初中数学概念教学的有效方式

彭利+周晓娟

数学概念是一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的抽象，是导出全部数学定理、法则、公式的逻辑基础。数学概念相互联系，由简到繁形成学科体系。数学概念是数学知识的基础，是数学思想和方法的载体，是数学学习的核心。因此，数学概念的教学质量直接影响学生以后的学习和发展。结合初中学生的知识结构和年龄特点，我们认为，初中数学概念的教学中，要重构学生原有的认知结构，再现概念的现实背景，引导学生经历概念的发生、形成、回归，逐步理解概念的内涵和外延，并在运用概念的过程中巩固概念。基于以上理念，我以《锐角三角函数（第一课时）》教学为例，谈谈概念教学的有效方式。

一、重视学生原有认知结构，拓展联想空间

新概念学习的前提是学生具有良好的认知结构和丰厚的知识积累，必须唤起学生原有认知结构中的有关知识和生活经验。有些教师认为学生已具备了相关知识的储备，没有必要进行复习，结果出现学生对新概念茫然混沌、理解碎裂的状况。在案例教学中，三角函数也是反映两个变量之间的关系，为突出函数的本质，我在教学中引导学生复习已学过的函数，再顺势揭题。

【课堂设计一】 铺垫引入：

1. 我们已经学习了哪些函数？每个函数中有几个变量？哪个是自变量，哪个是因变量？每个函数的表达式是怎样的？（体会变量、体会数学符号。）

2. 翻开本单元的课本，看学习课题是什么？（三角函数也是函数，既然是函数，那么是研究哪两个变量之间的关系呢？）

二、再现数学概念现实背景，激发学习兴趣

数学来源于生活，服务于生活。庞加莱曾讲过这样一个故事：教室里，先生对学生说“圆周是一定点到同一平面上等距离点的轨迹”，可学生听后面面相觑，谁也不明白圆周是什么，于是先生拿起粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生们立即欢呼起来“啊，圆周就是圆圈啊，明白了”，这一故事告诉我们进行概念教学时，教师应从实际出发，创设情境，提出问题，让学生在满腹狐疑中觉得有必要学习这个概念。新课标也提出，数学概念应从学生熟悉的生活情境出发，选择学生身边的感兴趣的事物，让学生观察、交流、反思，让数学概念在缓慢的思维洗涤中自然显现。案例中，我引入汽车爬坡的生活场景，比较坡的倾斜程度不但可以用倾斜角判断，还可以用什么量判断？让学生在比较中寻找方法。最终出现比值这个量。（因为比值作为一个量随另一个量变化是教学中的难点，应逐步化解。）

【课堂设计二】 提出问题：

1. 在图1中，有两个直角三角形，直角边AC和A1C1表示水平面，斜边AB和A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？你判断的理由是什么？

[A][C][B][A][C][B][图1]

生1：坡面A1B1比坡面AB更陡，因为∠A1>∠A（合理解释，但它是观察的结果，还有其它理由吗？注意铅直高度不同）

生2：我认为理由是B1C1>BC（这种解释合理吗？请看图2.）

2. 在图2中，类似的，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是怎么解释？

[A][C][B][A][C][B][图2]

生3：坡面A1B1比坡面AB更陡，因为∠A1>∠A。

生4：我认为理由是A1C1

3. 在图3中，你又是怎么解释的呢？（注意水平长度和铅直高度都不同，学生发现比较边长无法解释坡度大小，产生了新的思维困惑，求知欲望大增。图中角的大小是大家观察的，并没有标明。但图中标明了两条直角边长。那么仔细观察三组图形中的直角边长，它告诉我们什么？与倾斜程度的关系？）

[A][C][B][A][C][B][图3]

生5：我发现图1中，=0.2，=0.30，有0.3>0.2；图2中，=0.2，=0.25， 有0.25>0.2；图3中，=0.2，=0.25，有0.25>0.2。

每组图形中，第二个图形的这个比值大，与它的坡面更陡结论一致。（你的意思是说用这个比值来衡量坡面的倾斜程度吗？为什么可以？）

生5：是的，这个比值越大，坡角越大，坡面越陡。（看来，这个比值与这个坡角有关系，是什么关系呢？我们来看下面的问题。）

三、经历数学概念思维过程，体验成长快乐

数学概念不是靠直截了当定义出来的，而是靠千般探究、万般磨练“做”出来的。在概念教学中，如果没有学生的经历，没有苦苦的寻求，没有情感的体验，学生很难将概念内省为自身的问题意识，也无法生成问题、解决问题。概念教学教师不应该匆匆下定义，不应该用讲解代替学生的思维过程。因此数学概念的教学就应该成为思维的体操，积极展示思维的发生、发展，从具体到抽象，让概念在条理中、在生动活泼的思维历练中自然生成。课例中，通过问题的设计和不断的探究，让学生体会到在直角三角形中：锐角固定，则这个角的对边与邻边的比值固定。自然得出：锐角变化，则这个角的对边与邻边的比值随之变化。正切概念来之自然、呼之欲出。

【课堂设计三】 如图4，锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足是C，得到直角三角形ABC。再任取一点B1，自点B1作另一边的垂线，垂足是C1，得到另一个直角三角形。

[图4][A][C][B][C1][B1][C2][B2]

1. 请一个同学上黑板测量角A的对边BC、AC的长度，并计算的值。（动手测量既培养了学生动手能力，也揭示了可以用测量的方法求比值。）

2. 、的值相等吗？为什么？呢？（不再测量其它比值，从理论上探究比值的关系，达到理性认识，加深对锐角固定，比值固定的认识。）

3. 以上事实说明什么道理呢？（在学生动手并充分探究的基础上，得到结论，这个结论教师不要匆忙总结，要有耐心等待学生的思考和回答。）

生6：我发现，在直角三角形ABC中，当锐角A的大小固定，它的对边与邻边的比值就固定。

4. 那么当锐角A的大小变化时，它的对边与邻边的比值怎样呢？（用动画演示图4中角度增大，BC增大，AC不变，比值怎样变化？）

5. “角变，比值变”。这里出现了两个变量，是哪两个变量？哪个是自变量，哪个是因变量？（让学生交流讨论）

6. 水到渠成和同学们一起给出正切函数定义，并用符号表示。（深挖概念中的字、词、句、条件、结论、书写符号。）

四、理解数学概念内涵外延，构建问题模式

美国华盛顿州国立儿童图书馆里有一句醒目的标语：“我听过了，就忘记了；我见过了，就记住了；我做过了，就理解了。”数学概念教学不应沦为教师喋喋不休的解释、学生摇头晃脑的背诵。也不是概念匆匆过，练习重复做。概念教学必须让学生掌握概念的内涵和外延，帮助学生内化概念，建构新的知识网络，增加概念问题模式。必须让学生在具体的解决问题中，深化对概念本质的理解和生活化的回归。因此，多角度、多变式、循序渐进的安排概念问题的训练是概念固化的关键，这个环节的成功与否直接影响学生的解题能力的提高。案例中，既回归生活（坡面），又对概念的内涵和外延进行了例题设计，强化了对正切概念的本质认识，为下课时正弦、余弦概念的学习打好了基础。

【课堂设计四】 在概念的基础上，顺势导入问题解决。

1. 回到坡度问题，并介绍坡度概念。

2. 你能说出坡角的正切与坡度的关系吗？

3. 题组训练。

英国教育家威廉·詹姆斯评价教师：“平庸的教师说教，好的教师解惑，优秀的教师示范，卓越的教师启迪。”优秀的课堂总是浸透了教者的心血和汗水。作为教师，在数学概念这一重要领域的教学中，一定要下足工夫，重视概念，优化设计，把握过程，学生主体，教师引导。教师要创造性地使用教材，问题引领，思维闯关。真正地让学生在积极参与的过程中产生内心的体验和思维的快乐，切实提高学生的数学素养，为学生的高中数学学习打下坚实的基础。

【参考文献】

[1] 中华人民共和国教育部. 数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2001.

[2] 褚红英. 数学概念教学的三个关注[J]. 数学学习与研究，2012（19）.

[3] 高峰官. 学习策略方法教学问题诊断与导引[M]. 长春：东北师范大学出版社，2001.

[4] 朱桂凤. “天高任鸟飞”的教学情怀[J]. 中学数学教学参考，2012（8）.