单层与多层球形容器爆破压力的概率分布

刘小宁，刘岑，张红卫，刘兵，袁小会，陈刚

1.武汉软件工程职业学院机械工程学院，湖北 武汉 430205；2.武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉 430205

单层与多层球形容器爆破压力的概率分布

刘小宁1，2，刘岑2，张红卫1，刘兵1，袁小会1，陈刚1

1.武汉软件工程职业学院机械工程学院，湖北 武汉 430205；2.武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉 430205

为了建立压力容器可靠性设计方法，基于59组实测数据，应用数理统计理论与方法，定量分析了材料屈强比范围为0.336 2~0.847 5与径比范围为1.053~1.257的单层与多层球形容器爆破压力的概率分布.结表明，在显著度为0.05时，其爆破压力的实测值与中径公式计算值之比，是基本符合正态分布的随机变量；在双侧置信度为98%时，该随机变量的均值为1.001 3~1.049 7，标准差为0.068 95~0.095 95；在可靠度为99.98%时，爆破压力的实测值与中径公式计算值与之比为0.644 5~1.358 1.

单层与多层；球形容器；爆破压力；中径公式；概率分布

0 引言

球形容器是压力容器的常见类型，也是石油、化工、医药与能源等行业的常用设备.球形容器的结构可分为单层与多层两种形式.目前，工程上采用确定性方法设计球形容器，即采用中径公式计算球形容器爆破压力并确定容器壁厚［1-2］.

由于容器的几何尺寸、容器制造材料的抗拉强度存在随机不确定性［3］，因此，基于随机不确定性，探索球形容器爆破压力概率分布，是建立压力容器可靠性设计方法的基础，也是工程界研究的热点课题［4－7］.分析球形容器爆破压力概率分布包括两方面，一是研究爆破压力分布规律，即分析其概率密度函数的形式，二是探讨分布参数的取值范围.对于用相同材料制造的单层与多层球形容器，文献［8-9］基于少量试验数据，定性分析了其爆破压力的分布规律与参数.

文中以用相同或者不同材料制造的单层与多层球形容器为研究对象，基于容器爆破压力的59组试验数据［10－12］，应用数理统计理论与方法［3，13－16］，定量研究了球形容器爆破压力的分布规律与分布参数的取值范围.

1 理论分析

1.1 球形容器爆破压力计算公式

为研究方便，对球形容器作如下基本假设：1）球形容器有n层，每层球壳材料有足够韧性，不发生低应力破坏；2）在内压作用下，每层球壳变形后形状保持不变，材料的压缩可忽略不计；3）每层球壳的间隙足够小，即容器各层球壳同时爆破，多层球形容器的爆破压力为每层球壳爆破压力之和.

如果不考虑有关因素的不确定性，采用中径公式时，球形容器爆破压力的计算值ub为

式（1）中，ub为采用中径公式（1）得到的球形容器爆破压力计算值，MPa；Rmi为第i层球壳材料抗拉强度的均值，MPa；Ki为第i层球壳径比的均值，Ki＝Di＋1／Di；Di、Di＋1分别为第i层球壳内、外直径的均值；φi为第i层球壳焊接接头系数的均值.

如果考虑有关因素的不确定性，用中径公式可得到球形容器爆破压力的预测值ub/为

1.2 构建具有统计性质的随机变量

为分析球形容器爆破压力的概率分布，构建如下随机变量：

式（3）中，Pb为球形容器爆破压力的实测值，MPa；r为与式（1）对应的随机变量；r1为容器爆破压力实测值与预测值的比值；r2为容器爆破压力预测值与计算值的比值.

根据数理统计理论［3，13－15］，当r1和r2基本符合正态分布时，r也基本符合正态分布时，如果已知r1和r2在（1－α）的双侧置信度时分布参数范围

式（4～5）中，μ1、μ2分别为r1、r2的均值；S1、S2分别为r1、r2的标准差.在一定置信度下，上标l与u分别表示分布参数的较小值与较大值.

根据可靠性理论与方法［3，14-15］，在（1－α）的双侧置信度时，r的参数范围由式（4）与式（5）可得

式（7）中，μ、S分别为r的均值与标准差.

1.2.1 r1的概率分布当r1基本符合正态分布时，其分布参数必须由容器爆破压力实测值与预测值的比值来确定，对于m组有效实测数据，根据式（3）可得到第j组实验数据的统计量为

式（8）中，Pbj为第j组容器爆破压力的实验值，MPa；Ubj′为第j组容器爆破压力预测值，MPa.

r1的准确度与精密度分别为

在（1－α）的双侧置信度时，r1的均值与标准差的分布区间为［3，14-15］

式（11）中，tm－1，0．5α，tm－1，1－0．5α分别是单侧置信度为0．5α与（1－0．5α）时的t分布系数.

式（12）中，χ2m-1,1-0.5α，χ2m-1,0.5α分别是单侧置信度为（1－0．5α）与0．5α时的χ2分布系数.

文中所用的有关系数如表1所示［3，13－15］.

表1 系数Table 1 Coefficient

1.2.2 r2的概率分布由于影响爆破压力预测值的物理量是随机变量，有关国家通过标准限制这些物理量的误差范围，把其控制在允许值内，因此，r2基本符合正态分布.对于按标准设计、制造与检验的球形容器［1－2］，在双侧置信度为（1－α）时，r2的均值与标准差的分布区间为［8-9］

1.2.3 r分布的概率密度函数根据数理统计理论［3，13－15］，当r1、r2基本符合正态分布时，r也基本符合正态分布，其概率密度函数为

1.3 Pb的概率分布

在相同的试验条件时，爆破压力的计算值ub是确定量，如果Pb也基本符合正态分布，取双侧置信度为（1－α），根据式（1）、式（3）、式（6）与式（7）可知，Pb的均值与标准差的分布区间为

式（16～17）中，μpb、σpb分别为Pb的均值与标准差.

Pb分布的概率密度函数为

将式（16）与式（17）代入式（18）可得

若试验条件相同，由式（1）得到的爆破压力计算值ub是确定量，根据式（19）可知，Pb与r的分布规律相同，即Pb基本符合正态分布，但是两者的分布参数不同.

1.4 Pb的取值区间

根据式（16）与式（17），取Pb最苛刻的分布参数为（μlub，Suub）时，爆破压力的实测值位于取值区间

的可靠度为

式（21）中，β为可靠度系数；φ（β）为标准正态积分.

2 概率分布的假设检验与分布参数

2.1 实测数据及有效性分析

文献［10］提供了4组单层球形容器爆破压力实测数据，文献［11］提供了7组由相同或者不同材料制造的多层球形容器爆破压力实测数据，有关的试验数据如表2所示.关于r1统计量的准确度与精密度如表3所示.

表2 单层与多层球形容器的爆破压力试验数据Table 2 Single-layer and multilayer spherical vessel burst pressure test data

表3 r1的统计数据Table 3 Statistics data of r1

由于试验数据有效性对物理量概率分布的分析有重要影响［13－15］，因此，在双侧置信度为98%时，必须分析表2中试验数据的有效性.采用文献［14］的方法可知，有效性判别指标的绝对值均小于t10，0．99（等于2．764），表明有98%的把握认为表2中试验数据都是有效的.

2.2 r1概率分布的假设检验

对r1概率分布可采用假设检验的方法为［3，14－16］，假设r1基本符合正态分布，根据11个有效试验数据，因为1＋3．3lg11＝4．44，因此，把r11、r12、…、r111分为4个区间，其f＝4－1－2＝1，取δ＝0．05，由表1可知，皮尔逊统计量的允许值χ21，0.05＝3．841.每个分组区间的皮尔逊统计量之和如表4所示.

由表4可知，当用式（1）计算球形容器爆破压力时，r1的皮尔逊统计量χ2σ为0．675 2，小于临界值3．841，表明在显著度为0．05时，r1基本符合正态分布.

表4 r1的皮尔逊统计量χ2σTable 4 Statistic χ2σof r1

2.3 r分布参数的取值区间

当球形容器材料屈强比范围为0．591 9～0．847 5，径比范围为1．053～1．128时，由于r1基本符合正态分布，因此，取双侧置信度为98%，将表3中有关统计数据代入式（11）与式（12），得到r1分布参数的取值区间

由以上分析可知，r基本符合正态分布，将式（22）、式（23）、式（13）、式（14）代入式（6）与式（7），可得到r分布参数在双侧置信度为98%时的取值区间

2.4 Pb的概率分布

根据以上分析，r1与r基本符合正态分布，因此，用式（1）计算球形容器爆破压力时，Pb基本符合正态分布，把式（24）与式（25）代入式（16）与式（17），在98%的双侧置信度时，球形容器爆破压力Pb参数的分布区间

2.5 实测爆破压力的取值区间

根据式（26）与式（27），爆破压力最苛刻分布参数为（μlub，Suub）＝（1．001 3ub，0．095 95ub）时，取可靠度为R＝φ（3.719）＝99．98%，将有关数据代入式（20），可得实测爆破压力的取值区间即有99．98%的把握认为，球形容器实测爆破压力的取值区间由式（28）确定.

3 验证

为证明式（28）的正确性，应用文献［12］提供的48组单层特种球形容器实测爆破压力进行验证，如表5所示.

表5 48组单层球形容器实测爆破压力的验证Table 5 Verification of 48 groups burst pressure measured of single-layer spherical vessel

由表5可知，48组单层特种球形容器爆破压力实测值，均在式（28）的取值区间内，表明对于径比范围为1．114～1．257与屈强比范围为0．336 2～0．520 8的单层球形容器，文中的分析与研究也有一定的试验基础.

4 结语

对于单层球形容器，以及用相同或者不同材料制造的多层球形容器，基于59组材料屈强比范围为0．336 2～0．847 5，径比范围为1．053～1．257的球形容器爆破压力的实测数据，定量分析与验证了其爆破压力概率分布，研究表明：

a．显著度为5%时，球形容器爆破压力实验值与中径公式计算值的比值，是基本符合正态分布的随机变量；在98%的双侧置信度时，该随机变量均值的范围为1．001 3～1．049 7，标准差的范围为0．068 95～0．095 95.

b．可靠度为99．98%时，球形容器爆破压力实测值与中径公式计算值之比不小于0．644 5但不大于1．358 1.

c．用中径公式计算球形容器爆破压力，会出现计算值大于实测值的结果.

致谢

感谢湖北省教育厅科研项目（B2014209）对本研究的资助!

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Probability distribution of burst pressure in single-layer and multi-layer spherical vessel

LIU Xiao-ning1,2，LIU Cen2，ZHANG Hong-wei1，LIU Bing1，YUANG Xiao-hui1，CHEN Gang1
1.School of Mechanical Engineering,Wuhan Polytechnic College of Software and Engineering,Wuhan 430205,China; 2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuhan Institute of Technology,Wuhan 430205,China

To establish the reliable design method of pressure vessel,the probability distribution of single-layer and multi-layer spherical vessel burst pressure was analyzed;Based on 59 set test data,applying statistical theory and methods,we explored quantitatively the probability distribution of burst pressure of single-layer and multi-layer spherical vessel with the material yield and tensile strength ratio of 0.336 2-0.847 5 and the radius ratio of 1.053-1.257.The results shows that the ratio of the measured burst pressure values and middiameter formula theory value is consistent with the normal distribution of random variables at the saliency of 0.05；the mean values of the random variable are 1.001 3-1.049 7，and the standard deviations are 0.068 95-0.095 95 at two-sided confidence of 98%;the ratios of the measured burst pressure value and the mid-diameter formula calculated value are 0.644 5-1.358 1 when the reliability is 99.98%.

single-layer and multi-layer；spherical vessel;burst pressure；mid-diameter formula;probability distribution

TH 49

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.07.011

1674－2869（2015）07－0049－06

本文编辑：陈小平

2015－05－07

湖北省教育厅科研资助项目（B2014209）

刘小宁（1963－），男，湖北武汉人.教授，正高职高级工程师.研究方向：机械结构与压力容器可靠性等.