基于整数规划的投资项目选择模型及Matlab 实现①

孙建英

(青岛理工大学 琴岛学院，山东 青岛266106)

0 引 言

整数规划模型是数学建模中一种常见的很重要的模型，它在汽车生产、钢管下料、指派问题及高校学生选课策略［1］等方面都有广泛的应用，对于一般的整数规划模型，可以利用Lingo 软件求解，但是掌握起来比较困难.随着Matlab 版本的提高，可以直接调用Matlab 优化工具箱(Optimization Toolbox)中的bintprog 或者intlinrog 函数求解0－1整数规划问题，本文通过投资项目的选择问题进行仿真实验.

1 0－1 整数规划的数学模型

0－1 整数规划的数学模型的一般形式为:

亦可写成矩阵形式

为了能直接调用Matlab 优化工具箱中的函数，0－1 整数规划模型要改为如下标准形式:

2 Matlab 优化工具箱中的函数

Matlab 优化工具箱中可以用来求解0－1 整数规划问题的函数有两个bintprog 或intlinprog，调用格式如下:

1)函数bintprog 的调用格式

返回的是0－1 整数决策变量和相应的最小目标函数值，f 是由目标函数的系数构成的向量，A，b分别是不等式约束的系数矩阵和右端项，Aeq，beq分别是等式约束的系数矩阵和右端项，X0是整数变量的初始值，options 是控制规划过程的参数系列，调用时要注意参数的位置，如果缺少的话，应该用［］补位.

2)函数intlinprog 的调用格式

intcon 表示整数决策变量的位置，lb，ub 分别表示决策变量的上下限.其它参数的意义不变.

两个函数虽然都能求解0－1 整数规划问题，但是在具体应用过程中发现有三个需要注意的问题，一是对Matlab 版本的要求，前者适用于Matlab7.0 以上，后者适用于Matlab2014A 以上版本;二是对整数变量的个数有要求，当变量的个数比较多时，像文献［2］中需要100*1000 个整数变量的时候，只能用后者求解;三是intlinprog 函数也可以求解一般的整数规划问题，但是bintprog 函数不能.考虑到以上种种，本文实例采用intlinprog 函数为例.

3 实例分析

3.1 投资项目的选择问题的提出

某单位在年初有15 万的资金，有5 个可以投资的项目，每个项目需要的投资额和期望收益如表1，问应投资哪几个项目，期望收益才能保证最大?

表1

(1)甲、丙、戊三个项目需且仅需选择一项;

(2)乙和丁两个项目需且仅需选择一项;

(3)丙和丁项目密切关联，必须先实施丁之后才能实施丙，

3.2 模型的建立

设决策变量x1，x2，x3，x4，x5分别表示甲、乙、丙、丁、戊项目，并且规定xj=1 表示j 项目被选中，xj=0 表示j 项目不被选中，(j=1，2，3，4，5)，Z 表示期望收益

目标函数为最大期望收益:maxZ=10x1+8x2+7x3+6x4+9x5，为了能直接调用intlinprog 命令，把目标函数转化为min(－Z)=－10x1－8x2－7x3－6x4－9x5

约束条件有两类，一类是资金总额的限制;一类是项目之间互斥或者先后关系的限制

3.3 Matlab 仿真

Matlab 程序如下:

故只需选择甲项目和乙项目，期望收益为18万元.

3.4 补充说明

intlinprog 命令也可以求解一般的整数线性规划模型，只要把上述程序中的参数ub 也就是整数决策变量的上限不限制为1 就可以了，操作起来非常简单.并且该命令也可以求解混合整数线性规划问题，这时候需要用intcon 来指明哪一个决策变量是整数即可.

［1］ 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2011.

［2］ 王颖，高德宏，施恒.DVD 租赁优化方案［J］.工程数学学报，2005，22(7):76－84.