设置大问题——由“教师讲”转变为“学生悟”

李杰

一、主题与背景

这节课是2014年哈尔滨市第五届“烛光杯”课堂教学大赛的课题.其中有五位教师同时讲这个课题.因式分解的平方差公式（以下简称公式）：a2-b2=（a+b）（a-b），是在学习整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2之后学习的.这一节课的重点是让学生掌握公式的特点，并能熟练地运用公式进行一个多项式的因式分解.在这个过程中，体会整式乘法与因式分解的关系.在日常的教学中，绝大多数的教师进行这节课的教学时，一般都是直接给出公式，讲清公式的特点，例题示范后，进行大量的多项式因式分解的训练.这样的教学，从表面上看，学生顺利地掌握了公式，轻松应对中考.深度思考后会发现，学生虽然能熟练应用公式进行因式分解，但他们不一定体会到公式的来龙去脉和其中蕴含的数学思想方法，真正感悟公式的特点，是教师“教会”而不是自主“学会”公式的应用.那么对于这类公式课型的教学，除了应对中考，学生思维能力会有哪些提高呢？如何通过设计大问题情境，由“教师讲”转变为“学生悟”呢？

为此，在初中数学学科的教研实践基地旭东中学，由两位初中数学教研员、旭东中学校长、主任及数学组全体教师组成课题组，讲课教师确定为于立波老师，以因式分解的平方差公式为例，进行了专题研究.

二、情景与描述

本节课我们通过“公式的得出、公式的辨析、公式的应用”三个主要环节进行描述.

环节一：公式的得出

问题一：有一个边长为5的大正方形和一个边长为4的小正方形，这样叠合在一起，那么阴影部分的面积是多少？

生：9.

师：反应真快！

问题二：如果大正方形的边长是10，小正方形的边长是6，那么阴影部分的面积又是多少？

生：64.

师：好！

问题三：如果大正方形的边长是5.6，小正方形的边长是4.6，那么阴影部分的面积又是多少？

（学生思考片刻，有些困难.）

师：看样子这样的算式快速算出有些困难，有没有更好的简便方法计算呢？我们继续研究.

师：如果大正方形的边长是a，小正方形的边长是b，阴影的面积是多少？

生：a2-b2.

问题四：你还能用其他形式表示阴影部分的面积吗？

（同桌为一个小组，利用学具合作完成，完成后汇报.）

教师提供方便快捷的图形学具，各小组同学积极思考，相互合作，研究出几种不同形式，教师深入其中，适时指导.各组学生汇报成果：

组1：将阴影部分分割成两个长方形，然后拼成一个大长方形，从而得到阴影部分的面积（a+b）（a-b）.

组2：将阴影部分分割成两个长方形和一个小正方形，得到阴影部分的面积（a-b）2+2b（a-b），整理后得（a+b）（a-b）.

组3：将阴影部分分割成两个直角梯形的方式，可能得到阴影部分的面积.整理后得2×■（a+b）（a-b）.

师：分割得很巧妙，真是不错的想法.

师：我们来看，不管哪个式子表示的都是阴影的面积，那么它们在数量上应该怎么样？

生：相等.

师：这样a2-b2=（a+b）（a-b），我们在哪儿见过类似的式子？

生：在学整式乘法时学习了（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式.

师：实质上我们把整式乘法的平方差公式等号两边互换位置就得到了a2-b2=（a+b）（a-b）.

师：观察这个等式，从右到左是整式乘法，那么从左到右是什么呢？

生：因式分解.

师：这就是我们这节课所研究的因式分解的平方差公式，用这一公式将一个多项式因式分解的方法就是我们今天将要研究的公式法.

（板书：21.3.2 公式法（1））

环节二：公式的辨析

师：请同学们观察公式的特点，谁能尝试用语言描述一下这个公式.

（几个学生描述，教师板书.）

师：我们再来看前边的问题，大正方形的边长是5.6，小正方形的边长是4.6，那么阴影部分的面积如何求呢？

生：5.62-4.62=（5.6+4.6）×（5.6-4.6）=10.2.

师：同学们很智慧啊，用我们今天学习的因式分解的平方差公式就能快速计算出结果了！

问题一：在材料纸上写两个能用平方差公式因式分解的多项式，并且同桌交流一下，说说你写的多项式为什么能用平方差公式因式分解？

片刻之后，学生纷纷回答：①x2-9；②4x2-9y2；③（x-m）2-（x+n）2； ④3x2-7y2 .

学生充分交流后，教师引导学生找出典型例子，学生到黑板上讲解.之后教师又拿出几个多项式：

问题二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看这些多项式能不能用平方差公式因式分解呢？为什么？在这个过程中，应该注意什么？

师：大家辨析得非常好，那么怎样的多项式才能用平方差公式因式分解，谁能提醒同学应该关注什么？

在学生热烈的研讨下，大家基本达成共识：应用平方差公式因式分解的多项式，主要应该有两项，有平方，还有差的形式，两项异号.更可贵的是，一名学生发言中强调：为了不出错，首先把前后两项分别写成整体平方的形式，确定谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b，然后再进行因式分解.这些都是由学生探究发现的，是非常难得的.

环节三：公式的应用

教师设计一个很有思维含量的问题.

问题：从下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，选取两个式子组成一个多项式，并因式分解.与同桌同学合作完成.endprint

在学生交流中，学生组合成很多的多项式，并进行因式分解，教师选择几个典型的多项式：x4-y4；x4-16x2；a3b-ab.学生到黑板上板书并讲解.学生发现一些典型错误，有的没有分解到最后，学生之间大胆纠错，相互质疑.最后归纳由学生进行一个多项式因式分解时，易错点和注意事项.

三、问题与讨论

关于“公式的得出”环节，在备课时，大家争论的焦点在：方案一，一部分教师认为，因式分解的平方差公式a2 -b2 =（a+b）（a-b），实质上可以直接由整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2 -b2 等号左右两端交换位置得到，我们教学时，可以直接得到，这样简洁直观，一目了然.方案二，另一部分教师则坚持，由学生感兴趣的两个正方形叠合在一起，（如下图）快速回答剩余部分的面积入手，从特殊情况边长是数字入手，再过渡到一般，从图形的角度来验证公式.这样操作虽然需要一定的时间，但是这样能很好地渗透数形结合的思想，引导学生用几何的方式解决代数的问题.

究竟怎样做才是有利于学生思维发展呢？大家展开了深入的讨论，用图形的面积来验证公式是否必要？其中A教师的发言引起大家的深思，用方案二不仅仅是从图形的角度验证公式，它还有一个重要功能，是让学生体会学习因式分解平方差公式的重要性，也就是我们为什么要学习这个公式，这样学生会对本节课产生浓厚的兴趣，所以，方案二是可取的.教师B又有不同的观点，方案二的作用是明显的，但它不能让学生更好地感悟整式乘法与因式分解之间的关系.真理越辩越明，最后，达成了共识.首先通过几组正方形图片叠合，求剩余部分的面积作为热身，在数据上由简单到复杂的过程中，产生认知冲突，然后设置大问题：利用学具探究正方形边长为a、b时，叠合后剩余部分的面积，从而，从图形的角度得到了a2-b2=（a+b）（a-b），然后应用它解决刚才产生认知冲突的问题，即5.62-4.62，如何计算的问题，让学生充分感受到新知学习的必要性，再自然联想到前面学习过的整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，将它左右两边交换位置，也可以得到因式分解的平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）.

这样的设计既让学生有浓厚的兴趣的同时，还使数与形结合得更紧密，同时又自然地体现了整式乘法与因式分解的关联.

关于“公式的辨析”及“公式的应用”环节，第一次上课的设计是先引导学生观察公式的特点，再尝试用语言叙述出来，为了进一步体会具体问题中的式子与公式中a、b的对应性，教师举两个简单的例子作示范，说明如何与公式中的a、b对应，并讲解正规的书写格式，然后给出例二，复杂多项式的因式分解（需两次分解的多项式），引导学生总结易错点.课后，听课教师在讨论中一致认为，观察公式的特点、用语言描述公式是非常必要的，可以加深对公式的理解，关于具体问题中的多项式与公式中a、b的对应性的理解，是学生熟练准确应用公式的关键所在，课上老师这样示范，学生会模仿照做，从应试角度看，解决简单多项式的因式分解没有问题，但是突出表现教师牵制学生来思考它们的对应性，那么如何引导学生自己感悟从不同角度辨析公式呢？还有对公式的应用大家也有不同的看法：问题不应该由教师直接给出，易错点也不应以教师为主强调，应让学生悟出.问题出在课堂设置的问题太小、太碎，缺少思维空间.经过大家的研究，对第一次上课的问题设置修改为最后一次上课的方案.

四、诠释与研究

按照研究的方案进行教学后，课题组成员再一次进行了反思.在课堂的关键环节的问题设置，如：问题四：你还能用其他形式表示阴影部分的面积吗？（两名同学为一个小组，利用学具合作完成，完成后汇报.）问题一：在材料纸上写两个能用平方差公式因式分解的多项式，并且同桌交流一下，说说你写的多项式为什么能用平方差公式因式分解？问题二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看这些多项式能不能用平方差公式因式分解呢？为什么？在这个过程中，应该注意什么？问题：从下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，选取两个式子组成一个多项式，并因式分解，小组合作完成.这些问题具有以下特点：其一直接指向本节课的本质，其二这些问题都需要学生动脑思考、动手操作及相互合作再能完成，思维含量较大.而教师在课堂上组织学生解决问题策略恰当，给学生自主感悟公式与熟练掌握公式提供了足够的时间和空间.在思维发展的关键点上，恰当地采取合作学习，学生在倾听、思考、合作、质疑中感悟新知，收获新知.

同时我们也发现，在设置大问题，放手让学生解决问题的过程中，教师的引导作用和关键环节的掌控至关重要.如：在学生用图形探究公式和利用学具操作遇到困难时，教师不应该袖手旁观，应及时指导学生使用学具，把握课堂节奏，减少不必要的时间浪费，在公式的应用环节中，学生自主发现纠错因式分解易错点时，同样也需要教师及时提升.课堂设置问题越大、越开放，课堂生成对教师来说要求就越高，需要教师反应机敏，处事灵活，及时调控，这也是教学机智的充分体现.

对于这样代数公式类课型的教学，让学生熟练掌握公式的同时，应引导学生经历公式的生成过程，在此过程中，注意渗透数学思想方法，积累必要的数学活动经验.教会学生自主感悟公式，学会熟练应用公式，寻找易混易错点，给学生更多的思考空间.从而提高学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力.endprint