由于保单持有人退保行为的不确定性较强，其面临的风险很大，增加了风险对冲的难度和成本，其对保险公司风险对冲的影响也就最大。

2.保单持有人采取退保行为，一般会损失一定的退保费用，而在本文中却能在一定程度上使得保单价值更高，这是因为，在市场表现较好时，保单账户价值较高，最低利益保证的触发条件一般较难达到，而此时退保，直接将资金投入市场中，可以获得较高的收益，节省了交纳给保险公司的保证费，而使得获利更多。故在这种情况下，退保反而成了较为理性的行为。

3.在GMDB、GMMB、GMWB三种保证中，GMWB保证下保单持有人退保行为对保险公司风险对冲的影响最大。这是因为，在这三种利益保证中，GMWB保证和保单持有人的退保行为关系最密切。GMWB保证给出了每个周年点的保证提取率，是否退保直接关系到接下来的年份是否会提取金额，故其风险对冲受保单持有人退保行为的影响也是最大的。

4.无论保单持有人采取哪种退保行为策略，当保险公司假设的保单持有人退保行为与其真实的退保行为保持一致时，保险公司面临的风险都较小且非常相近。

根据上述结论，保险公司在推出变额年金产品时，应注意以下几点：（1）相对于GMDB和GMMB来说，GMWB具有更强的不确定性和复杂性，其风险更大，因此，保险公司在推出变额年金产品时，应先从较简单、风险较小的GMDB和GMMB开始，待时机成熟时再推出GMWB。（2）通过宣传和普及知识，鼓励保单持有人持续持有保单，不要提前退保，减少不确定的提取行为给保险公司带来的风险。（3）当保险公司假设保单持有人不退保，而保单持有人实际上采取动态退保策略时，此时的保证费就会过低而给保险公司带来风险；而当保险公司假设保单持有人动态退保，而保单持有人实际上采取不退保策略时，此时因为假设过于复杂，而增加定价和对冲的成本，浪费资源，给公司带来不利。又因为保单持有人退保行为模式是多种多样的，存在着很多可行的方案，且并不是所有的保单持有人都会采取看上去理性的或者符合逻辑的行为方案。所以，保险公司在实际定价时首先要根据历史数据、市场情况和中国民众特有的风险观念，考察不同提取行为出现的概率，通过谨慎的产品设计，合理假设，合理定价，规避风险。

参考文献：

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[8]邓庆彪，戴怡然.变额年金中最低累积利益保证管理模式研究[J].保险职业学院学报，2013，（5）：11-15.

（责任编辑：钟 瑶）