分级基金和股指期货统计套利实证分析

冯佳 祝锦波

【摘要】统计套利是基于统计方法，构造金融资产投资组合，挖掘套利机会以求获得投资组合的市场回报。把协整统计套利方法引入分级基金和股指期货的期现套利交易中，分析分级基金组合（SFS）和沪深300股指期货的高频数据之间的协整关系，利用价差模型配对套利的损益发掘分级基金和股指期货的套利机会，结果表明分级基金和股指期货之间存在统计套利空间。

【关键词】统计套利 协整模型 高频数据

一、引言

统计套利是利用相关性非常高的证券合约，当价格出现不均衡时的机会，通过对冲将相关的或者同品种不同时期的合约的波动对冲掉，只关注合约的价差波动，利用匹配交易机制获得利润。本文利用Wind数据库沪深300股指期货和指数型分级基金进取份额组合（SFS）的1分钟高频数据进行统计套利实证分析，通过高频数据的分析寻找套利交易的机会，有利于期现价格回归。

关于统计套利的研究主要有Andrew Pole（2011）在其著作中追溯了统计套利策略的起源—配对交易的基本原理并阐述了其主要特性[1]。Brian Jacobsen（2008）基于日内高频交易数据的协整关系将误差修正模型应用到统计策略，交易方法简单并取得了不错的收益，有利于投资者实施套利[2]。仇中群、程希骏（2008）实证研究后发现基于协整的统计套利效果显著优于其他的跟踪误差方差方法，套利机会增多且风险可控[3]。陈怡（2012）首次尝试尝试将统计套利的方法引入分级基金交易采用成对交易策略，实证表明该策略都可以获得超额收益以及高于大盘的夏普比率[4]。雷井生，林莎（2013）改进统计套利策略，并验证该策略运用各频率数据进行套利的交易次数都显著减少，达到了获取最大单次收益及降低交易频率的目的[5]。

二、数据选取和无套利区间

（一）交易对象选择

为了更好的拟合沪深300指数，我们从基金的稳定性和流通性等方面进行考虑，共选出和沪深300相关性最好的瑞福进取（150001）、双禧B（150013）和信诚300B（150052）共3只成立2年以上，市值在1亿以上B份额的指数型分级基金。

利用分级基金组合和股指期货进行套利需要尽可能地拟合沪深300指数，衡量指数拟合的好坏一般采用跟踪误差来表示，为了使跟踪误差最小化，减少SFS套利风险，通过使用最优化模型求出现货在现货组合中所占的权重，建立跟踪误差最小的现货组合。跟踪误差为：

其中T为样本周期，It代表股指期货数在t时期的收益率，n为分级基金数量，αi为第i只分级基金在组合中的权重，Ii，t代表现货组合中的第i只分级基金在t时期的收益率，约束条件为各成分基金的权重之和等于1。利用Matlab数学软件计算出各个分级基金在组合中的权重，得到3只分级基金在组合中的权重各位0.3333时，跟踪误差最小为0.0007676。

目前我国上市的股指期货合约共有4个，当月合约、下月合约、当季合约以及隔季合约。由于现在当季合约和隔季合约的交易清淡，考虑到成交量和市场流动性，本文选取了股指期货当月合约与SFS进行匹配套利。

（二）无套利区间的确定

股指期货最经典的定价方法是持有成本定价法，它是其股指期货其他定价方法的基础。假设以F（t）的价格卖出股指期货，同时以S（t）的价格买入现货，r代表无风险利率；D（t，T）代表T-t的现金股利。在无市场摩擦假设条件下，股指期货的基本定价模型为：

F（t）=S（t）er（T-t）-D（t，T）

在实际的交易市场中，由于交易成本和融资成本等的存在，为了得到股指期货的无套利定价区间，需要把它们等成本计算进去。

套利策略不能获利的区间的上、下限为：总的净收益=现货头寸的净收益+股指期货头寸的净收益≤0。

整理可得到股指期货期现套利的无套利区间为：

三、协整关系检验

为了验证股指期货和SFS的期现套利有效性，先对股指期货9月当月合约IF（1409）与SFS价格的原始序列、对数序列进行平稳性检验，如果序列通过平稳性检验则进行协整关系检验，在协整关系检验通过的基础上建立误差修正模型。

（一）平稳性检验

对IF（1409）与SFS的平稳性进行检验，检验结果验证IF（1409）、SFS、Ln（IF（1409））和Ln（SFS）均存在单位根，无法通过平稳性检验，序列不平稳。D（IF（1409））、D（SFS）、D（Ln（IF（1409））和D（Ln（SFS））不存在单位根，一阶差分序列是平稳性序列，属于一阶单整序列。

（二）Engle-Granger检验

通过两变量的Engle-Granger检验法分两步对价格序列和价格对序列进行协整关系检验。

对IF（1409）与SFS价格序列及对数序列进行OLS估计回归分析，回归方程如下：

IF（1409）=2301.935SFS+536.7925

T值 158.9757 45.43869

R2=0.937496

Ln（IF（1409））=0.775423Ln（SFS）+7.947228

T值 160.2419 8012.629

R2=0.938419

我们可以看出，IF（1409）与SFS价格序列及对数序列回归方程均通过t检验，具有较好的拟合优度。可以认为IF（1409）与SFS及对数序列是协整关系。

（三）误差修正模型

通过实证我们发现IF（1409）与SFS价格序列、IF（1409）与SFS价格对数序列存在着协整关系。由于对数序列在计算收益率等方面的优越性，所以本文在后续的研究中采用对数序列进行研究。为了反映Ln（SFS）与Ln（IF（1409））之间的短期波动情况，我们建立误差修正模型：

ΔLn（IF1409t）=β+β1ΔLn（SFSt）+γecmt+εt

其中ecmt是误差修正项：

ecmt=Ln（IF1409t-1）-β1Ln（SFSt-1）-β

可以得到Ln（SFS）与Ln（IF（1409））残差序列，也就是误差修正项ecmt。

ecmt=Ln（IF1409t-1）-0.775423Ln（SFSt-1）-7.947228

以ecmt为误差修正项，利用最小二乘估计法对误差修正模型进行估计，结果为：

ΔLn（IF1409t）=-0.000016+0.283725ΔLn（SFSt）-0.006617ecmt +εt

从Eviews分析结果中我们得到DW检验2.309675，F检验为198.44，都显著通过检验，可以认为该方差通过检验，误差修正项ecmt-1前面的系数为-0.006617，且通过t统计量检验。Ln（IF（1409））的变化会受到Ln（SFS）与他们的前一期的偏离影响，当二个合约之间出现偏离时，Ln（SFS）与他们的前一期的修正关系促使他们恢复协整关系。

四、套利检验

由于套利交易是基于套期保值和投机之间的一种交易策略，其核心在于将匹配资产的波动性完全规避，通过预测二者价差的波动性来交易，我们定义价差为SP=Ln（IF（1409））-0.775423Ln（SFS）-7.947228，在套利检验过程中SFS合约与IF（1409）合约采用1：1的资产配置比例。

（一）确定套利成本

由于通过股指期货和基金套利一般都是大户或者是机构投资者，只需要付出更低的成本，假设买卖现货分级基金只需要0.03%的手续费，买卖股指期货只需要0.006%的手续费。为了保证套利交易的安全我们假定现货保证金和期货保证金的比例都为50%，对股指期货及分级基金的买入和卖空交易的市场冲击成本假定为0.1%，SFS收益率和IF（1409）收益率之间的误差为0.0007676。

根据以上所讨论得出的各项参数的取值，得出：

买入现货组合的交易成本率Csb=0.03%+0.1%+0.08%=0.21%；

卖出现货组合的交易成本率Css=0.21%；

买入股指期货合约的交易成本率Cfb=0.006%+0.1%=0.106%；

卖出股指期货合约的交易成本率SFS=0.106%。

（二）交易阀值设计

实际交易过程中，阀值的选择是统计套利盈利的关键，因此建立套利策略需要根据价差序列的分布情况，确定无套利区间、套利区间和止损区间。由样本价差序列均值μ=2.52E-15，标准差σ=0.004093，设阈值θ3>θ2>θ1>0，通过对历史数据优化得到θ1=0.68，θ2=1.25，θ3=2.3。则有无套利区间为[μ-0.68σ，μ+0.68σ]，套利期间为[μ-2.3σ，μ-1.25σ]和[μ+1.25σ，μ+2.3σ]，止损区间为[-∞，μ-2.3σ]和[μ+2.3σ，+∞]。

我们交易策略如下：

（1）sp>μ+1.25σ时，卖出1张SFS合约的同时买入1张IF（1409）合约，当sp<μ-1.25σ时，买入1张SFS合约的同时卖出1张IF（1409）合约；

（2）当卖出1张SFS合约的同时买入1张IF（1409）合约以后，价差回复到均值μ以下平仓，当买入1张SFS合约的同时卖出1张IF（1409）合约以后，价差回复到均值μ以上平仓；

（3）买入后，如果价差没有回到下一个交易点，当sp>μ+1.25σ交易后，价差并没有回归而是继续扩大，当sp>μ+2.3σ时，平仓止损；当sp<μ-1.25σ交易后，价差并没有回归而是继续扩大，当sp<μ-2.3σ时，平仓止损。

（三）交易结果

我们在套利过程中采用的是价格指数序列进行套利分析，假设在套利过程中只交易1张合约，并且用对数收益率套利的实际收益。在整个交易时期内，自2014年9月1日～9月10日共计一共有7交易日，共有1687分钟，正向套利次数为230次，成功230次，正向套利累计对数收益率为0.86%，反向套利次数为241次，失败20次，期间对数损失率为0.26%，成功221次，期间对数收益率为0.77%，反向套利累计对数收益率为0.51%；共获得对数收益率为1.37%。

参考文献

[1]Andrew pole.统计套利[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]Brian.Jacobsen.Demonstrating error-correction modelling for intraday statistical arbitrage[J].Applied Financial Economics Letters， 2008，4：287-292.

[3]仇中群，程希骏.基于协整的股指期货跨期套利策略模型[J].系统工程，2008，26（12）：26-29.

[4]陈怡.统计套利策略在我国分级基金市场的尝试[J].科学技术与工程.2012，12（3）：724-728.

[5]雷井生，林莎.基于高频数据的统计套利策略及实证研究[J].科研管理.2013，34（6）：138-145.

作者简介：冯佳（1963-），女，陕西西安人，副教授，硕士生导师， 研究方向：金融工程；祝锦波（1985-），男，广东恩平人，硕士研究生，研究方向：金融工程。