基于稀疏重建的信号DOA估计

任肖丽，王 骥，万 群

1.广东海洋大学 信息学院，广东 湛江 524088

2.电子科技大学 电子工程学院，成都 611731

1 引言

源定位是信号处理领域的主要目的之一，利用传感器阵列可以将其转换成DOA估计。在已有的DOA估计方法中，信号子空间概念由于其超分辨性能已经成为一种主导技术，如MUSIC[1]。近几年，压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论及其应用[2-4]成为了研究热点。CS提出了许多方法来解决稀疏重建问题，其中有两种主要算法方法：基追踪[5]（Basis Pursuit，BP）算法依赖于一个优化问题，可以通过线性规划求解，具有稳定性并能准确重建信号，但是需要大量的计算；贪婪算法[6-7]具有低复杂度和较快的速度，但是缺乏稳定性和一致性保证。通过利用稀疏性，出现了许多方法[8-19]，可以提供比MUSIC更好的分辨性能。本文基于ℓ1-SVD方法[10]，将DOA估计问题转化成稀疏信号重建问题并且利用CS方法求解。ℓ1-SVD方法具有极好的超分辨性能和信号相关的稳健性。

线性阵列是多阵元天线的一种重要形式，在通信和射电天文学中起着重要的作用。1968年，Moffet在文献[10]中提出了最小冗余线（MRLA），能以较少数的阵元获得较大阵列孔径，是一种有效的阵列排布方法，阵列孔径和DOA分辨率、可估计的信号源数成正比，即阵列孔径越大估计性能更好。许多学者已经对MRLA进行进一步的研究[11]，充分利用了MRLA的这一结构特征。均匀线阵（ULA）是冗余的，是因为不同阵元对可以得到相同的共轭循环相关函数值。同样，不同阵列传感器分布可以获得相同的共轭循环相关函数值，冗余度随阵元数的增大而增大。因此，基于MRLA的结构特点，本文将MRLA与ℓ1-SVD方法相结合来估计信号的DOAs。

2 问题描述

考虑到N个具有相同中心频率的窄带信号源从不同方向θi(i=1，2，…，N)入射到M阵元均匀直线阵上，阵元间隔x～1(t)，λ为载波波长，M×1阵列接收信号 y(t)表示为：

可以把欠定方程（1）中s(t)恢复问题转化CS应用的稀疏信号重建问题。s(t)可以通过ℓ1最小化恢复得到：

式（1）的矩阵形式可以表示为：

其中，M×T矩阵 Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]和M×T矩阵N=[n(t)，…，n(T)]，T表示快拍个数，信号向量 S=[s(1)，s(2)，…，s(T)]∈N×T。

2.1 ℓ1-SVD方法

对于窄带信号源而言，当不相关信号和相干信号同时存在时，多测量数据为：

其中，A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θN)]未知，在稀疏假设下，N是小的，文献[10]把DOA估计问题转化成一个稀疏信号重建问题，构建字典，Kmax(N，M)，假设{θ1，θ2，…，θN}令si(t)=，Y=AS+N ，Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]。

对矩阵Y奇异值分解（SVD）Y=UΛVH，令YSV=UΛDK=YVDK，其中DK=[IK0]′，IK为K×K单位矩阵，0是K×(T-K)零矩阵，令 SSV=SVDK，NSV=NVDK，为了满足YSV=ASSV+NSV，逐列考虑此方程有：

ℓ1-SVD方法可概括成如下三步：做奇异值分解Y=UΛVH；取YV的前N列，记为YSV，M×N；求解下面的优化问题：

其中，SSV∈K×N为 SV的前N列，K×1维 SC定义为SSV的2范数，是估计的稀疏谱，β是给定的调整参数。

ℓ1-SVD方法的主要优点是具有很好的超分辨性能和信号相关稳健性，缺点主要是需要已知信号源个数且复杂度随其成比例增加，当阵元数为M，各信源相距不太近时，ℓ1-SVD方法能分辨出的信源个数最多是M-1。

2.2 最小冗余线阵（MRLA）

对于ULA，x(t)的相关矩阵为：

其中，E(·)、(·)H和 (·)*分别表示期望、转置和共轭算子。r(m)，m=0，1，…，M-1是随机过程 x(t)的相关函数。由式（1）和（8）可得：

其中，RS=E[s(t)sH(t)]，当信号源相互独立或不相关时，显然 R是Toeplitz矩阵，根据Toeplitz矩阵结构特点，只要已知R第一行，就可以准确重构整个矩阵。

式（8）表明，对于具有M阵元的ULA，在M2个相关函数中只有M个独立的相关函数。因此，ULA输出相关矩阵是一个冗余的Toeplitz矩阵，减少线性阵列冗余的常用方法是采用非均匀线阵。事实上，不同的阵元分布可以获得与ULA相同的相关函数，冗余度随着阵元数增加而增加。设计MRLA的原则是将非均匀线阵的M阵元与ULA的P阵元等价，其中M＜P。表1为一些最小冗余线阵配置，其中{di}表示相对于参考阵元而言第i个阵元的位置[12]。

表1 一些最小冗余线阵配置

3 本文方法

假设具有M阵元的无源线性阵列，相对于参考阵元的阵元位置d1＜d2＜…＜dM，每个阵元位置di都是固定距离d的整数倍。假设一个M阵元的非均匀线阵，N个独立的窄带信号源，其中信号源个数N是已知的，在此，取M=4为例，设相对于参考阵元的阵元位置为d1,d2,d3,d4，且有如下取值{d1,d2,d3,d4}={0,2d,5d,6d}，d=λ/2，λ为信号载波波长，阵列接收向量X(t)=[x0(t)x2(t)x5(t)x6(t)]T可通过下式得到：

其中，t=1，2，…，T，阵列接收向量的相关矩阵为：

对矩阵R奇异值分解，保留其信号子空间US，构建字典，其中Nθ是角度采样数，Nθ×1维向量的稀疏性对应空间谱的稀疏性，通过最小化式（12）估计DOA：

由于独立信号的相关矩阵具有Toeplitz结构，且矩阵 R中含有r(0)，r(1)，r(2)，r(3)，r(4)，r(5)，r(6)，构造7×7的扩展矩阵：

又有r(-m)=r*(m)，(m=0，1，…，6)，则通过 R 可以得到具有7阵元ULA的相关矩阵：

其中，DOA估计问题被看作是子空间快稀疏重建，构建超完备字典=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)]，7×K，K为角度采样数，K＞＞N，[θ1，θ2，…，θK]为所有可能的信号采样角度。是矩阵∈K×N的第i行，即为优化问题的解。Frobenius范数定义为，β是正则化参数。在此选取足够高的β使的概率很小，其中。向量的稀疏性对应于稀疏谱的稀疏性。由式（15）可以得到S～的稀疏谱。本文所提方法也需要已知信源个数N。

4 仿真实验

其中，T为快拍数。

假设所有信号源都具有相同的能量，输入信噪比SNR为是噪声的能量。通过500次Monte Carlo仿真得到DOA估计的均方根误差RMSE：

其中，()n是第n次MonteCarlo仿真中θk的估计，Ns是信号的个数，取T=1 000。

在仿真中，取M=4 ，分别来自于 [-22°，3°， 41°]和[-22°，3°，24°，41°]的独立信号。图1和图2分别为基于ℓ1-SVD方法的DOAs估计和基于本文方法的DOAs估计，显然ℓ1-SVD方法不能准确地估计3个和4个信号的DOAs。基于本文方法DOA估计的RMSE如图3和图 4 所示。当有来自于 [-45°，-22°，3°，24°，41°]的 5个独立信号时，图5和图6分别表示基于本文方法的DOA估计及其RMSE。同理，当M=5，假设分别来自于 [-45°， -22°， -12°，10°，25°，48°]的6个独立信号和[-44°， -22°， -12°，12°，26°，48°，63°]的7个独立信号，图7和图9为信号的DOAs估计，图8和图10表示基于所提方法的RMSE。

图1 两种方法3个信号的DOAs估计

图2 两种方法4个信号的DOAs估计

图3 本文方法3个信号DOA估计的RMSE

图4 本文方法4个信号DOA估计的RMSE

图5 本文方法5个信号的DOAs估计

图6 本文方法5个信号DOA估计的RMSE

图7 本文方法6个信号的DOAs估计

图8 本文方法6个信号DOA估计的RMSE

图9 本文方法7个信号的DOAs估计

图10 本文方法7个信号DOA估计的RMSE

仿真结果表明，对于4阵元非均匀线阵，利用本文方法在误差允许范围内最多可以有效估计5个独立信源的DOAs，而ℓ1-SVD方法不能准确估计3个及以上的信号DOA。对于5阵元非均匀线阵，利用本文方法最多可以有效估计7个独立信源方向。值得注意的是，本文所提方法适用于独立信号和不相关信号。同理，阵元数M可以取其他值，利用本文方法可以有效估计更多的独立信源DOAs。

5 结论

将最小冗余线阵与ℓ1-SVD方法相结合提出了一种新的DOA估计方法，仿真结果验证了本文方法的有效性，其能有效估计不相关信号和独立信号的DOA，具有信源过载能力。

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